6.1.2 第2课时 导数的几何意义(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦“导数的几何意义”核心知识点，承接导数概念，通过割线逼近定义切线，明确导数即曲线在该点切线的斜率，构建从切线概念到求切线方程、切点坐标的完整学习支架。 以雨伞水滴运动等生活实例引入，培养用数学眼光观察现实世界的意识，通过“想一想”问题链引导推理发展数学思维，结合高台跳水、烟花运动等实例强化用数学语言表达现实问题的能力。课中助力教师引导学生理解概念，课后练习题帮助学生巩固应用，查漏补缺。

第二课时　导数的几何意义 下雨天，当我们将雨伞转动时，伞面边沿的水滴沿着伞的切线方向飞出.实际上物体（看作质点）做曲线运动时，运动方向在不停地变化，其速度方向为质点在其轨迹曲线上的切线方向，我们可以利用导数研究曲线的切线问题. 【问题】　你还能列举出生活中的其他实例吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　导数的几何意义 1.切线的概念 如图，设S是平面上的一条曲线，P0是曲线S上的一个定点，P是曲线S上P0附近的点，则称直线PP0为曲线S的割线，如果P无限接近于P0时，割线PP0无限接近于通过P0的一条直线l，则称直线l为曲线S在点P0处的切线. 2.导数的几何意义 f'（x0）就是曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处（也称在x＝x0处）的切线的斜率.设曲线在点（x0，f（x0））处切线的斜率为k0，则k0＝　　　　　　　　　　＝f'（x0）. 【想一想】 1.若函数y＝f（x）在点x0处的导数存在，则曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程是什么？ 2.曲线的切线与曲线有且只有一个公共点吗？ 3.函数y＝f（x）的部分图象如图，根据导数的几何意义，你能比较f'（x1），f'（x2）和f'（x3）的大小吗？ 1.设曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x＋1，则＝（　　） A.4 B.2 C.1 D. 2.如图，直线l是曲线y＝f（x）在x＝4处的切线，则f'（4）＝（　　） A. B.3 C.4 D.5 3.已知曲线y＝－x2，则该曲线在点P（2，－2）处的切线方程为　　　　. 题型一｜求曲线的切线方程 【例1】　已知函数f（x）＝x3，求曲线y＝f（x）在（1，f（1）） 处切线的斜率与方程. 尝试解答 【母题探究】 　（变设问）本例条件不变，试问例题中的切线与曲线y＝f（x）是否还有其他的公共点？若有，求出公共点的坐标；若没有，说明理由. 通性通法 1.过曲线上一点求切线方程的步骤 2.求过曲线y＝f（x）外一点P（x1，y1）的切线方程的步骤 （1）设切点（x0，f（x0））； （2）利用所设切点求斜率k＝f'（x0）＝； （3）用（x0，f（x0）），P（x1，y1）表示斜率； （4）根据斜率相等求得x0，然后求得斜率k； （5）根据点斜式写出切线方程； （6）将切线方程化为一般式. 【跟踪训练】 　已知函数f（x）＝，求曲线y＝f（x）在（1，f（1））处切线的斜率与方程. 题型二｜求切点坐标 【例2】　已知抛物线y＝f（x）＝2x2＋1分别满足下列条件，请求出切点的坐标. （1）切线的倾斜角为45°； （2）切线平行于直线4x－y－2＝0； （3）切线垂直于直线x＋8y－3＝0. 尝试解答 通性通法 求切点坐标的步骤 （1）设出切点坐标； （2）利用导数或斜率公式求出斜率； （3）利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标； （4）把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标. 【跟踪训练】 　直线l：y＝x＋a（a≠0）和曲线C：y＝x3－x2＋1相切，则a的值为　　　　 　，切点坐标为　　　　　　. 题型三｜导数几何意义的应用 【例3】　如图是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数h（t）＝－4.9t2＋4.8t＋11的图象.根据图象，请描述、比较曲线h（t）在t＝t0，t1，t2附近的变化情况. 尝试解答 通性通法 导数与函数图象升降的关系 　　若函数y＝f（x）在x＝x0处的导数存在且f'（x0）＞0（即切线的斜率大于零），则函数y＝f（x）在x＝x0附近的图象是上升的；若f'（x0）＜0（即切线的斜率小于零），则函数y＝f（x）在x＝x0附近的图象是下降的.导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢. 【跟踪训练】 　“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系式为h（t）＝－4.9t2＋14.7t，求烟花在t＝1 s时的瞬时速度，并解释烟花升空后至爆裂的运动情况. 1.设f（x）为可导函数，且满足＝－1，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为（　　） A.－1　　　　　　　　 B.－2 C.1 D.2 2.曲线f（x）＝－在点M（1，－2）处的切线方程为（　　） A.y＝－2x＋4 B.y＝－2x－4 C.y＝2x－4 D.y＝2x＋4 3.已知函数y＝f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y＝x＋2，则f（1）＋f'（1）＝　　　　. 4.已知曲线y＝x3上一点P，求： （1）曲线在点P处的切线方程； （2）过点P的曲线的切线方程. 提示：完成课后作业　第六章　6.1　6.1.2　第二课时 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二课时　导数的几何意义 【基础落实】 知识点 2. 想一想 1.提示：根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－f（x0）＝f'（x0）（x－x0）. 2.提示：不一定.二次曲线与其切线有且只有一个公共点，与其他曲线可能会有其他交点，只是在x＝x0附近有且只有一个公共点，而直线在某点处切线就是该直线. 3.提示：根据导数的几何意义，因为在A，B处的切线斜率大于零且kA＞kB，在C处的切线斜率小于零，所以f'（x1）＞f'（x2）＞f'（x3）. 自我诊断 1.C　∵曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x＋1，∴f'（1）＝2，则＝＝f'（1）＝1.故选C. 2.A　根据导数的几何意义知f'（4）是曲线y＝f（x）在x＝4处的切线的斜率k，注意到k＝＝，所以f'（4）＝. 3.2x＋y－2＝0　解析：由f'（x）＝ ＝ ＝ （－x－Δx）＝－x，所以f'（2）＝－2，即该曲线在点P（2，－2）处的切线斜率为－2，所以所求的切线方程为y－（－2）＝－2（x－2），即2x＋y－2＝0. 【典例研析】 【例1】　解：因为f'（1）＝ ＝＝[3＋3Δx＋（Δx）2]＝3， 所以由导数的几何意义知曲线在（1，f（1））处的切线斜率为k＝f'（1）＝3. 又因为f（1）＝1，所以曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y－1＝3（x－1），即3x－y－2＝0. 母题探究 　解：由可得（x－1）2（x＋2）＝0，解得x1＝1，x2＝－2.从而求得公共点为（1，1），（－2，－8）. 故例题中的切线与曲线y＝f（x）的公共点除切点（1，1）外，还有点（－2，－8）. 跟踪训练 解：因为f'（1）＝＝ ＝－1， 所以曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线斜率k＝f'（1）＝－1. 又因为f（1）＝1，所以曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y－1＝－（x－1），即x＋y－2＝0. 【例2】　解：设切点坐标为（x0，y0），则 Δy＝2（x0＋Δx）2＋1－2－1＝4x0·Δx＋2（Δx）2， ∴＝4x0＋2Δx， 当Δx→0时，→4x0，即f'（x0）＝4x0. （1）∵抛物线的切线的倾斜角为45°，∴斜率为tan 45°＝1， 即f'（x0）＝4x0＝1，得x0＝，∴切点的坐标为. （2）∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0， ∴k＝4，即f'（x0）＝4x0＝4，得x0＝1，∴切点坐标为（1，3）. （3）∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直， 则k·＝－1，即k＝8， 即f'（x0）＝4x0＝8，得x0＝2，∴切点坐标为（2，9）. 跟踪训练 　　解析：设直线l与曲线C的切点为（x0，y0），因为y'＝＝3x2－2x，设曲线C在x0处的导数为y， 则y＝3－2x0＝1，解得x0＝1或x0＝－. 当x0＝1时，y0＝－＋1＝1， 又（x0，y0）在直线y＝x＋a上， 将x0＝1，y0＝1代入得a＝0与已知条件矛盾，舍去. 当x0＝－时，y0＝－＋1＝， 则切点坐标为，将代入直线y＝x＋a中得a＝. 【例3】　解：我们用曲线h（t）在t＝t0，t1，t2处的切线斜率，刻画曲线h（t）在上述三个时刻附近的变化情况. （1）当t＝t0时，曲线h（t）在t＝t0处的切线l0平行于t轴，h'（t0）＝0.这时，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降. （2）当t＝t1时，曲线h（t）在t＝t1处的切线l1的斜率h'（t1）＜0.这时，在t＝t1附近曲线下降，即函数h（t）在t＝t1附近单调递减. （3）当t＝t2时，曲线h（t）在t＝t2处的切线l2的斜率h'（t2）＜0.这时，在t＝t2附近曲线下降，即函数h（t）在t＝t2附近也单调递减. 从图可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线h（t）在t＝t1附近比在t＝t2附近下降得缓慢. 跟踪训练 　解：烟花在t＝1 s时的瞬时速度就是h'（1）的值. 因为＝＝4.9－4.9Δt， 所以h'（1）＝＝（4.9－4.9Δt）＝4.9. 所以在t＝1 s时，烟花正以4.9 m/s的速度上升. 画出二次函数h（t）＝－4.9t2＋14.7t（0≤t≤1.5）的大致图象，如图所示，结合导数的几何意义，我们可以看出，在t＝1.5 s附近曲线比较平坦，也就是说此时烟花的瞬时速度近似为0，达到最高点时，瞬时速度为0并爆裂；当t∈[0，1.5）时，曲线在任何点处的切线斜率都大于0且切线的倾斜程度越来越小，也就是说烟花在达到最高点前，以越来越小的速度升空. 随堂检测 1.A　∵f（x）为可导函数，且满足＝－1，即f'（1）＝－1，∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f'（1）＝－1. 2.C　＝＝，所以当Δx→0时，f'（1）＝2，即k＝2.所以切线方程为y＋2＝2（x－1），即y＝2x－4.故选C. 3.3　解析：由导数的几何意义得f'（1）＝，由点M在切线上得f（1）＝×1＋2＝，所以f（1）＋f'（1）＝3. 4.解：（1）∵y'＝＝＝＝[3x2＋3xΔx＋（Δx）2]＝x2，∴当x＝2时，y'＝4， ∴曲线在点P处的切线的斜率等于4. 故曲线在点P处的切线方程是y－＝4（x－2），即12x－3y－16＝0. （2）设切点为（x0，y0），由（1）知y'＝x2，则点（x0，y0）处的切线斜率k＝，切线方程为y－y0＝（x－x0）. 又切线过点P，且（x0，y0）在曲线y＝x3上， ∴ 整理得－3＋4＝0，即（x0－2）2·（x0＋1）＝0，解得x0＝2或x0＝－1. 当x0＝2时，y0＝，切线斜率k＝4，切线方程为12x－3y－16＝0； 当x0＝－1时，y0＝－，切线斜率k＝1，切线方程为3x－3y＋2＝0. 故过点P的切线方程为12x－3y－16＝0或3x－3y＋2＝0. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $