6.1.2 第1课时 瞬时变化率与导数(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

6.1.2　导数及其几何意义

课标要求

第一课时　瞬时变化率与导数

上一节我们学习了用平均速度刻画物体在一段时间内运动的快慢.在实际中，还常常要考虑物体在某一瞬间的速度.比如，我们看到汽车在行驶过程中不断变化的速度表，每个时刻指针指向的数字就是汽车在该时刻的瞬时速度.

【问题】　如何理解瞬时速度？它与平均速度有何关系？

　　　　　　　              　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

知识点　函数的瞬时变化率与导数

1.物体运动的瞬时速度

设物体运动路程与时间的关系是s＝f（t），当Δt趋近于0时，函数f（t）在t0到t0＋Δt之间的平均变化率趋近于常数，我们把这个常数称为t0时刻的瞬时速度.

2.函数的瞬时变化率

设函数y＝f（x）在x0附近有定义，自变量在x＝x0处的改变量为Δx，当Δx无限趋近于0时，若平均变化率＝无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数f（x）在点x＝x0处的瞬时变化率.记作当Δx→0时，→k.

还可以说：当Δx→0时，函数平均变化率的极限值等于函数在x0的瞬时变化率，记作 ＝k.

3.函数f（x）在x＝x0处的导数

函数y＝f（x）在点x0的瞬时变化率，通常称为f（x）在点x0处的导数，并记作f'（x0），即f'（x0）＝ .

【想一想】

1.函数y＝f（x）在x＝x0处的导数与Δx值的正、负有关吗？

提示：无关.

2.瞬时速度与平均速度有何区别与联系？

提示：区别：瞬时速度是刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关.联系：瞬时速度是平均速度的极限值.

1.函数f（x）＝x2在区间[0，2]上的平均变化率等于x＝m时的瞬时变化率，则m＝（　　）

A. B.1

C.2 D.

解析：B　函数f（x）＝x2在区间[0，2]上的平均变化率为＝＝2，f（x）＝x2在x＝m时的瞬时变化率为＝＝（Δx＋2m）＝2m，所以2＝2m，解得m＝1.故选B.

2.一个物体的运动方程为s（t）＝1－t＋t2，其中s的单位是m，t的单位是s，那么该物体在3 s末的瞬时速度是（　　）

A.7 m/s B.6 m/s

C.5 m/s D.8 m/s

解析：C　因为Δs＝s（3＋Δt）－s（3）＝1－（3＋Δt）＋（3＋Δt）2－（1－3＋9）＝5Δt＋（Δt）2，所以s'（3）＝（5＋Δt）＝5（m/s），即该物体在3 s末的瞬时速度是5 m/s.

3.若＝3，则f'（1）＝　－3　.

解析：由于＝－＝－f'（1）＝3，所以f'（1）＝－3.

4.函数f（x）＝x2在x＝1处的瞬时变化率是　2　.

解析：∵f（x）＝x2，∴函数f（x）在x＝1处的瞬时变化率是f'（1）＝ ＝ ＝ ＝ （2＋Δx）＝2.

题型一｜求瞬时速度

【例1】　已知某质点的运动方程为s（t）＝3t2＋2t＋1（位移s的单位为m，时间t的单位为s）.

（1）求该质点在2≤t≤2＋Δt这段时间内的平均速度；

解：（1）质点在2≤t≤2＋Δt这段时间内的平均速度为

＝＝＝（3Δt＋14）（m/s）.

（2）在（1）中，若Δt＝0.1，则平均速度是多少？

解：（2）当Δt＝0.1时，所求平均速度为3×0.1＋14＝14.3（m/s）.

（3）求该质点在t＝2 s时的瞬时速度.

解：（3）∵＝（3Δt＋14）＝14，

∴该质点在t＝2 s时的瞬时速度为14 m/s.

通性通法

求瞬时速度的步骤

（1）求物体运动位移与时间的关系s＝s（t）；

（2）求时间改变量Δt，位移改变量Δs＝s（t0＋Δt）－s（t0）；

（3）求平均速度＝；

（4）求瞬时速度v'＝.

【跟踪训练】