5.2.1 第2课时 等差数列的性质(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

第二课时　等差数列的性质

课标要求

　　如图，第一层有一个球，第二层有2个球，最上层有16个球.

【问题】　（1）每隔一层的球数有什么规律？

（2）每隔二层呢？每隔三层呢？

　　　　                       　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　              　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

知识点一　等差中项

　如果x，A，y是等差数列，那么称　A　为x与y的等差中项，根据等差中项与等差数列的定义可知，A＝　　.

【想一想】

1.任何两个实数都有等差中项吗？

提示：任何两个实数都有等差中项.

2.若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列吗？

提示：若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列.

1.已知三个数19，5x，31是等差数列，则x＝　5　.

解析：因为三个数19，5x，31成等差数列，所以10x＝19＋31＝50⇒x＝5.

2.已知数列{an}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，则公差d＝　1　.

解析：∵{an}是等差数列，∴a2－a1＝d，a3－a2＝d，两式相加得a3－a1＝2d，又a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，∴a1＋a2＝2，a2＋a3＝4，两式相减可得a3－a1＝4－2，则2d＝4－2，解得d＝1.

知识点二　等差数列的性质

1.等差数列通项公式的推广

2.等差数列的性质

（1）如果{an}是等差数列，而且正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as＋at＝　ap＋aq　.

①特别地，当p＋q＝2s时，ap＋aq＝　2as　；

②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….

（2）若{an}是公差为d的等差数列，则

①{c＋an}（c为任一常数）是公差为　d　的等差数列；

②{can}（c为任一常数）是公差为　cd　的等差数列；

③{an＋an＋k}（k为常数，k∈N＋）是公差为　2d　的等差数列.

（3）若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}（p，q为常数）是公差为　pd1＋qd2　的等差数列.

【想一想】

　下列说法是否正确？并说明理由.

（1）若{an}是等差数列，则{｜an｜}也是等差数列；

（2）若{｜an｜}是等差数列，则{an}也是等差数列；

（3）若{an}是等差数列，则对任意n∈N＋都有2an＋1＝an＋an＋2；

（4）数列{an}的通项公式为an＝3n＋5，则数列{an}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等.

提示：（1）错误.如－2，－1，0，1，2是等差数列，但其绝对值就不是等差数列.

（2）错误.如数列－1，2，－3，4，－5其绝对值为等差数列，但其本身不是等差数列.

（3）正确.根据等差数列的通项可判定对任意n∈N＋，都有2an＋1＝an＋an＋2成立.

（4）正确.因为an＝3n＋5的公差d＝3，而直线y＝3x＋5的斜率也是3.

1.在等差数列{an}中，若a5＝6，a8＝15，则a4＋a9＝（　　）

A.32　　　　　　　　　B.21

C.－33 D.29

解析：B　由等差数列的性质知a4＋a9＝a5＋a8＝21.

2.若数列{an}为等差数列，且a3＋a9＝4，则a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝　10　.

解析：因为数列{an}为等差数列，由a3＋a9＝2a6＝4，解得a6＝2，则a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝（a2＋a10）＋（a4＋a8）＋a6＝5a6＝10.

3.在等差数列{an}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，则2a9－a10的值为　30　.

解析：∵a2＋a14＝2a8，∴a2＋2a8＋a14＝4a8＝120，

∴a8＝30.∴2a9－a10＝（a8＋a10）－a10＝a8＝30.

题型一｜等差中项的应用

【例1】　（1）在△ABC中，若角B是A与C的等差中项，则cos B＝（　A　）

A. B.－

C. D.－

解析：　∵角B是A与C的等差中项，∴2B＝A＋C，又∵A＋C＋B＝π，∴3B＝π，即B＝.∴cos B＝.

（2）若是与的等差中项，求证：，，成等差数列.

证明：∵是与的等差中项，

∴＝＋，即2ac＝b（a＋c）.