5.3.2 第1课时 等比数列的前n项和公式-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教用课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦等比数列前n项和公式，通过“甲、乙30天金钱约定”情境导入，衔接等比数列通项公式，构建从概念到应用的知识支架，帮助学生理解公式推导及与通项公式的联系。 其亮点在于以生活情境（如剪纸工艺、两鼠穿墙）激发兴趣，通过多解法典例（公式法、性质法）培养数学运算与逻辑推理能力，结合跟踪训练强化知识迁移，助力学生用数学语言解决实际问题，也为教师提供系统教学资源，提升课堂效率。

5.3.2　等比数列的前n项和 1 1.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n 项和公式的关系（数学运算）. 2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题 （逻辑推理、数学运算）. 课标要求 第一课时　等比数列的前n项和公式 3 基础落实 01 典例研析 02 目录 课时作业 03 4 01 PART 基础落实 目 录 　　甲、乙二人约定在一个月（按30天）内甲每天给乙100元钱，而乙则 第一天给甲返还一分，第二天给甲返还二分，即后一天返还的钱是前一天 的二倍. 【问题】　一个月后，甲、乙两人谁赢谁亏？ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 知识点　等比数列的前n项和公式 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【想一想】 1. 等比数列的前n项和公式中Sn＝ 的适用条件是什么？ 提示：公比q≠1. 2. 若首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和Sn为何 值？ 提示：若数列既是等差数列，又是等比数列，则是非零常数列，所以前n 项和为Sn＝na. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 3. 若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a（a≠0，q≠0且q≠1， n∈N＋），则此数列一定是等比数列吗？ 提示：是.根据等比数列前n项和公式Sn＝ （q≠0且q≠1）变 形为Sn＝ － ·qn（q≠0且q≠1）， 若令a＝ ，则和式可变形为Sn＝a－aqn. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 1. 等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为（　　） A. 4 B. －4 C. 2 D. －2 解析： 　由S5＝ ＝44，得a1＝4. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 记等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝a·2n－4，则a1＝（　　） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 解析： 　显然q≠1，等比数列前n项和公式为Sn＝ ＝－ qn ＋ .因为Sn＝a·2n－4为等比数列的前n项和，所以a＝4，所以Sn＝ 4·2n－4，所以a1＝S1＝4×2－4＝4.故选C. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 3. 在等比数列{an}中，a1＝1，q＝2，则 ＋ ＋…＋ ＝ 　 　. 解析：因为a1＝1，q＝2，所以an＝1×2n－1，所以 ＝（ ）n－1，所以 ＋ ＋…＋ ＝ ＝ . 　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 02 PART 典例研析 目 录 题型一｜等比数列的前n项和公式的基本运算 【例1】　在等比数列{an}中，公比为q，前n项和为Sn. （1）已知a1＝8，an＝ ，Sn＝ ，求n； 解： 显然q≠1，由Sn＝ ，即 ＝ ， ∴q＝ .又∵an＝a1qn－1，即8× ＝ ， ∴n＝6. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）已知S3＝ ，S6＝ ，求a1与q. 解： 法一　由S6≠2S3知q≠1，由题意得 ②÷①，得1＋q3＝9，∴q3＝8，即q＝2. 代入①得a1＝ . 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 法二　由S3＝a1＋a2＋a3，S6＝S3＋a4＋a5＋a6＝S3＋q3（a1＋a2＋a3） ＝S3＋q3S3＝（1＋q3）S3， ∴1＋q3＝ ＝9，∴q3＝8，即q＝2. 代入 ＝ ，得a1＝ . 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【母题探究】 1. （变设问）本例（2）条件不变，试求an与Sn. 解：由本例（2）知a1＝ ，q＝2， 所以an＝a1qn－1＝ ·2n－1＝2n－2， Sn＝ ＝2n－1－ . 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. （变条件）若本例（2）中的条件“S3＝ ，S6＝ ”变为“S3＝ ，S6 ＝ ”，其他条件不变，结果又如何呢？ 解：设等比数列{an}的公比为q，则由S6≠2S3得q≠1，则 解得q＝2，a1＝ . 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 通性通法 　　在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元 素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而 列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的.这 是方程思想与整体思想在数列中的具体应用. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【跟踪训练】 　在等比数列{an}中，已知a6－a4＝24，a3·a5＝64，求S8. 解：法一　由题意，得 化简得 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 ①÷②，得q2－1＝±3，负值舍去， ∴q2＝4，∴q＝2或q＝－2. 当q＝2时，代入①得a1＝1， ∴S8＝ ＝255. 当q＝－2时，代入①得a1＝－1. ∴S8＝ ＝ . 综上知S8＝255或S8＝ . 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 法二　由等比数列的性质得a3·a5＝ ＝64，∴a4＝±8. 当a4＝8时，∵a6－a4＝24，∴a6＝32，∴q2＝ ＝4， ∴q＝±2. 当a4＝－8时，a6－a4＝24，∴a6＝16. ∴q2＝ ＝－2，无解.故q＝±2. 当q＝2时，a1＝ ＝1，S8＝ ＝255. 当q＝－2时，a1＝ ＝－1，S8＝ ＝ . 综上知S8＝255或S8＝ . 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 题型二｜等比数列前n项和的性质 【例2】　等比数列{an}的前n项和Sn＝48，前2n项和S2n＝60，则前3n项 和S3n＝ ⁠. 解析：法一　设公比为q，由已知易知q≠1，由 可得 所以S3n＝ ＝ ·[1－（qn）3]＝ 64× ＝63. 63　 法二　由Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，得（S2n－Sn）2＝Sn·（S3n －S2n），即（60－48）2＝48（S3n－60），解得S3n＝63. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 通性通法 1. 等比数列前n项和的性质 　　设等比数列{an}，Sn为{an}的前n项和，公比为q，则： （1）当q＝1时， ＝ ；当q≠±1时， ＝ ； （2）Sn＋m＝Sm＋qmSn＝Sn＋qnSm； （3）设S偶与S奇分别是偶数项的和与奇数项的和.若项数为2n，则 ＝ q；若项数为2n＋1，则 ＝q； 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 运用等比数列求和性质解题时，一定要注意性质成立的条件，否则会出 现失误.如Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列的前提是Sn，S2n－Sn，S3n －S2n均不为0. （4）当q≠－1时，连续n项的和（如Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…）仍构 成等比数列（公比为qn，n≥2）. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【跟踪训练】 1. 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若 ＝3，则 ＝（　　） A. 2 B. C. D. 3 解析： 　法一　设数列{an}的公比为q，所以S6＝S3＋q3S3，S9＝S6＋ q6S3＝S3＋q3S3＋q6S3，于是 ＝ ＝3，即1＋q3＝3，所以q3＝ 2.于是 ＝ ＝ ＝ . √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 法二　由 ＝3，得S6＝3S3.设数列{an}的公比为q，由题意知q≠－1， 所以S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，所以（S6－S3）2＝S3（S9－ S6），解得S9＝7S3，所以 ＝ . 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为 ，偶数项之 和为 ，则这个等比数列的公比q＝ 　 　. 解析：设数列{an}共有2m＋1项，由题意得S奇＝a1＋a3＋…＋a2m＋1＝ ，S偶＝a2＋a4＋…＋a2m＝ ，则S奇＝a1＋a2q＋…＋a2mq＝2＋q（a2 ＋a4＋…＋a2m）＝2＋ q＝ ，解得q＝ . 　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 题型三｜等比数列前n项和的实际应用 【例3】　中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹， 用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术.剪纸具有 广泛的群众基础， 交融于各族人民的社会生活， 是各种 民俗活动的重要组成部分. 其传承赓续的视觉形象和造型 格式， 蕴涵了丰富的文化历史信息.已知某剪纸的裁剪工 艺如下： 取一张半径为1的圆形纸片，记为☉O，在☉O内作内接正方形，接着在该正方形内作内切圆，记为☉O1，并裁剪去该正方形与内切圆之间的部分 （如图所示阴影部分），记为一次裁剪操作，…，重复上述裁剪操作n次，最终得到该剪纸，则第2 026次操作后，所有被裁剪部分的面积之和为 ⁠. （4－π）（ 1－ ）　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析：设☉On的半径为Rn，则R1＝ ， ☉On＋1的半径为 Rn，即Rn＋1＝ Rn，故Rn＝R1（ ）n－1＝（ ）n＝ （ . 又第n次裁剪操作的正方形边长为2Rn＝（ ， 故第n次裁剪操作裁剪掉的面积为（ －π×（ ＝ （ ）n－2－π×（ ）n 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 ＝ － ＝ ， 所以第n次裁剪操作后，裁剪掉的面积之和为 （4－π）（ ＋ ＋…＋ ）＝（4－π）（ 1－ ）， 所以第2 026次操作后，所有被裁剪部分的面积之和为（4－π）（ 1－ ）. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 通性通法 解数列应用题的思路和方法 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 【跟踪训练】 　《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”的问题：“今有垣厚五尺，两鼠对 穿.大鼠日一尺，小鼠亦日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问几何日相 逢？各穿几何？”其大意为：“今有一堵墙厚5尺，两只老鼠从墙的两边 沿一条直线相对打洞穿墙，大老鼠第一天打洞1尺，以后每天是前一天的2 倍；小老鼠第一天也打洞1尺，以后每天是前一天的 .问大、小老鼠几天 后相遇？各自打洞几尺？”如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打洞长度 之和，则Sn＝ 尺. 2n－ ＋1　 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析：由题意可知，大老鼠每天打洞的长度构成以1为首项，2为公比的等 比数列，前n天打洞长度之和为 ＝2n－1，小老鼠每天打洞的长度构成 以1为首项， 为公比的等比数列，前n天打洞长度之和为 ＝2－ ，所以Sn＝2n－1＋2－ ＝2n－ ＋1. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 1. 已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1， 则a3＝（　　） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 解析： 　由题意知 解得 ∴ a3＝ a1q2＝4.故选C. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝4，S8＝16，则a9＋a10＋a11＋ a12＝（　　） A. 36 B. 32 C. 24 D. 16 解析： 　设等比数列{an}的公比为q，由S4＝4，S8＝16，得a5＋a6＋a7 ＋a8＝S8－S4＝12，因此q4＝ ＝3，所以a9＋a10＋a11＋a12 ＝q4（a5＋a6＋a7＋a8）＝36.故选A. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 3. 记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a5＝2a3，则 ＝（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 解析： 　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由a5＝2a3，即a1q4＝ 2a1q2，解得q2＝2.所以 ＝ ＝ ＝ ＝7.故选C. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 4. 已知数列{an}是公比为3的等比数列，其前n项和Sn＝3n＋k（n∈N ＋），则实数k为（　　） A. 0 B. 1 C. －1 D. 2 解析： 　由数列{an}的前n项和Sn＝3n＋k（n∈N＋），当n＝1时， a1＝S1＝3＋k；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋k－（3n－1＋k）＝2×3n－1.因为数列{an}是公比为3的等比数列，所以a1＝2×31－1＝3＋k，解得k＝－1. √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 5. 在等比数列{an}中，其前n项和为Sn. （1）若S2＝30，S3＝155，求Sn； 解： 由题意知 解得 或 从而Sn＝ ×5n＋1－ 或Sn＝ . 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）若Sn＝189，a1＝3，an＝96，求q和n. 解： ∵等比数列{an}中，a1＝3，an＝96，Sn＝189， ∴ ＝189.∴q＝2. ∴an＝a1qn－1＝3×2n－1， ∴96＝3×2n－1，∴n＝5＋1＝6. 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 课时作业 03 PART 目 录 1. 已知数列{ }是以1为首项，4为公比的等比数列，则 ＝（　　） A. B. C. 433－1 D. 432＋1 解析： 　由题意可知{ }是以1为首项，4为公比的等比数列，显然 代表数列{ }的前66项和，所以 ＝ ＝ .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 2. 记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则 ＝ （　　） A. 2n－1 B. 2－21－n C. 2－2n－1 D. 21－n－1 解析： 　法一　设等比数列{an}的公比为q，则由 解得 所以Sn＝ ＝2n－ 1，an＝a1qn－1＝2n－1，所以 ＝ ＝2－21－n，故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 法二　设等比数列{an}的公比为q，因为 ＝ ＝ ＝ ＝ 2，所以q＝2，所以 ＝ ＝ ＝2－21－n，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 3. 已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝ ，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝ （　　） A. 16（1－4－n） B. 16（1－2－n） C. （1－4－n） D. （1－2－n） √ 解析： 　由a5＝a2q3，得q3＝ ，所以q＝ ，而数列{anan＋1}也为等比数 列，其首项为a1·a2＝8，公比为q2＝ ，所以a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝ ＝ （1－4－n）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 4. 已知函数f（x）满足f（x＋1）＝f（x）＋2x＋3，且f（1）＝1，则f （1 000）＝（　　） A. 2999＋2 995 B. 2999＋2 996 C. 21 000＋2 995 D. 21 000＋2 996 解析： 　由f（x＋1）＝f（x）＋2x＋3，则f（x＋1）－f（x）＝2x＋ 3，则f（2）－f（1）＝2＋3，f（3）－f（2）＝22＋3，…，f（1 000） －f（999）＝2999＋3，将以上各式相加得f（1 000）－f（1）＝2＋22＋… ＋2999＋3×999＝ ＋3×（1 000－1）＝21 000＋2 995，所以f（1 000）＝21 000＋2 995＋f（1）＝21 000＋2 996.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 5. 已知数列{an}是公比为q的等比数列，前n项和为Sn，且S6＝2S2≠0， 则下列说法正确的是（　　） A. q2＝ B. {an}为递增数列 C. {an}为递减数列 D. ＝ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　∵S6＝2S2≠0，∴q≠±1，则 ＝ ，由1 －q6＝（1－q2）（1＋q2＋q4），q≠±1且a1≠0，得q4＋q2＋1＝2，即 q4＋q2－1＝0，解得q2＝ ，故A正确；q＝± ，∴{an}的单调 性不确定，故B、C错误；又 ＝ ＝1＋q2＝ ，故D错误.故 选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 6. 〔多选〕设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为 Tn，并且满足条件a1＞1，a7a8＞1， ＜0.则下列结论正确的是 （　　） A. 0＜q＜1 B. a7a9＜1 C. Tn的最大值为T7 D. Sn的最大值为S7 解析： 　∵a1＞1，a7a8＞1， ＜0，∴a7＞1，0＜a8＜1，∴0＜q ＜1，故A正确；a7a9＝ ＜1，故B正确；T7是数列{Tn}中的最大项，故C 正确；∵a1＞1，0＜q＜1，∴Sn无最大值，故D不正确.故选A、B、C. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 7. 设数列{an}的前n项和为Sn，写出{an}的一个通项公式an＝ ⁠ ，满足下面两个条件：①{an}是单调递减数列；②{Sn}是单 调递增数列. 解析：根据前n项和数列是单调递增的，可以判定数列的各项，从第二项 起，各项都是大于零的，由数列本身为单调递减数列，结合各项的值的要 求，可以考虑公比在0到1之间的等比数列，an＝ 就是符合条件的一个 通项. （答 案不唯一）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 8. 已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝ S2，则 ＝ ⁠. 解析：设正项等比数列{an}的公比为q（q＞0），由S4＝ S2，得a4＋a3 ＝S4－S2＝ S2＝ （a2＋a1），因此q2＝ ，q＝ ，所以 ＝q3＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 9. 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋an＋1＝4×3n－1，则S2 026 ＝ ⁠. 解析：根据题意，可得a1＋a2＝4×30＝4，a3＋a4＝4×32，…，a2 025＋a2 026＝4×32 024，所以S2 026＝4×30＋4×32＋…＋4×32 024＝4×（30＋32＋… ＋32 024）＝4× ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 10. 已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2＋ a3＋a4＝－18. （1）求数列{an}的通项公式； 解： 设等比数列{an}的公比为q，则a1≠0，q≠0. 由题意得 即 解得 故数列{an}的通项公式为an＝3×（－2）n－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）是否存在正整数n，使得Sn≥2 025？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由. 解： 由（1）有Sn＝ ＝1－（－2）n. 若存在正整数n，使得Sn≥2 025，则1－（－2）n≥2 025， 即（－2）n≤－2 024. 当n为偶数时，（－2）n＞0，上式不成立； 当n为奇数时，（－2）n＝－2n≤－2 024，即2n≥2 024，则n≥11. 综上，存在符合条件的正整数n，且n的集合为{n｜n＝2k＋1，k∈N， k≥5}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 11. 〔多选〕设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为 Tn，且满足条件a1＞1，a2 026a2 025＞1，（a2 026－1）（a2 025－1）＜0，则 下列选项正确的是（　　） A. 0＜q＜1 B. S2 025＞S2 026－1 C. T2 026是数列{Tn}中的最大项 D. T4 049＜1 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　由（a2 026－1）（a2 025－1）＜0，a2 025－1＞0，a2 026－1＜0 或a2 025－1＜0，a2 026－1＞0，而a1＞1，a2 026a2 025＞1，a2 025，a2 026同 号，则a2 025＞1，a2 026＜1，即数列前2 025项大于1，从第2 026项开始小于 1.对于A，q＝ ＜1，又q＞0，则0＜q＜1，A正确；对于B，由a2 026 ＜1，得S2 026－S2 025＝a2 026＜1，则S2 025＞S2 026－1，B正确；对于C，显 然{an}是递减正项数列，且a2 025＞1，a2 026＜1，因此T2 025是数列{Tn}中 的最大项，C错误；对于D，T4 049＝a1a2·…·a4 049＝ ·q1＋2＋…＋4 048＝ ·q4 049×2 024＝ ＞1，D错误.故选A、B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 12. 把一个边长为1的正方形分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方 形挖掉（如图（1））；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方 形，并将中间的一个正方形挖掉（如图（2））；如此继续下去，则 （1）图（3）中共挖掉了 个正方形； 73　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）第n个图形挖掉正方形的面积和是 ⁠. 解析：设第n个图形共挖掉an个正方形，则a1＝1，a2－a1＝8，a3－a2＝ 82，…，an－an－1＝8n－1，所以an＝1＋8＋82＋…＋8n－1＝ ，∴a3＝ 73.原正方形的边长为1，则这些被挖掉的正方形的面积和为1× ＋ 8× ＋82× ＋…＋8n－1× ＝ ＝1－ . 1－ 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 13. 记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a1＝1，Sn＝an＋1＋t. （1）求t； 解： 令n＝1，则由Sn＝an＋1＋t可得S1＝a2＋t，a2＝1－t， 当n≥2时，由Sn＝an＋1＋t可得Sn－1＝an＋t， 两式相减，可得an＝an＋1－an，即an＋1＝2an， 依题意，{an}为等比数列，故a2＝2＝1－t，t＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）求数列{（ cos nπ）·an}的前n项和. 解： 由（1）可知{an}为首项等于1，公比等于2的等比数列，故an＝ 2n－1， 故{（ cos nπ）·an}为首项等于－1，公比等于－2的等比数列， 故an＝（－1）（－2）n－1. 故Tn＝ ＝ （－2）n－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 14. 中国古代数学著作《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减 半，疾七日，行七百里.”其意思是：“现有一匹马行走的速度逐渐变 慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里.”若该 匹马按此规律继续行走7天，则它这14天内所走的总路程为（　　） A. 里 B. 1 050里 C. 里 D. 950里 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 解析： 　由题意知，马每天行走的路程构成一个等比数列，设该数列为 {an}，则该匹马首日行走的路程为a1，公比为 ，则有 ＝700 （里），则a1＝ （里），则 ＝ （里）.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 15. 已知函数f（x）＝ ，数列{an}满足a1＝ ，an＋1＝f（an）， n∈N＋. （1）求数列{an}的通项公式； 解： 因为函数f（x）＝ ， 所以an＋1＝f（an）＝ ⇒ ＝ ＋ · ⇒ －1＝ （ －1）， 所以数列 是以 －1＝ 为首项， 为公比的等比数列， 则有 －1＝ ·（ ）n－1⇒ ＝ ＋1⇒an＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （2）设Tn＝ ＋ ＋…＋ ，求Tn； 解： 由（1）可知 ＝ ＋1， 所以Tn＝ ＋ ＋…＋ ＝2（ ＋ ＋…＋ ）＋n＝2× ＋ n＝1－ ＋n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 （3）对于（2）中的Tn，若存在n∈N＋，使得（n＋1－Tn）≥ 成立，求实数k的最大值. 解： 由（2）可知Tn＝1－ ＋n， 所以（n＋1－Tn）≥ ⇒ ≥ . 因为n∈N＋， 所以 ≥ ⇒k≤ . 设bn＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 由bn＋1－bn＝ － ＝ ， 由二次函数性质可知，当n∈N＋时，函数g（n）＝－4（ n－ ）2＋ 是 减函数， g（1）＝3＞0，g（2）＝－3＜0， 于是有n＞1，n∈N＋时，g（n）＝－4（ n－ ）2＋ ＜0， 所以b2＞b1，b2＞b3＞b4＞…＞bn，因此 ＝b2＝ ， 存在n∈N＋，使得（n＋1－Tn）≥ 成立，则有k≤ ，因此实 数k的最大值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第三册（B版） 目 录 $