6.1.2 第2课时 导数的几何意义(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

第二课时　导数的几何意义

下雨天，当我们将雨伞转动时，伞面边沿的水滴沿着伞的切线方向飞出.实际上物体（看作质点）做曲线运动时，运动方向在不停地变化，其速度方向为质点在其轨迹曲线上的切线方向，我们可以利用导数研究曲线的切线问题.

【问题】　你还能列举出生活中的其他实例吗？

　　　　　　　              　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

知识点　导数的几何意义

1.切线的概念

如图，设S是平面上的一条曲线，P0是曲线S上的一个定点，P是曲线S上P0附近的点，则称直线PP0为曲线S的割线，如果P无限接近于P0时，割线PP0无限接近于通过P0的一条直线l，则称直线l为曲线S在点P0处的切线.

2.导数的几何意义

f'（x0）就是曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处（也称在x＝x0处）的切线的斜率.设曲线在点（x0，f（x0））处切线的斜率为k0，则

k0＝　　＝f'（x0）.

【想一想】

1.若函数y＝f（x）在点x0处的导数存在，则曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程是什么？

提示：根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－f（x0）＝f'（x0）（x－x0）.

2.曲线的切线与曲线有且只有一个公共点吗？

提示：不一定.二次曲线与其切线有且只有一个公共点，与其他曲线可能会有其他交点，只是在x＝x0附近有且只有一个公共点，而直线在某点处切线就是该直线.

3.函数y＝f（x）的部分图象如图，根据导数的几何意义，你能比较f'（x1），f'（x2）和f'（x3）的大小吗？

提示：根据导数的几何意义，因为在A，B处的切线斜率大于零且kA＞kB，在C处的切线斜率小于零，所以f'（x1）＞f'（x2）＞f'（x3）.

1.设曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x＋1，则＝（　　）

A.4 B.2

C.1 D.

解析：C　∵曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x＋1，∴f'（1）＝2，则＝＝f'（1）＝1.故选C.

2.如图，直线l是曲线y＝f（x）在x＝4处的切线，则f'（4）＝（　　）

A. B.3

C.4 D.5

解析：A　根据导数的几何意义知f'（4）是曲线y＝f（x）在x＝4处的切线的斜率k，注意到k＝＝，所以f'（4）＝.

3.已知曲线y＝－x2，则该曲线在点P（2，－2）处的切线方程为　2x＋y－2＝0　.

解析：由f'（x）＝＝＝（－x－Δx）＝－x，所以f'（2）＝－2，即该曲线在点P（2，－2）处的切线斜率为－2，所以所求的切线方程为y－（－2）＝－2（x－2），即2x＋y－2＝0.

题型一｜求曲线的切线方程

【例1】　已知函数f（x）＝x3，求曲线y＝f（x）在（1，f（1）） 处切线的斜率与方程.

解：因为f'（1）＝

＝＝[3＋3Δx＋（Δx）2]＝3，

所以由导数的几何意义知曲线在（1，f（1））处的切线斜率为k＝f'（1）＝3.

又因为f（1）＝1，

所以曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y－1＝3（x－1），即3x－y－2＝0.

【母题探究】

　（变设问）本例条件不变，试问例题中的切线与曲线y＝f（x）是否还有其他的公共点？若有，求出公共点的坐标；若没有，说明理由.

解：由可得（x－1）2（x＋2）＝0，解得x1＝1，x2＝－2.从而求得公共点为（1，1），（－2，－8）.

故例题中的切线与曲线y＝f（x）的公共点除切点（1，1）外，还有点（－2，－8）.

通性通法

1.过曲线上一点求切线方程的步骤