11.4.1 第2课时 直线与平面垂直的性质(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦直线与平面垂直的性质（垂直于同一平面的两直线平行）及直线与平面所成的角，通过广场路灯实例引入，构建“实例观察—定理探究—角的定义—题型应用—巩固练习”的学习支架。 以“数学眼光”观察生活实例引发思考，用“数学思维”总结通性通法如线线平行证明步骤，结合正方体等实例培养逻辑推理，课中助教师系统授课，课后练习题助学生查漏补缺。

第二课时　直线与平面垂直的性质 【基础落实】 新知初探 知识点一 垂直　平行　⊥　⊥ 想一想 　提示：垂直. 自我诊断 1.平行　 解析：因为l⊥AB，l⊥AC，AB⊂α，AC⊂α且AB∩AC＝A，所以l⊥α，同理可证m⊥α，所以l∥m. 2.6　 解析：∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，∴AF∥DE.∵AF＝DE，∴四边形ADEF是平行四边形.∴EF＝AD＝6. 知识点二 想一想 　提示：0°≤θ≤90°. 自我诊断 1.A　由题图可知，∠ABO即为斜线段AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝， 即∠ABO＝60°. 2.45°　 解析：如图所示，因为正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1B⊥平面ABCD，所以AB即为AB1在平面ABCD中的射影，所以∠B1AB即为直线AB1与平面ABCD所成的角.由题意知，所以∠B1AB＝45°，故所求角为45°. 【典例研析】 【例1】　证明：如图所示，连接AB1，B1C，BD，B1D1， ∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC. 又AC⊥BD，BD∩DD1＝D，BD，DD1⊂平面BDD1B1， ∴AC⊥平面BDD1B1. 又BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1. 同理可证BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，AC，B1C都在平面AB1C内，∴BD1⊥平面AB1C. ∵EF⊥A1D，又A1D∥B1C，∴EF⊥B1C. 又EF⊥AC，AC∩B1C＝C，AC，B1C⊂平面AB1C，∴EF⊥平面AB1C.∴EF∥BD1. 跟踪训练 证明：因为AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD， 所以AE⊥AB. 又AB∥CD，所以AE⊥CD. 因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD. 又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD， 所以AE⊥平面PCD. 因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD. 又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD， 所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN. 【例2】　解：由题意知A是M在平面ABC上的射影， ∴MA⊥平面ABC， ∴MC在平面CAB上的射影为AC. ∴∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角. 又∵在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°， ∴MC＝BMsin∠MBC＝5sin 60°＝5×＝. 在Rt△MAB中，MA＝＝＝3. 在Rt△MAC中，sin∠MCA＝＝＝. 即MC与平面CAB所成角的正弦值为. 跟踪训练 解：取AA1的中点M，连接EM，BM. 因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD. 又在正方体ABCD-A1B1C1D1中， AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1内的射影，∠EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角. 设正方体的棱长为2， 则EM＝AD＝2，BE＝＝3. 于是在Rt△BEM中，sin∠EBM＝＝， 即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为. 【例3】　证明：因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC.因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥BC. 因为SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB.因为AE⊂平面SAB，所以BC⊥AE. 因为SC⊥平面AGFE，所以SC⊥AE. 又因为BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC. 而SB⊂平面SBC，所以AE⊥SB. 母题探究 证明：因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC. 因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥BC. 因为SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB.因为AE⊂平面SAB，所以BC⊥AE. 因为AF⊥SC，EF⊥SC，AF∩EF＝F，所以SC⊥平面AEF，所以SC⊥AE. 又因为BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC.而SB⊂平面SBC，所以AE⊥SB. 跟踪训练 证明：（1）在直角梯形ABCD中，AD＝CD＝2，AB＝4， 所以AC＝BC＝2， 所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC. 因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE， 所以BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC. 又BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BE∩BC＝B， 所以AC⊥平面BCE. （2）因为AF⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD， 所以AF⊥AD. 又∠DAB＝90°，所以AB⊥AD. 又AF⊂平面ABEF，AB⊂平面ABEF，AF∩AB＝A， 所以AD⊥平面ABEF. 又AE⊂平面ABEF， 所以AD⊥AE. 随堂检测 1.D　当b⊂α时，a⊥α，则a⊥b；当b∥α时，a⊥α，则a⊥b；当b与α相交时，a⊥α，则a与b不垂直.因为直线a⊥b，且a⊥α，所以b∥α或b⊂α，故选D. 2.B　因为B1B⊥平面A1B1C1D1，l⊥平面A1B1C1D1，所以l∥B1B. 3.0°　 解析：AB1与平面DCC1D1平行，即所成的角为0°. 4.证明：因为四边形ADD1A1为正方形， 所以AD1⊥A1D. 又因为CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1. 因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC. 又因为MN⊥平面A1DC， 所以MN∥AD1. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二课时　直线与平面垂直的性质 　　如图，是我们比较熟悉的广场中的路灯. 【问题】　（1）旗杆与水平面有什么样的位置关系？ （2）旗杆与旗杆之间有什么样的位置关系？ （3）由此你能得出什么结论？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 知识点一　直线与平面垂直的性质 文字语言 如果两条直线　　　　于同一个平面，那么这两条直线　　　　 图形语言 符号语言 ⇒a∥b 【想一想】 如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条直线与这个平面是什么位置关系？ 1.已知△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是　　　　. 2.如图，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝　　　　. 知识点二　直线与平面所成的角 如图，如果A是平面α外一点，B是平面α内一点，且AB⊥α.则∠ACB称为直线AC与平面α所成的角. 【想一想】 　直线与平面所成的角的范围是多少？ 1.如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是（　　） A.60°　　　　　　　　　B.45° C.30° D.120° 2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于　　　　. 题型一｜直线与平面垂直的性质 【例1】　如图，在正方体A1B1C1D1-ABCD中，E是A1D上的点，F是AC上的点，且EF与异面直线AC，A1D都垂直相交.求证：EF∥BD1. 尝试解答 通性通法 证明线线平行的常用方法 （1）利用线线平行定义：证共面且无公共点； （2）利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线； （3）利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行； （4）利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直； （5）利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行. 【跟踪训练】 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.求证：AE∥MN. 题型二｜直线与平面所成的角 【例2】　如图所示，在Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正弦值. 尝试解答 通性通法 求斜线与平面所成角的步骤 （1）作图：作（或找）出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算； （2）证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角； （3）计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算. 【跟踪训练】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值. 题型三｜直线与平面垂直的综合应用 【例3】　如图所示，四边形ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G.求证：AE⊥SB. 尝试解答 【母题探究】 （变条件）本例中“过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G”改为“过A作AF⊥SC于点F，过点F作EF⊥SC交SB于点E”，结论不变，如何证明？ 通性通法 线线、线面垂直问题的解题策略 （1）证明线线垂直，一般通过证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面，为此分析题设，观察图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的平面； （2）证明直线和平面垂直，就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线，这一点在解题时一定要体现出来. 【跟踪训练】 　如图所示，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝AF＝CD＝2，AB＝4. （1）求证：AC⊥平面BCE； （2）求证：AD⊥AE. 1.若直线a⊥直线b，且a⊥平面α，则（　　） A.b⊥α　　　　　　　B.b⊂α C.b∥α D.b∥α或b⊂α 2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线l与B1B所在直线不重合，直线l⊥平面A1B1C1D1，则有（　　） A.B1B⊥l B.B1B∥l C.B1B与l异面 D.B1B与l相交 3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中AB1与平面DCC1D1所成的角等于　　　　. 4.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1. 提示：完成课后作业　第十一章　11.4　11.4.1　第二课时 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $