10.2.1 复数的加法与减法(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

10.2.1　复数的加法与减法 1.若复数z满足z＋（5－2i）＝6＋2i（i为虚数单位），则z的虚部是（　　） A.－2 B.4 C.3 D.－4 2.如果复数z满足z＋｜z｜＝2＋4i，那么z＝（　　） A.－3＋4i B.3＋4i C.－5＋4i D.5＋4i 3.已知i为虚数单位，在复平面内，复数z1对应的点的坐标为（2，－3），复数z2＝－1＋2i，若复数z＝z1＋z2，则复数z在复平面内对应的点位于（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.复数z1＝a＋2i，z2＝－4＋bi，a，b∈R，若z1＋z2为实数，z1－z2为纯虚数，则a＋b＝（　　） A.6 B.－6 C.2 D.－2 5.设z1，z2∈C，则“z1，z2中至少有一个数是虚数”是“z1－z2是虚数”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.〔多选〕｜（3＋2i）－（1＋i）｜表示（　　） A.点（3，2）与点（1，1）之间的距离 B.点（3，2）与点（－1，－1）之间的距离 C.点（2，1）到原点的距离 D.坐标为（－2，－1）的向量的模 7.计算｜（3－i）＋（－1＋2i）－（－1－3i）｜＝　　　　. 8.在复平面内，复数1＋i与1＋3i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则｜｜＝　　　　. 9.欧拉公式eiθ＝cos θ＋isin θ是由瑞士著名数学家欧拉创立，将其中的θ取π就得到了欧拉恒等式，数学家评价它是“上帝创造的公式”.已知复数z满足｜z｜＝，则｜z－eiπ｜的最大值为　　　　. 10.设z1＝a－3i，z2＝－4＋bi（a，b∈R），且z2－z1＝8＋9i，求z1＋z2. 11.〔多选〕已知复数z1＝cos θ＋i，z2＝sin θ－i（θ∈R），令z＝｜z1－z2｜，则（　　） A.z的最小值为2 B.z无最小值 C.z的最大值为 D.z无最大值 12.已知f（）＝2z＋＋i，则f（i）＝　　　　. 13.如图，复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面内的对应点是一个正方形ABCD的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数. 14.著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.”费马问题中所求的点称为费马点.已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°的点P即费马点.根据以上材料，若z∈C，则｜z－2｜＋｜z＋2｜＋｜z＋2i｜的最小值为（　　） A.2－2 B.2＋2 C.－1 D.＋1 15.已知复平面内的平行四边形ABCD中，A点对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求： （1）点C，D对应的复数； （2）平行四边形ABCD的面积. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.2　复数的运算 10.2.1　复数的加法与减法 1.B　z＝6＋2i－（5－2i）＝1＋4i，∴z的虚部是4.故选B. 2.A　设z＝a＋bi，a，b∈R，则z＋｜z｜＝a＋bi＋＝a＋＋bi＝2＋4i，所以b＝4，a＋＝2，所以a2＋16＝（2－a）2＝a2－4a＋4，a＝－3，所以z＝－3＋4i.故选A. 3.D　因为复数z1对应的点的坐标为（2，－3），所以z1＝2－3i，又因为复数z＝z1＋z2，z2＝－1＋2i，所以z＝2－3i＋（－1＋2i）＝1－i，所以复数z对应的点的坐标为（1，－1），位于第四象限.故选D. 4.B　因为z1＝a＋2i，z2＝－4＋bi，所以z1＋z2＝a＋2i－4＋bi＝（a－4）＋（2＋b）i为实数，则2＋b＝0，即b＝－2.z1－z2＝a＋2i－（－4＋bi）＝（a＋4）＋（2－b）i为纯虚数，则a＋4＝0，2－b≠0，即a＝－4，b≠2，所以a＋b＝－4－2＝－6. 5.B　若z1，z2皆是实数，则z1－z2一定不是虚数，因此当z1－z2是虚数时，z1，z2中至少有一个数是虚数，所以必要性成立；当z1，z2中至少有一个数是虚数时，z1－z2不一定是虚数，如z1＝z2＝i，即充分性不成立，故选B. 6.ACD　由复数的几何意义，知复数3＋2i，1＋i分别对应复平面内的点（3，2）与点（1，1），所以｜（3＋2i）－（1＋i）｜表示点（3，2）与点（1，1）之间的距离，故A说法正确，B说法错误；｜（3＋2i）－（1＋i）｜＝｜2＋i｜，｜2＋i｜可表示点（2，1）到原点的距离，故C说法正确；｜（3＋2i）－（1＋i）｜＝｜（1＋i）－（3＋2i）｜＝｜－2－i｜，｜－2－i｜可表示点（－2，－1）到原点的距离，即坐标为（－2，－1）的向量的模，故D说法正确，故选A、C、D. 7.5　 解析：｜（3－i）＋（－1＋2i）－（－1－3i）｜＝｜（2＋i）－（－1－3i）｜＝｜3＋4i｜＝＝5. 8.2　 解析：由题意＝－，∴对应的复数为（1＋3i）－（1＋i）＝2i，∴｜｜＝2. 9.　 解析：设z＝x＋yi（x，y∈R），则x2＋y2＝，z－eiπ＝x＋yi－cos π－isin π＝x＋1＋yi，所以｜z－eiπ｜＝｜x＋1＋yi｜＝＝＝.因为x2＋y2＝，所以－≤x≤，所以｜z－eiπ｜的最大值为＝. 10.解：∵z1＝a－3i，z2＝－4＋bi， ∴z2－z1＝（－4－a）＋（b＋3）i＝8＋9i， ∴解得 ∴z1＝－12－3i，z2＝－4＋6i ∴z1＋z2＝－12－3i＋（－4＋6i）＝－16＋3i. 11.AC　由题意，得z＝｜z1－z2｜＝｜（cos θ－sin θ）＋2i｜＝＝＝，∵θ∈R，∴2≤z≤，∴z的最小值为2，最大值为.故选A、C. 12.－i　 解析：令＝i，则z＋i＝－i，所以z＝－2i，所以f（i）＝2（－2i）＋2i＋i＝－i. 13.解：由题图，知复数z1，z2，z3所对应的点分别为A，B，C，设正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi（x，y∈R）. 法一　＝－，则对应的复数为（x＋yi）－（1＋2i）＝（x－1）＋（y－2）i. ＝－，则对应的复数为 （－1－2i）－（－2＋i）＝1－3i. 因为＝， 所以（x－1）＋（y－2）i＝1－3i，所以 解得 故点D对应的复数为2－i. 法二　因为点A与点C关于原点对称， 所以原点O为正方形的中心，所以点D与点B关于原点对称， 所以（－2＋i）＋（x＋yi）＝0，所以x＝2，y＝－1， 故点D对应的复数为2－i. 14.B　设z＝x＋yi（x，y∈R），则｜z－2｜＋｜z＋2｜＋｜z＋2i｜表示点Z（x，y）到△ABC三个顶点A（2，0），B（－2，0），C（0，－2）的距离之和.依题意结合对称性可知△ABC的费马点P位于虚轴的负半轴上，且∠APB＝120°，则∠PAO＝∠PBO＝30°，此时｜PA｜＋｜PB｜＋｜PC｜＝×2＋（2－2tan 30°）＝2＋2.故选B. 15.解：（1）∵向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i， ∴向量对应的复数为（3－i）－（1＋2i）＝2－3i. 又∵＝＋， ∴点C对应的复数为（2＋i）＋（2－3i）＝4－2i. ∵＝， ∴向量对应的复数为3－i， 即＝（3，－1）.设D（x，y）， 则＝（x－2，y－1）＝（3，－1）， ∴解得 ∴点D对应的复数为5. （2）∵·＝｜｜｜｜cos B， ∴cos B＝＝＝. ∵0＜B＜π，∴sin B＝， ∴S平行四边形ABCD＝｜｜｜｜sin B ＝××＝7. ∴平行四边形ABCD的面积为7. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $