11.3.3 平面与平面平行(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦平面与平面平行的判定定理和性质定理，承接线面平行知识，通过上海世博会中国馆等实例直观感知，归纳两平面平行的判定条件及交线平行等性质，构建“位置关系—判定—性质—应用”的学习支架。 以现实情境培养直观想象，通过正方体、四棱锥模型的判定与性质例题发展逻辑推理，设“想一想”“母题探究”促进主动思考。课中助力教师引导知识构建，课后分层练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

11.3.3　平面与平面平行 课标要求 1.通过实例，直观感知、归纳出平面与平面平行的判定定理、性质定理（直观想象）. 2.掌握平面与平面平行的判定定理、性质定理，并能初步利用定理解决问题（逻辑推理）. 　　上海世界博览会的中国国家馆被永久保留.中国国家馆表达了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化的精神与气质，展馆共分三层，这三层给人以平行平面的感觉. 【问题】　（1）展馆的每两层所在的平面平行，那么上层平面上任一直线状物体与下层地面有何位置关系？ （2）上下两层所在的平面与侧墙所在平面分别相交，它们的交线是什么位置关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　平面与平面的位置关系 位置关系 图形语言 符号语言 公共点个数 两个平面平行 α∥β 没有公共点 两个平面相交 α∩β＝l 有无数个公共点（在一条直线上） 知识点二　平面与平面平行的判定与性质 条件 结论 图形语言 符号语言 判 定 如果一个平面内有　两条相交直线　分别平行于另一个平面 两个平面平行 ⇒α∥β 性 质 如果两个平行平面同时与第三个平面相交 交线平行 ⇒a∥b 推论：如果一个平面内有两条　相交　直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行. 常用结论：两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例. 【想一想】 如何从有无公共点的角度理解两平面位置关系？ 提示：如果两个平面有一个公共点，那么由基本事实3可知：这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面相互平行. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行.（　×　） （2）若两个平面平行，则一个平面内的所有直线都平行另一个平面.（　√　） （3）若一个平面内有无数多条直线平行另一个平面，则这两个平面平行.（　×　） （4）若平面α∥平面β，l⊂平面β，m⊂平面α，则l∥m.（　×　） 2.在正方体EFGH-E1F1G1H1中，下列四对截面互相平行的一对是（　　） A.平面E1FG1与平面EGH1 B.平面FHG1与平面F1H1G C.平面F1H1H与平面FHE1 D.平面E1HG1与平面EH1G 解析：A　如图，∵EG∥E1G1，EG⊄平面E1FG1，E1G1⊂平面E1FG1，∴EG∥平面E1FG1，同理可证H1E∥平面E1FG1.又H1E∩EG＝E，∴平面E1FG1∥平面EGH1，A正确.分析知B、C、D中两个平面分别相交. 3.已知长方体ABCD-A'B'C'D'，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A'B'C'D'＝E'F'，则EF与E'F'的位置关系是（　　） A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定 解析：A　因为平面ABCD∥平面A'B'C'D'，所以EF∥E'F'.故选A. 4.如图，已知在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是棱PA，PB，PC上的点且满足＝＝，则平面DEF与平面ABC的位置关系是平行. 解析：在△PAB中，因为＝，所以DE∥AB.又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，因此DE∥平面ABC.同理可证EF∥平面ABC.又DE∩EF＝E，所以平面DEF∥平面ABC. 题型一｜平面与平面间的位置关系 【例1】　已知下列说法： ①若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b； ②若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线； ③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定不相交； ④若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面； ⑤若两个平面α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交.其中正确的是③④（将你认为正确的序号都填上）. 解析：①错，a与b也可能异面；②错，a与b也可能平行；③对，因为α∥β，所以α与β无公共点.又因为a⊂α，b⊂β，所以a与b无公共点；④对，由已知及③知：a与b无公共点，那么a∥b或a与b异面；⑤错，a与β也可能平行. 通性通法 　　两个平面的位置关系有两种：平行和相交，没有公共点则平行，有公共点则相交.熟练掌握这两种位置关系，并借助图形来说明，是解决此类问题的关键. 【跟踪训练】 已知a，b是两条异面直线，平面α过a且与b平行，平面β过b且与a平行，则平面α与平面β的位置关系是（　　） A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或相交 解析：A　如图，在b上任取一点P，设a与点P确定的平面为γ，γ∩β＝c，因为a∥β，所以a∥c，又a⊂α，c⊄α，所以c∥α，因为c∩b＝P，又c∥α，b∥α，c⊂β，b⊂β，所以α∥β. 题型二｜平面与平面平行的判定 【例2】　如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，E，F，H分别为AB，CD，PD的中点.求证：平面AFH∥平面PCE. 证明：法一　因为F，H分别为CD，PD的中点，所以FH∥PC.因为PC⊂平面PCE，FH⊄平面PCE，所以FH∥平面PCE.又由已知得AE∥CF且AE＝CF，所以四边形AECF为平行四边形，所以AF∥CE.因为CE⊂平面PCE，AF⊄平面PCE，所以AF∥平面PCE.又FH⊂平面AFH，AF⊂平面AFH，FH∩AF＝F，所以平面AFH∥平面PCE. 法二　假设平面AFH和平面PCE不平行，设平面AFH∩平面PCE＝l，由法一可知AF∥平面PCE，所以AF∥l，同理可得HF∥l，所以AF∥HF，与AF与HF相交矛盾.所以平面AFH∥平面PCE. 通性通法 平面与平面平行的判定方法 （1）定义法：两个平面没有公共点； （2）判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面； （3）转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β； （4）利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 【跟踪训练】 在正四棱锥P-ABCD中，O为底面中心，H，E，F分别为PA，AH，HO的中点，点M在棱PD上，且PM＝3MD. （1）证明：HO∥平面PCD； 证明：连接AC，正四棱锥P-ABCD中，O为底面中心，则O为AC中点， 又H为PA的中点，则有HO∥PC， HO⊄平面PCD，PC⊂平面PCD，所以HO∥平面PCD. （2）证明：平面EFM∥平面ABCD. 证明：E，F分别为AH，HO的中点，则有EF∥AO， EF⊄平面ABCD，AO⊂平面ABCD，则有EF∥平面ABCD， H，E分别为PA，AH的中点，有PE＝3EA，又PM＝3MD，则有EM∥AD， EM⊄平面ABCD，AD⊂平面ABCD，则有EM∥平面ABCD， EF，EM⊂平面EFM，EF∩EM＝E，所以平面EFM∥平面ABCD. 题型三｜平面与平面平行的性质及应用 【例3】　如图，已知平面α∥β，P∉α，且P∉β，P在平面α与平面β的同侧，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD＝. 解析：因为AC∩BD＝P，所以经过直线AC与BD可确定平面PCD，因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD.所以＝，即＝.所以BD＝. 【母题探究】 （变条件）将本例改为：若点P位于平面α，β之间（如图），其他条件不变，试求BD的长. 解：与本例同理，可证AB∥CD. 所以＝，即＝， 所以BD＝24. 通性通法 应用平面与平面平行性质定理的基本步骤 【跟踪训练】 如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，点E是棱PD上一点，PE＝PD，若PF＝λPC且满足BF∥平面ACE，则λ＝. 解析：连接BD，交AC于点O，连接OE，由ABCD是正方形，得BO＝OD，在线段PE上取点G，使得GE＝ED，如图所示， 由PE＝PD，得＝，连接BG，FG，则BG∥OE，由OE⊂平面ACE，BG⊄平面ACE，得BG∥平面ACE，而BF∥平面ACE，BG∩BF＝B，BG，BF⊂平面BGF，因此平面BGF∥平面ACE，又平面PCD∩平面ACE＝EC，平面PCD∩平面BGF＝GF，则GF∥EC，所以λ＝＝＝. 1.设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，m∥β，若使α∥β成立，则需增加的条件是（　　） A.n是直线且n⊂α，n∥β B.n，m是异面直线且n∥β C.n，m是相交直线且n⊂α，n∥β D.n，m是平行直线且n⊂α，n∥β 解析：C　要使α∥β成立，需要其中一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，所以n，m是相交直线且n⊂α，n∥β，m⊂α，m∥β，由平面与平面平行的判定定理可得α∥β.故选C. 2.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为平行四边形. 解析：∵平面ABFE∥平面DCGH，平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理，EH∥FG，四边形EFGH是平行四边形. 3.如图所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD.E，F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将△PDC折起，使点P∉平面ABCD.求证：平面PAB∥平面EFG. 证明：因为E，F分别为PC，PD的中点，所以EF∥CD， 在直角梯形ABCP中，因为BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，所以CD∥AB， 所以EF∥AB，又EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB， 所以EF∥平面PAB，同理可证EG∥平面PAB. 又因为EF∩EG＝E， 所以平面PAB∥平面EFG. 1.已知空间中两个不重合的平面α和平面β，直线m⊂平面α，则“α∥β”是“m∥β”的（　　） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析：B　直线m⊂平面α，则α∥β⇒m∥β，充分性满足，但m∥β时，α与β可能相交，必要性不满足，因此是充分不必要条件. 2.已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，则下列推理正确的是（　　） A.α∩β＝a，b⊂α⇒a∥b B.α∩β＝a，a∥b⇒b∥α且b∥β C.a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α⇒α∥β D.α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 解析：D　选项A中，α∩β＝a，b⊂α，则a，b可能平行也可能相交，故A不正确；选项B中，α∩β＝a，a∥b，则可能b∥α且b∥β，也可能b在平面α或平面β内，故B不正确；选项C中，a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α，若直线a与直线b平行，则平面α，β可能平行也可能相交，故C不正确；选项D为面面平行性质定理的符号语言，D正确. 3.若结论“如果平面α内有三点到平面β的距离相等，那么α∥β ”是正确的，则这三点必须满足的条件是（　　） A.这三点不共线 B.这三点不共线且在β的同侧 C.这三点不在β的同侧 D.这三点不共线且在β的异侧 解析：B　首先这三点必须能确定一个平面，即要求这三点不共线；其次这三点必须在平面β的同侧，确定的平面才会和平面β平行，如果在平面β的异侧，那么确定的平面和平面β相交. 4.如图，在矩形ABCD中，AB＝3AD＝3，E在AB上且AE＝，将△ADE沿DE折起到△FDE，使得F∉平面BCDE，点G在线段CF上，若BG∥平面FDE，则的值等于（　　） A. B. C. D. 解析：C　作BM∥DE交CD于M，连接MG，则四边形BEDM是平行四边形.DM＝2，CM＝，由BM∥DE，BM在平面FDE外，可得BM∥平面FDE.又BG∥平面FDE，BM∩BG＝B，BM，BG⊂平面BGM，所以平面FDE∥平面BMG.又平面FDE∩平面FDC＝FD，平面BMG∩平面FDC＝MG，所以MG∥FD，因此＝＝. 5.两个平行平面与另两个平行平面相交得四条直线的位置关系是（　　） A.两两相互平行 B.两两相交于一点 C.两两相交但不一定交于同一点 D.两两相互平行或交于同一点 解析：A　根据平面与平面平行的性质定理可知，所得四条直线两两相互平行.故选A. 6.〔多选〕如图所示，平面α∥平面β，AB⊂α，CD⊂β，PA＝2，AB＝1，CD＝3，则（　　） A.CD∥α B.AC＝4 C.PB＝1 D.＝ 解析：AB　对于A，因为平面α∥平面β，CD⊂平面β，所以CD∥平面α，故A正确；对于B，设由PC与PD所确定的平面为γ，因为平面α∥平面β，平面α∩平面γ＝AB，平面β∩平面γ＝CD，所以AB∥CD，所以＝，即＝，解得AC＝4，故B正确；对于C，若PB＝1，则PB＋AB＝PA，这与三角形三边关系定理相矛盾，故C错误；对于D，＝⇔＝，而由AB∥CD⇒＝，但PB与PC长度关系不确定，故D错误. 7.已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b，有b∥a，则α与β的位置关系是平行（填“平行”或“相交”）. 解析：若α∩β＝l，则在平面α内，存在与l相交的直线a，设a∩l＝A，对于β内的任意直线b，若b过点A，则a与b相交，若b不过点A，则a与b异面，即β内不总存在直线b，有b∥a，矛盾.故α∥β. 8.六棱柱的两底面为α，β，且A∈α，B∈α，C∈β，D∈β，AD∥BC，则AB与CD的位置关系是平行. 解析：因为AD∥BC，且平面ABCD∩α＝AB，平面ABCD∩β＝CD，又α∥β，所以AB∥CD. 9.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于M，交BC与N，则MN＝AC. 解析：∵平面MNE∥平面ACB1，∴ME∥AB1，NE∥CB1.∵BE＝EB1，∴AM＝MB，BN＝NC，∴MN􀰿AC. 10.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为DD1的中点. （1）求证：BD1∥平面AMC； （2）若N为CC1的中点，求证：平面AMC∥平面BND1. 证明：（1）如图，连接BD，设AC∩BD＝O，连接OM， ∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD是正方形，∴O是BD中点. ∵M是DD1的中点， ∴OM∥BD1. ∵BD1⊄平面AMC，OM⊂平面AMC，∴BD1∥平面AMC. （2）∵N为CC1的中点，M为DD1的中点， ∴CN＝D1M.又∵CN∥D1M，∴四边形CND1M为平行四边形，∴D1N∥CM. 又∵MC⊂平面AMC，D1N⊄平面AMC，∴D1N∥平面AMC. 由（1）知BD1∥平面AMC，∵BD1∩D1N＝D1，BD1⊂平面BND1，D1N⊂平面BND1， ∴平面AMC∥平面BND1. 11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E，F，则四边形D1EBF的形状是（　　） A.矩形 B.菱形 C.平行四边形 D.正方形 解析：C　如图，因为平面和左右两个侧面分别交于ED1，BF，所以ED1∥BF，同理D1F∥EB，所以四边形D1EBF是平行四边形. 12.如图，在边长为的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M在底面正方形ABCD内运动，若A1M∥平面D1B1C，则动点M的轨迹长度为2. 解析：过点A1作平面CB1D1的平行平面，即平面A1BD，因为ABCD-A1B1C1D1为正方体，所以BD∥B1D1，A1D∥B1C.因为BD⊄平面D1B1C，A1D⊄平面D1B1C，B1D1⊂平面D1B1C，B1C⊂平面D1B1C，所以BD∥平面D1B1C，A1D∥平面D1B1C.因为A1D，BD⊂平面A1BD，A1D∩BD＝D，所以平面A1BD∥平面CB1D1.因为A1M∥平面CB1D1，A1∈平面A1BD，所以M∈平面A1BD.因为M∈平面ABCD，平面ABCD∩平面A1BD＝BD，所以M∈BD，所以点M在底面ABCD的轨迹为线段BD，故点M的轨迹长度为BD＝2. 13.如图，在四棱锥C-ABED中，四边形ABED是正方形，点G，F，P分别是线段EC，BD，CD的中点. （1）求证：GF∥平面ABC； （2）平面GFP与平面ABC有怎样的位置关系？并证明. 解：证明：如图，连接AE，由F是线段BD的中点，四边形ABED为正方形得，F为AE的中点， ∴GF为△AEC的中位线， ∴GF∥AC. 又∵AC⊂平面ABC，GF⊄平面ABC，∴GF∥平面ABC. （2）平面GFP∥平面ABC，证明如下： ∵点F，P分别为BD，CD的中点， ∴FP为△BCD的中位线，∴FP∥BC. 又∵BC⊂平面ABC，FP⊄平面ABC， ∴FP∥平面ABC， 又GF∥平面ABC，FP∩GF＝F， FP⊂平面GFP，GF⊂平面GFP， ∴平面GFP∥平面ABC. 14.〔多选〕如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，点E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，则在原四棱锥中（　　） A.平面EFGH∥平面ABCD B.BC∥平面PAD C.AB∥平面PCD D.平面PAD∥平面PAB 解析：ABC　把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则EH∥AB，又EH⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴EH∥平面ABCD.同理可证EF∥平面ABCD，又EF∩EH＝E，EF，EH⊂平面EFGH，∴平面EFGH∥平面ABCD，故选项A正确；平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交，故选项D错误；∵AB∥CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AB∥平面PCD，同理BC∥平面PAD，故选项B、C正确. 15.在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，平面PAB∩平面PCD＝l. （1）证明：l∥CD； （2）在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？并证明你的结论. 解：（1）证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AB∥CD. 又AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AB∥平面PCD. 又AB⊂平面PAB，平面PAB∩平面PCD＝l， 所以AB∥l，所以l∥CD. （2）存在.当F是PC的中点时，BF∥平面AEC. 证明如下：如图，取PE的中点M，连接FM. 由于M为PE的中点，F为PC的中点，所以FM∥CE. 由M为PE的中点，PE∶ED＝2∶1，得EM＝PE＝ED，所以E是MD的中点. 连接BM，BD.设BD∩AC＝O.因为四边形ABCD是菱形，所以O为BD的中点，连接OE.所以BM∥OE. 又MF∩MB＝M，CE∩OE＝E，MF，MB⊂平面BFM，CE，OE⊂平面AEC，所以平面BFM∥平面AEC. 又BF⊂平面BFM，所以BF∥平面AEC. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $