11.1.3 多面体与棱柱(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

11.1.3　多面体与棱柱 1.下面多面体中，是棱柱的有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.设集合M＝{正四棱柱}，N＝{长方体}，P＝{直四棱柱}，Q＝{正方体}，这些集合间的关系是（　　） A.Q⊃N⊃M⊃P B.Q⊃M⊃N⊃P C.P⊃M⊃N⊃Q D.P⊃N⊃M⊃Q 3.下列关于棱柱的说法中正确的是（　　） A.棱柱的所有面都是四边形 B.一个棱柱中只有两个面互相平行 C.一个棱柱至少有6个顶点、9条棱、5个面 D.棱柱的侧棱长不都相等 4.已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为（　　） A.22 B.20 C.10 D.11 5.四棱柱有几条侧棱，几个顶点（　　） A.四条侧棱、四个顶点 B.八条侧棱、四个顶点 C.四条侧棱、八个顶点 D.六条侧棱、八个顶点 6.正三棱柱ABC-A'B'C'的底面边长是4 cm，过BC的一个平面交侧棱AA'于D，若AD的长是2 cm，则截面BCD的面积为（　　） A.6 cm2 B.2 cm2 C.8 cm2 D.2 cm2 7.已知长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高的和为384，AC1的长为366，则该长方体的表面积为　　　　　. 8.如图，在正方体的8个顶点中任意选择4个顶点，它们可能构成的平面图形或几何体是　　　　. ①矩形；②不是矩形的平行四边形；③每个面都是等边三角形的四面体；④每个面都是直角三角形的四面体. 9.一个正方体的六个面上分别标有字母A，B，C，D，E，F，如图是此正方体的两种不同放置，则与D面相对的面上的字母是　　　　. 10.直三棱柱底面各边的比为17∶10∶9，侧棱长为16 cm，表面积为1 440 cm2，求底面各边之长. 11.我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，M，N分别是BB1和A1C1的中点，则平面AMN截“堑堵”ABC-A1B1C1所得截面图形的面积为（　　） A.　 B.2 C.　 D. 12.〔多选〕一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是（　　） A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 13.如图所示，图①是正方体木块，把它截去一块，可能得到的几何体有②③④⑤⑥. （1）我们知道，正方体木块有8个顶点、12条棱、6个面，请你将②③④⑤中木块的顶点数、棱数、面数填入下表. 图号 顶点数 棱数 面数 ① 8 12 6 ② ③ ④ ⑤ （2）看图⑥中正方体的切法，请验证你所得的数量关系是否正确. 14.〔多选〕用一个平面去截正方体，截面的形状可以是（　　） A.直角三角形 B.正五边形 C.正六边形 D.梯形 15.如图，四边形AA1B1B为矩形，AA1＝3 cm，CC1＝2 cm，CC1∥AA1，CC1∥BB1. （1）在几何体ABC-A1B1C1中，作出一个过点C1的截面，截去该几何体的一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2 cm的三棱柱，并指出截去的几何体的名称； （2）在（1）的条件下，写出直线AA1与直线BC，直线AA1与截面，截面与平面ABC之间的位置关系. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.1.3　多面体与棱柱 1.D　这4个多面体均为棱柱. 2.D　正方体是侧棱长等于底面边长的正四棱柱，正四棱柱的上、下两个底面都是正方形，其余各面都是矩形，因此正四棱柱一定是长方体，长方体的侧棱和上、下两底面垂直，因此长方体一定是直四棱柱，故P⊃N⊃M⊃Q. 3.C　A说法错误，比如三棱柱的底面为三角形；B说法错误，比如长方体中，相对侧面互相平行，两个底面互相平行；C说法正确，一个棱柱至少有6个顶点、9条棱、5个面；D说法错误，由棱柱的定义可知棱柱的侧面为平行四边形，侧棱长都相等.故选C. 4.A　所求长方体的表面积S＝2×（1×2）＋2×（1×3）＋2×（2×3）＝22. 5.C　由四棱柱的结构特征知它有四条侧棱，八个顶点. 6.C　如图，取BC的中点E，连接AE，DE，则AE⊥BC，DE⊥BC.因为AE＝×4＝2，所以DE＝＝4，所以S△BCD＝BC·ED＝×4×4＝8（cm2）.所以截面BCD的面积为8 cm2. 7.13 500　 解析：如图，AB＋BC＋CC1＝384，AB2＋BC2＋C＝3662，（AB＋BC＋CC1）2＝3842，∴AB2＋BC2＋C＋2AB·BC＋2AB·CC1＋2BC·CC1＝3842，∴2AB·BC＋2AB·CC1＋2BC·CC1＝3842－3662＝750×18＝13 500，该长方体的表面积为13 500. 8.①③④　 解析：①正确，如四边形A1D1CB为矩形；②不正确，任选四个顶点若组成平面图形，则一定为矩形；③正确，如四面体A1-C1BD；④正确，如四面体B1-ABD. 9.B　 解析：由题图知，标有字母C的平面与标有A，B，D，E的面相邻，则与D面相对的面为E面或B面；若E面与D面相对，则A面与B面相对，这时图②不可能，故只能是与D面相对的面上字母为B. 10.解：设底面三边长分别为17x cm，10x cm，9x cm，则S侧＝（17x＋10x＋9x）×16＝576x. 设长为17x的边所对的三角形内角为α，则cos α＝＝－， 所以sin α＝＝，所以S底＝2××10x×9x×＝72x2， 所以576x＋72x2＝1 440，即x2＋8x－20＝0，（x－2）（x＋10）＝0， 解得x＝2（舍去负值），所以底面三边长分别为34 cm，20 cm，18 cm. 11.A　延长AN，与CC1的延长线交于点P，则P∈平面BB1C1C，连接PM，与B1C1交于点E，连接NE，得到的四边形AMEN是平面AMN截“堑堵”ABC-A1B1C1所得截面图形. 由题意解三角形可得NE＝ME＝，AM＝AN＝，MN＝，所以△AMN中MN边上的高h1＝＝，△EMN中MN边上的高h2＝＝.设平面AMN截“堑堵”ABC-A1B1C1所得截面图形的面积为S，S＝S△AMN＋S△EMN＝MN·（h1＋h2）＝××（ ＋）＝. 12.BD　因为正方体容器中盛有一半容积的水，无论怎样转动，其水面总是过正方体的中心，于是过正方体的一条棱和中心可作一截面，截面形状可以是矩形，所以B是正确的；过正方体的一个面相邻两边的中点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为正六边形，所以D是正确的；过正方体的中心的平面截正方体得到的截面不可能是三角形和五边形.故选B、D. 13.解：（1）通过观察各几何体，得到下表. 图号 顶点数 棱数 面数 ① 8 12 6 ② 6 9 5 ③ 8 12 6 ④ 8 13 7 ⑤ 10 15 7 （2）由上表归纳可得，设凸多面体的顶点数为R，面数为V，棱数为E，则R＋V－E＝2（此式为著名的欧拉公式）.⑥中木块的顶点数为10，面数为7，棱数为15，有10＋7－15＝2. 14.CD　画出截面图形如图，可以画出三角形但不是直角三角形，故A错误；经过正方体的一个顶点去切就可得到五边形.但此时不可能是正五边形，故B错误；正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，且可以画出正六边形，故C正确；可以画出梯形，故D正确.故选C、D. 15.解：（1）如图，在AA1上取点E，使AE＝2 cm，在BB1上取点F，使BF＝2 cm，连接C1E，EF，C1F， 则过点C1，E，F的截面将原几何体分成两部分，其中一部分是三棱柱ABC-EFC1，其侧棱长为2 cm；另一部分是四棱锥C1-EA1B1F，即截去的几何体是四棱锥. （2）由（1）知直线AA1与直线BC异面，直线AA1与截面C1EF相交，截面C1EF∥平面ABC. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $