模块综合检测（二）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教用课件（人教B版）

模块综合检测（二） （时间：120分钟　满分：150分） 1 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝（　　） A. －3 B. －11 C. －5 D. 19 解析： 　由an＋1＝an＋2－an，得an＋2＝an＋an＋1，则a3＝a1＋a2＝7，a4 ＝a2＋a3＝12，a5＝a3＋a4＝19. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 已知函数f（x）＝ sin x，其导函数为f'（x），则f' ＝（　　） A. － B. C. D. － 解析： ∵f（x）＝ sin x，∴f'（x）＝ cos x，∴f' ＝ cos ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 3. 设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数 列，则q等于（　　） A. 1 B. 0 C. 1或0 D. －1 解析： 　因为Sn－Sn－1＝an，又{Sn}是等差数列，所以an为定值，即数 列{an}为常数列，所以q＝ ＝1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 4. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn 取最小值时，n等于（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 解析： 　设等差数列的公差为d，∵a4＋a6＝－6，∴2a5＝－6，∴a5＝ －3.又∵a1＝－11，∴－3＝－11＋4d，∴d＝2.∴Sn＝－11n＋ ×2＝n2－12n＝（n－6）2－36，故当n＝6时，Sn取得最小值，故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 5. 已知曲线f（x）＝（x＋a）ex在x＝1和x＝－1处的切线相互垂直， 则a＝（　　） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 解析： 　因为f'（x）＝（x＋a＋1）ex，所以f'（1）＝（a＋2）·e，f' （－1）＝ae－1＝ .由题意有f'（1）·f'（－1）＝－1，所以a＝－1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 6. 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝（　　） A. 2n－1 B. C. D. 解析： 　因为an＋1＝Sn＋1－Sn，所以由Sn＝2an＋1，得Sn＝2（Sn＋1－ Sn），整理得3Sn＝2Sn＋1，所以 ＝ ，所以数列{Sn}是以S1＝a1＝1为 首项， 为公比的等比数列，故Sn＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 7. 若定义在R上的函数y＝f（x）满足f'（x）＞f（x），则当a＞0时，f （a）与eaf（0）的大小关系为（　　） A. f（a）＜eaf（0） B. f（a）＞eaf（0） C. f（a）＝eaf（0） D. 不能确定 解析： 令F（x）＝ ，则F'（x）＝ ＝ ＞0，从而F（x）＝ 在R上单调递增，于是当a＞0 时，F（a）＝ ＞F（0）＝ ＝f（0），即f（a）＞eaf（0）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 8. 若函数f（x）＝ax－ln x在区间（0，e]上的最小值为3，则实数a的值 为（　　） A. e2 B. 2e C. D. 解析： 　f'（x）＝a－ （x＞0）. （1）当a≤0时，f'（x）＜0，所以f（x）在（0，e]上单调递减，f（x） min＝f（e）＝ae－1＝3，解得a＝ ，矛盾，舍去. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）当a＞0时，f'（x）＝ .①当0＜a≤ 时， ≥e，此时f'（x） ＜0在（0，e]上恒成立，所以f（x）在（0，e]上单调递减，f（x）min＝ f（e）＝ae－1＝3，解得a＝ ，矛盾，舍去.②当a＞ 时，0＜ ＜e.当0 ＜x＜ 时，f'（x）＜0，所以f（x）在 上单调递减，当 ＜x＜e 时，f'（x）＞0，所以f（x）在 上单调递增，于是f（x）min＝ f ＝1＋ln a＝3，解得a＝e2.综上，a＝e2.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的 四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选 对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数y＝f（x），其导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则函数y ＝f（x）（　　） A. 在（－∞，0）上单调递减 B. 在x＝0处取极大值 C. 在（4，＋∞）上单调递减 D. 在x＝2处取极小值 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　由导函数的图象可知：x∈（－∞，0）∪（2，4）时，f' （x）＞0，x∈（0，2）∪（4，＋∞）时，f'（x）＜0，因此f（x）在 （－∞，0），（2，4）上单调递增，在（0，2），（4，＋∞）上单调递 减，所以在x＝0处取得极大值，x＝2处取得极小值，x＝4处取得极大 值，故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 10. 已知公差为d的等差数列a1，a2，a3，…，则对重新组成的数列a1＋ a4，a2＋a5，a3＋a6，…描述正确的是（　　） A. 一定是等差数列 B. 公差为2d的等差数列 C. 可能是等比数列 D. 可能既非等差数列又非等比数列 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　由题意得a1＋a4＝2a1＋3d，a2＋a5＝2a1＋5d，a3＋a6＝ 2a1＋7d，…，令bn＝an＋an＋3，则bn＋1－bn＝[2a1＋（2n＋3）d]－ [2a1＋（2n＋1）d]＝2d，因此数列a1＋a4，a2＋a5，a3＋a6，…一定是 公差为2d的等差数列，即A、B正确，D错误；当a1≠0，d＝0时bn＝ 2a1，此时数列a1＋a4，a2＋a5，a3＋a6，…可以是等比数列，即C正确.故 选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 11. 对于函数f（x）＝16ln（1＋x）＋x2－10x，下列说法正确的是 （　　） A. x＝3是函数f（x）的一个极值点 B. f（x）的单调递增区间是（－1，1），（2，＋∞） C. f（x）在区间（1，2）上单调递减 D. 直线y＝16ln 3－16与函数y＝f（x）的图象有3个交点 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　由题意得f'（x）＝ ＋2x－10＝ ，x＞－1，令 2x2－8x＋6＝0，可得x＝1，x＝3，则f（x）在（－1，1），（3，＋ ∞）上单调递增，在（1，3）上单调递减，∴x＝3是函数f（x）的一个 极值点，故A、C正确，B错误；∵f（1）＝16ln（1＋1）＋12－10＝16ln 2 －9，f（3）＝16ln（1＋3）＋32－10×3＝16ln 4－21，又y＝16ln 3－16 ＝f（2），根据f（x）在（1，3）上单调递减得f（1）＞f（2）＞f （3），即16ln 3－16＜16ln 2－9，16ln 3－16＞16ln 4－21，∴直线y＝ 16ln 3－16与函数y＝f（x）的图象有3个交点，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横 线上） 12. 已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an＝ .　 解析：当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n＋1）－（3n－1＋1）＝2×3n－1. 当n＝1时，2×31－1＝2≠a1， 所以an＝ 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 13. 若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则当其表面积最小时，底 面边长为 ⁠. 解析：设底面边长为x，则表面积S＝ x2＋ V（x＞0），∴S'＝ （x3－4V）.由S'＝0，得x＝ ，可判断当x＝ 时，S取得最小值. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 14. 如图，在边长为a的等边三角形ABC中，圆D1与△ABC相切，圆D2与 圆D1相切且与AB，AC相切，……，圆Dn＋1与圆Dn相切且与AB，AC相 切，依次得到圆D3，D4，…，Dn.设圆D1，D2，…，Dn的面积之和为 Xn （n∈N＋），则Xn＝ （用含n，a的代数式表示）. πa2 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析：等边三角形的内心、重心、外心、垂心四心合一，所以圆D1的半径 为 × a＝ a，面积为 ·π；圆D2的半径为 × a，面积为 · ·π； 圆D3的半径为 × a，面积为 · ·π；以此类推，圆Dn的面积为 · ·π，所以各圆面积构成首项为 ·π，公比为 的等比数列，所以 Xn＝ ＝ ·π· ＝ πa2· . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤） 15. （本小题满分13分）设曲线y＝e－x（x≥0）在点M（t，e－t）处的切 线l与x轴，y轴围成的三角形面积为S（t）. （1）求切线l的方程； 解： ∵y＝e－x，∴yx'＝（e－x）'＝－e－x， 当x＝t时，yx'＝－e－t. 故切线方程为y－e－t＝－e－t（x－t）， 即x＋ety－（t＋1）＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）求S（t）的解析式. 解： 令y＝0，得x＝t＋1. 令x＝0，得y＝e－t（t＋1）. ∴S（t）＝ （t＋1）·e－t（t＋1）＝ （t＋1）2e－t（t≥0）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 16. （本小题满分15分）已知等差数列{bn}中，bn＝log2（an－1），且a1 ＝3，a3＝9. （1）求数列{bn}的通项公式； 解： 设等差数列{bn}的公差为d，由a1＝3，a3＝9，得b1＝log2（a1 －1）＝log22＝1，b3＝log2（a3－1）＝log28＝3， ∴b3－b1＝2＝2d，∴d＝1，∴bn＝1＋（n－1）×1＝n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn. 解： 由（1）知bn＝n，∴log2（an－1）＝n，∴an－1＝2n， ∴an＝2n＋1. ∴Sn＝a1＋a2＋…＋an ＝（2＋1）＋（22＋1）＋…＋（2n＋1） ＝（2＋22＋…＋2n）＋n ＝ ＋n＝2n＋1＋n－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 17. （本小题满分15分）已知函数f（x）＝aln x－ax－3（a∈R）. （1）求函数f（x）的单调区间； 解： 根据题意知，f'（x）＝ （x＞0）， 当a＞0时，则当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，当x∈（1，＋∞）时，f' （x）＜0，所以f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为 （1，＋∞）； 同理，当a＜0时，f（x）的单调递增区间为（1，＋∞），单调递减区间 为（0，1）； 当a＝0时，f（x）＝－3，不是单调函数，无单调区间. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）当a＝－1时，证明：当x∈（1，＋∞）时，f（x）＋2＞0. 解： 证明：当a＝－1时，f（x）＝－ln x＋x－3， 所以f（1）＝－2， 由（1）知f（x）＝－ln x＋x－3在（1，＋∞）上单调递增， 所以当x∈（1，＋∞）时，f（x）＞f（1）， 即f（x）＞－2，所以f（x）＋2＞0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 18. （本小题满分17分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且6，2Sn，an成 等差数列. （1）求an； 解： 因为6，2Sn，an成等差数列，所以4Sn＝an＋6，所以4Sn－1＝an －1＋6（n≥2）， 两式相减得4an＝an－an－1，即an＝－ an－1（n≥2）. 当n＝1时，4S1＝a1＋6，所以a1＝2， 故{an}是以2为首项，－ 为公比的等比数列，所以an＝2· . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）是否存在m∈N＋，使得a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＞6am对任意的 n∈N＋成立？若存在，求出m的所有取值；否则，请说明理由. 解： 结合（1）得anan＋1＝4· ， 所以原不等式等价于4［ ＋ ＋…＋ ］＞ 12· ，即 ＞3· ，即 ＜ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 因为1－ ＜1且n→＋∞时1－ →1，所以上述不等式转化为 ≥ ， 显然m为偶数，且m＝2成立. 当m≥4时， ≤ ，不满足题意，故m＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 19. （本小题满分17分）已知函数f（x）＝ex－ax和g（x）＝ax－ln x有 相同的最小值. （1）求a； 解： f'（x）＝ex－a，g'（x）＝a－ . ①若a≤0，f'（x）＞0在R上恒成立，f（x）在R上单调递增，即f（x） 无最小值； ②若a＞0，当x∈（－∞，ln a）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当 x∈（ln a，＋∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增. ∴f（x）在x＝ln a处取得最小值f（ln a）＝a－aln a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 当x∈ 时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈ 时， g'（x）＞0，g（x）单调递增. ∴g（x）在x＝ 处取得最小值g ＝1＋ln a. 又f（x）与g（x）有相同的最小值， ∴a－aln a＝1＋ln a，a＞0. 设h（a）＝aln a＋ln a－a＋1，a＞0， 则h'（a）＝ ＋ln a， 令φ（a）＝h'（a），则φ'（a）＝－ ＋ ＝ ，a＞0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 当a∈（0，1）时，φ'（a）＜0，h'（a）单调递减. 当a∈（1，＋∞）时，φ'（a）＞0，h'（a）单调递增. ∴h'（a）在a＝1处取得最小值h'（1）＝1＞0，则当a＞0时，h'（a）＞0 恒成立，h（a）单调递增. 又h（1）＝0，∴a＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）证明：存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有 三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列. 解： 证明：由（1）得f（x）＝ex－x，g（x）＝x－ln x， 且f（x）在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，g （x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，f（x）min ＝g（x）min＝1. 当直线y＝b与曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同交点时，设三个 交点的横坐标分别为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3， 则f（x1）＝f（x2）＝g（x2）＝g（x3）＝b. ∵f（x）＝ex－x，g（x）＝x－ln x＝eln x－ln x＝f（ln x）， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 ∴f（x1）＝f（x2）＝f（ln x2）＝f（ln x3）. 由于x2≠x1，x2≠ln x2，∴x2＝ln x3，x1＝ln x2， 则f（ln x2）＝ －ln x2＝x2－ln x2＝x2－x1＝b， f（ln x3）＝ －ln x3＝x3－ln x3＝x3－x2＝b， 上述两式相减得x1＋x3＝2x2，即从左到右的三个交点的横坐标成等差 数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 $