9.1.1 第1课时 正弦定理(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

第一课时　正弦定理 1.在△ABC中，若＝，则B的值为（　　） A.30° B.45° C.60° D.90° 2.在△ABC中，已知a＝，b＝，A＝60°，则B的值为（　　） A.45°或135° B.45° C.135° D.30°或150° 3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin B＝，A＝120°，且b＝2，则△ABC的面积为（　　） A. B.2 C.3 D.4 4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，ccos B＝cos C，则C＝（　　） A. B. C. D. 5.已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝，A＝75°，B＝45°，则△ABC的外接圆的面积为（　　） A. B.π C.2π D.4π 6.〔多选〕在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝，a＝2，c＝2，则角C的大小是（　　） A. B. C. D. 7.在△ABC中，若A＝105°，C＝30°，b＝1，则c＝　　　　. 8.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝2，A＋C＝3B，则角A的大小为　　　　. 9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，又知a＝1，A＝60°，c＝，则△ABC的面积为　　　　. 10.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且b＝6，a＝2，A＝30°，求ac的值. 11.〔多选〕在△ABC中，若B＝，角B的平分线BD交AC于D，且BD＝BC＝2，则下列说法正确的是（　　） A.AB的值是＋1 B.△ABC的外接圆半径是2 C.△ABC的面积是 D.＝ 12.已知△ABC中，AB＝，BC＝1，sin C＝cos C，则sin A＝　　　　，△ABC的面积为　　　　. 13.在△ABC中，AB＝6，BC＝5. （1）若C＝2A，求sin A的值； （2）若△ABC为锐角三角形，cos A＝，求△ABC的面积. 14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积S△ABC＝·＝，sin B＝cos Asin C，则边长c为（　　） A.1 B. C. D.2 15.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知A＝，b2－a2＝c2. （1）求tan C的值； （2）若△ABC的面积为3，求b的值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.1　正弦定理与余弦定理 9.1.1　正弦定理 第一课时　正弦定理 1.B　根据正弦定理知＝，结合已知条件可得sin B＝cos B，又0°＜B＜180°，所以B＝45°. 2.B　∵＝，∴＝，∴sin B＝，又0°＜B＜180°，且b＜a，∴B＜A，则B的值为45°. 3.A　∵sin B＝，A＝120°，∴B＝30°，∴C＝30°，又∵b＝2，∴c＝b＝2.∴S△ABC＝bcsin A＝×2×2×＝. 4.B　由ccos B＝（2a－b）cos C得sin Ccos B＝（2sin A－sin B）cos C＝2sin Acos C－sin B·cos C，则sin Ccos B＋sin Bcos C＝2sin Acos C，所以sin（B＋C）＝2sin Acos C，即sin A＝2sin Acos C.因为A，C为三角形内角，所以sin A＞0，0＜C＜π，则cos C＝，所以C＝. 5.B　在△ABC中，A＝75°，B＝45°，∴C＝180°－A－B＝60°.设△ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理的推广，可得2R＝＝，解得R＝1，∴△ABC的外接圆的面积S＝πR2＝π，故选B. 6.BD　由正弦定理可得＝，∴sin C＝＝，而a＜c，∴A＜C，∴＜C＜，故C＝或.故选B、D. 7.　 解析：由题意，知B＝180°－105°－30°＝45°.由正弦定理，得c＝＝＝. 8.30°　 解析：∵A＋C＝3B且A＋C＋B＝180°，∴B＝45°，由正弦定理＝，得sin A＝＝.∵0°＜A＜180°，∴A＝30°或150°.当A＝150°时，A＋B＝195°＞180°，与三角形内角和为180°矛盾，舍去，∴A＝30°. 9.　 解析：由正弦定理得＝，即＝，解得sin C＝.又因为c＜a，所以C＜A，且0°＜C＜180°，所以C＝30°，故B＝90°，所以S＝ac＝×1×＝. 10.解：由正弦定理＝得， sin B＝＝＝. 又b＝6＞a＝2，故B＞A， ∴B＝60°或B＝120°. （1）当B＝60°时， C＝180°－A－B＝180°－30°－60°＝90°. 在Rt△ABC中，C＝90°，a＝2，b＝6，c＝4， ∴ac＝2×4＝24. （2）当B＝120°时， C＝180°－A－B＝180°－30°－120°＝30°， ∴A＝C，则有a＝c＝2. ∴ac＝2×2＝12. 11.ACD　因为BD为∠ABC的平分线，B＝，所以∠ABD＝∠CBD＝.因为BD＝BC＝2，则C＝∠BDC＝，则A＝.因为sin C＝sin＝sin（ ＋）＝sin·cos＋cossin＝×＋×＝，由正弦定理得＝＝＝2，所以AB＝2×sin＝2×＝＋1，S△ABC＝AB·BCsin∠ABC＝×（1＋）×2×＝，故A、C正确；若BD＝BC＝2，A＝，由正弦定理可知，△ABC的外接圆直径为2R＝＝＝2，所以△ABC的外接圆半径为，故B错误；若BD＝BC＝2，由正弦定理得＝，＝，因为∠ADB与∠BDC互补，所以sin∠ADB＝sin（π－∠ADB）＝sin∠BDC，可得＝＝，故D正确. 12.　　 解析：由sin C＝cos C，得tan C＝，所以C＝. 根据正弦定理可得＝，解得sin A＝. 因为AB＞BC，所以A＜C，所以A＝. 所以B＝，所以△ABC为直角三角形. 所以S△ABC＝××1＝. 13.解：（1）因为C＝2A，所以sin C＝sin 2A＝2sin Acos A， 所以cos A＝，在△ABC中，由正弦定理得＝，而AB＝6，BC＝5，所以cos A＝＝.因为A∈（0，π），所以sin A＝＝＝. （2）在△ABC中，因为cos A＝，所以sin A＝＝＝. 由正弦定理得＝，所以sin C＝sin A＝×＝. 因为△ABC为锐角三角形，所以cos C＝＝＝， 所以sin B＝sin[π－（A＋C）]＝sin（A＋C）＝sin Acos C＋cos Asin C ＝×＋×＝， 所以△ABC的面积S△ABC＝×AB×BC×sin B＝×6×5×＝. 14.D　因为S△ABC＝·＝cbcos A＝，又S△ABC＝cbsin A，所以cbcos A＝cbsin A，即tan A＝.因为A为三角形内角，所以A＝30°，又cbcos A＝，所以bc＝2.由sin B＝cos Asin C得sin（A＋C）＝cos Asin C，即sin Acos C＋cos Asin C＝cos Asin C，所以sin A·cos C＝0，即cos C＝0，所以C＝90°，因此B＝60°，故sin B＝＝，即b＝c.因为bc＝c2＝2，所以c＝2. 15.解：（1）由b2－a2＝c2，A＝及正弦定理得sin2B－＝sin2C，∴－cos 2B＝sin2C. 又由A＝，得B＋C＝，2B＝π－2C， ∴－cos 2B＝sin 2C＝2sin Ccos C＝sin2C. 又∵sin C≠0，∴tan C＝2. （2）由tan C＝2，C∈（0，π），得sin C＝，cos C＝. ∵sin B＝sin（A＋C）＝sin，∴sin B＝. 由正弦定理，得c＝. 又A＝，bcsin A＝3，∴bc＝6，∴b＝3. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $