5.2.1 基本初等函数的导数 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦基本初等函数的导数，系统讲解常数函数、幂函数、指数函数等导数公式的推导与应用。课堂导入从导数定义复习切入，通过“求极限繁琐”的问题引导，搭建从定义法到公式法的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以具体函数导数推导为基础，逐步归纳出普适公式，渗透数学思维的推理过程。结合典例剖析切线方程求解等问题，培养学生数学语言表达与应用意识。学生能深化对导数本质的理解，教师可借助清晰的知识体系提升教学效率。

5.2.1 基本初等函数的导数 第五章 一元函数的导数及其应用 通过求极限来求导数比较麻烦，有没有更直接出结果的方法 f ´(x) 就是 y＝f (x)的导数，记作 y´ 导数的定义： 根据导数的定义，求函数y＝f (x)的导数，就是求出当Δx→0时 无限趋近的那个定值. 复习导入 由导函数的定义可知，一个函数的导数是唯一确定的. 在必修第一册中我们学过初等函数，并且知道，很多复杂的函数都是通过对这些函数进行加、减、乘、除等运算得到的。由此自然想到，能否先求出基本初等函数的导数，然后研究出导数的“运算法则”，这样就可以利用导数的运算法则和基本初等函数的导数求出复杂函数的导数。下面我们来求几个常用函数的导数. ►课本P72 1. 函数 y＝f(x)＝c 的导数 y=c y x O y′＝ lim x→0 y x f (x＋x)－f (x) x ＝ lim x→0 也就是说， (c)' ＝0 . (c 是常数) c－c x ＝ lim x→0 ＝ lim x→0 0＝0 函数 导数 y＝c y' ＝0 ►课本P72 知识讲解 2. 函数 y＝f(x)＝x 的导数 y=x y x O y′＝ lim x→0 y x f (x＋x)－f (x) x ＝ lim x→0 x ＝ lim x→0 x＋x－x ＝ lim x→0 1＝1 函数 导数 y＝x y′＝1 也就是说， (x)' ＝1 . ►课本P72 知识讲解 推广：函数 y＝f(x)＝kx的导数 y′＝ lim x→0 y x f (x＋x)－f (x) x ＝ lim x→0 x ＝ lim x→0 kx＋kx－kx ＝ lim x→0 k＝k 函数 导数 y＝kx y′＝k 2 1 -1 -2 -2 -1 1 2 x y y=x y=2x y=3x y=4x 也就是说， (kx)' ＝k . ►课本P72 知识讲解 3. 函数 y＝f(x)＝x2 的导数 y′＝ lim x→0 y x f (x＋x)－f (x) x ＝ lim x→0 x ＝ lim x→0 (x＋x)2－x2 ＝ lim x→0 (2x＋x)＝2x 函数 导数 y＝x2 y′＝ 2x 也就是说， (x2)' ＝2x . y=x2 y x O ►课本P73 知识讲解 4. 函数 y＝f(x)＝x3 的导数 y′＝ lim x→0 y x f (x＋x)－f (x) x ＝ lim x→0 x ＝ lim x→0 (x＋x)3－x3 ＝ lim x→0 (3x2＋3x·x＋(x)2)＝3x2 函数 导数 y＝x3 y′＝ 3x2 也就是说， (x3)' ＝3x2 . x y O y＝x3 ►课本P73 知识讲解 5. 函数 y＝f(x)＝ 的导数 1 x y′＝ lim x→0 y x f (x＋x)－f (x) x ＝ lim x→0 x ＝ lim x→0 1 x＋x － x 1 ＝ lim x→0 x2＋x·x ( ) 1 － x O y 函数 导数 y＝ y′＝ ＝ x2 1 － 也就是说， 1 x x2 1 － ►课本P73 知识讲解 6. 函数 y＝f(x)＝ 的导数 y′＝ lim x→0 y x f (x＋x)－f (x) x ＝ lim x→0 函数 导数 y＝ y′＝ 也就是说， √ x √ x x ＝ lim x→0 － √ x＋x ＋ ＝ lim x→0 1 √ x＋x √ x 1 √ x 2 √ x 1 ＝ √ x 2 x y O ►课本P74 知识讲解 x′ ＝1 (x2)′＝2x (x3)′＝3x2 x0 x1 x-1 x-2 以上这些函数均可表示为 y＝xα 的形式，其导数有何规律？ (xα)' ＝αxα-1 对于我们学过的以下基本初等函数，它们的导数又是什么？ 幂函数 指数函数 三角函数 对数函数 知识讲解 基本初等函数的导数公式 ①若 f(x)＝c，则 f ′(x)＝ 0 α·xα-1 ②若 f(x)＝xα，则 f ′(x)＝ cosx ③若 f(x)＝sinx，则 f ′(x)＝ ④若 f(x)＝cosx，则 f ′(x)＝ axlna ⑤若 f(x)＝ax，则 f ′(x)＝ ex 特别的，若f(x)＝ex，则 f ′(x)＝ ⑥若f(x)＝logax，则 f ′(x)＝ 特别的，若f(x)＝lnx，则 f ′(x)＝ -sinx ►课本P74 知识讲解 典例剖析 ►课本P75 典例1. 求下列函数的导数： 解： 知识运用 ►课本P75 自主练 求下列函数的导数： 知识运用 不正确． 2. 求函数 f(x)＝π＋2 的导数． 解：∵π＋2为常数，∴f ′(x)＝0. 常数的导数为0. 1. 判断： ，正确吗? 知识运用 自主练 自主练 设函数 f (x)＝logax，f ′(x)＝-1，则a＝ . 知识运用 自主练 求下列函数在给定处的导数： 解： 典例剖析 ►课本P75 典例2. 已知曲线 ，求曲线在点M(1，1)处的切线方程 解： ∵ ，∴′ . 显然M(1，1)是曲线上的点，所以M为切点， 所求切线斜率k＝f ′(1)＝－1. 所以曲线在P(1，1)处的切线方程为y－1＝－(x－1)， 即为x＋y－2＝0. 自主练 求余弦曲线 y = cos x 在点 (，0) 处的切线方程 解：∵ y = cos x ，∴ y´ = – sin x， ∴ y´|x = = – sin = – 1， ∴ 切线方程为 y – 0 = – (x – )，即 y = – x + . ►课本P75 知识运用 自主练 已知曲线y＝ln x，点 P (e，1)是曲线上一点，求曲线在点 P 处的切线方程． 知识运用 自主练 已知， (1)求； (2)求曲线在点(1，1)处的切线方程. 知识运用 (1) (2) 1. 函数 在 x＝2 处的导数为______． 2. 若 y＝cos，则 y′＝________. 3. 曲线 在点(4，2)处的切线方程为 . -1 0 当堂检测 1. 基本初等函数的导数公式 2.求曲线在某点处的切线方程 函数类型 原函数 f (x) 导函数 f ´(x) 常函数 ① f (x) = C (C 为常数) f ´(x) = 0 幂函数 ② f (x) = xα (α∈Q 且 α ≠ 0) f ´(x) = αxα – 1 三角函数 ③ f (x) = sin x f ´(x) = cos x ④ f (x) = cos x f ´(x) = – sin x 指数函数 ⑤ f (x) = ax (a > 0，且 a ≠ 1) f ´(x) = axln a (a > 0，且 a ≠ 1) ⑥ f (x) = ex f ´(x) = ex 对数函数 ⑦ f (x) = logax (a > 0，且 a ≠ 1) f ´(x) = (a > 0，且 a ≠ 1) ⑧ f (x) = ln x f ´(x) = 课堂总结 y′＝(2x)′＝2xln 2. y′＝(log2x)′＝eq \f(1,xln 2). 因为y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝sin x， 所以y′＝(sin x)′＝cos x. 求下列函数的导数： (1)y＝x-2； (2)y＝eq \r(3,x)； (3)y＝2x； (4)y＝log2 x； (5)y＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x)). y′＝(eq \r(3,x))′＝ eq \f(1,e) 解：∵y′＝，∴k＝y′|x＝e＝， ∴切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0. $