9.1.1 第2课时 正弦定理的应用（习题课）(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

第二课时　正弦定理的应用（习题课） 1.D　∵B＝30°，c＝2，b＝2，∴由正弦定理可得sin C＝＝.由C∈（0°，180°），可得C＝60°或C＝120°.又∵A＝180°－B－C，∴A＝90°或A＝30°. 2.C　依题意，a＞b，即x＞2，由sin A＝＝＜1，得x＜2，所以x的取值范围是2＜x＜2. 3.A　因为sin C·sin B＝cos2＝，整理得到2sin C·sin B＝1＋cos A＝1－cos（C＋B）＝1－cos Ccos B＋sin C·sin B，即cos Ccos B＋sin C·sin B＝cos （C－B）＝1，又0＜C＜π，0＜B＜π，得到－π＜C－B＜π，所以C－B＝0，即C＝B，故选A. 4.A　由A＜B＜C，且A＋C＝2B，A＋B＋C＝π，可得B＝，因为最大边为最小边的2倍，所以c＝2a，所以sin C＝2sin A，即sin＝2sin A⇒tan A＝，由于0＜A＜π，所以A＝，从而C＝，则A∶B∶C＝1∶2∶3. 5.C　依题意，设AD＝x，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝30°，由S△BAD＋S△CAD＝S△BAC，可得×3xsin 30°＋×2xsin 30°＝×2×3sin 60°，解得x＝.故选C. 6.BC　对于A、B，注意到0＜sin B≤1，又sin A＞0，则sin Asin B≤sin A，然后由正弦定理边角互化可得bsin A≤a，故A错误，B正确；对于C、D，由正弦定理边角互化，ab＝ab⇒asin B＝bsin A，故C正确；asin A＝bsinB⇔a2＝b2，题目条件不足，无法判断.故选B、C. 7.0　 解析：∵c＜b，∴C＜B，∴B＋C＞180°.故三角形无解. 8.等腰直角三角形　 解析：根据正弦定理＝＝， 可得 由B，C的范围可得B＝C＝45°， 故A＝90°， 则△ABC是等腰直角三角形. 9.　2　 解析：由tan A＝2，得sin A＝2cos A， 由sin2A＋cos2A＝1及0＜A＜π，得sin A＝. ∵b＝5，B＝，＝， ∴a＝＝＝2. 10.解：∵＝，a＝2Rsin A，b＝2Rsin B（R为△ABC外接圆的半径）， ∴＝. 又∵sin Asin B≠0， ∴sin Acos A＝sin Bcos B， 即sin 2A＝sin 2B， ∴2A＝2B或2A＋2B＝π， 即A＝B或A＋B＝. 故△ABC是等腰三角形或直角三角形. 11.ABC　选项A，因为csin A＝acos C，由正弦定理得sin Csin A＝sin Acos C，又sin A＞0，所以tan C＝，而C∈（0，π），所以C＝，A正确；选项B，因为c＝6，所以2R＝＝＝4，所以R＝2，B正确；选项C，取AB的中点M，如图所示，在Rt△AOM中，OM＝＝＝，在Rt△DOM中，DM＝1，OD＝＝2，C正确；选项D，CD≤CO＋OD＝2＋2，当且仅当圆心O在CD上时取等号，所以CD的最大值为2＋2，D错误. 12.90°　等腰直角　 解析：设sin A＝，sin B＝，sin C＝，R为△ABC外接圆的半径.∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴＝＋，即a2＝b2＋c2，故A＝90°.∴C＝90°－B，cos C＝sin B.∴2sin B·cos C＝2sin2B＝sin A＝1.∴sin B＝.∴B＝45°或B＝135°（A＋B＝225°＞180°，故舍去）.∴△ABC是等腰直角三角形. 13.解：（1）证明：根据正弦定理，得 ＝＝， ∴b2－a2＝ab. ① ∵cos（A－B）＋cos C＝1－cos 2C， ∴cos（A－B）－cos（A＋B）＝2sin2C， ∴sin Asin B＝sin2C， 由正弦定理，得ab＝c2. ② 把②代入①，得b2－a2＝c2， 即a2＋c2＝b2， ∴△ABC是直角三角形. （2）由（1）知B＝，∴C＝－A， ∴sin C＝sin＝cos A. 根据正弦定理，得＝＝sin A＋cos A＝sin. ∵0＜A＜，∴＜A＋＜， ∴ ＜sin≤1， ∴1＜sin（ A＋）≤. 即的取值范围是（1，]. 14.CD　因为△ABC中，AB＝4，A＝，BC＝2，由正弦定理得＝，即＝，故sin C＝1，所以C＝，故△ABC有一解，故A错误；因为A＝，AB＝4，△ABC为钝角三角形，当B为钝角时，AC2＞BC2＋AB2＞AB2＝16，即AC＞4，故B错误；因为△ABC为锐角三角形，所以C∈（ 0，），B∈（ 0，），所以C∈（ ，），sin C∈（ ，1），∈（1，2）.又因为＝，BC＝×＝∈（2，4），故C正确；因为＝＝sin B≤，当B＝时，的最大值是，故D正确.故选C、D. 15.解：（1）由正弦定理得（ －1）sin C＝sin（B－C），即sin A－sin C＝sin（B－C）， 所以sin（B＋C）－sin C＝sin（B－C）， 即sin Bcos C＋cos Bsin C－sin C＝sin Bcos C－cos Bsin C， 可得2cos Bsin C＝sin C，由sin C≠0可得cos B＝，由B∈（0，）知B＝. （2）由（1）知，B＝，A＋C＝. 由正弦定理知，＝＝，可得b＝，c＝， 故△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋＋ ＝2＋＝3＋＝3＋＝3＋. 由△ABC是锐角三角形知，A＋B＞，B＋C＞，即A＞，C＞. 又A＋C＝，故＜A＜，＜＜，tan＝＝＝2－， 故tan＜tan＜tan，2－＜tan＜1，所以3＋＜3＋＜6＋2， 故△ABC周长的取值范围是（3＋，6＋2）. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二课时　正弦定理的应用（习题课） 1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝30°，c＝2，b＝2，则A＝（　　） A.30° B.60° C.60°或90° D.30°或90° 2.在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两个解，则x的取值范围是（　　） A.x＞2 B.x＜2 C.2＜x＜2 D.2＜x＜2 3.在△ABC中，若sin C·sin B＝cos2，则△ABC是（　　） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 4.在△ABC中，若A＜B＜C，且A＋C＝2B，最大边为最小边的2倍，则A∶B∶C＝（　　） A.1∶2∶3 B.2∶3∶4 C.3∶4∶5 D.4∶5∶6 5.已知在△ABC中，∠BAC的角平分线AD与边BC相交于点D，且AC＝2，AB＝3，∠BAC＝60°，则AD的长为（　　） A. B. C. D. 6.〔多选〕在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则（　　） A.a＜bsin A B.a≥bsin A C.asin B＝bsin A D.asin A＝bsin B 7.已知c＝50，b＝72，C＝135°，则三角形解的个数为　　　　. 8.在△ABC中，若＝＝，则△ABC的形状为　　　　. 9.在△ABC中，若b＝5，B＝，tan A＝2，则sin A＝　　　，a＝　　　　. 10.在△ABC中，已知＝，试判断△ABC的形状. 11.〔多选〕在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c＝6.点D满足＝2，且csin A＝acos C，O是△ABC外心，则下列判断正确的是（　　） A.C＝ B.△ABC的外接圆半径是2 C.OD＝2 D.CD的最大值为2 12.在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，且sin A＝2sin B·cos C.则A＝　　　　，△ABC是　　　　三角形. 13.在△ABC中，已知＝，且cos（A－B）＋cos C＝1－cos 2C. （1）求证：△ABC为直角三角形； （2）求的取值范围. 14.〔多选〕已知△ABC中，AB＝4，A＝.则（　　） A.若BC＝2，则△ABC有两解 B.若△ABC是钝角三角形，则0＜AC＜2 C.若△ABC是锐角三角形，则2＜BC＜4 D.的最大值是 15.在锐角三角形ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，（ －1）sin C＝sin（B－C），且a＝2. （1）求B； （2）求△ABC周长的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $