10.1.2 复数的几何意义(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦“复数的几何意义”核心知识点，从实数与数轴的对应关系切入，通过问题引导学生构建复数的几何模型，系统讲解复平面、实轴虚轴、共轭复数及模的概念，建立复数与复平面内点、向量的一一对应关系，形成完整知识支架。 该资料以问题驱动培养数学抽象，通过“为复数找几何模型”等提问引导学生抽象复平面概念，结合例题中复平面内点的象限判断、向量关系分析提升直观想象，课中助力教师引导探究，课后练习含判断、选择及解答题，帮助学生查漏补缺，巩固知识应用。

10.1.2　复数的几何意义 课标要求 1.了解复平面的概念，理解实轴、虚轴、模的概念，理解共轭复数的概念（数学抽象）. 2.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量表示复数，及它们之间的一一对应关系（直观想象）. 　　我们知道，实数与数轴上的点一一对应，也就是说，数轴可以看成实数的一个几何模型. 【问题】　（1）你能否为复数找一个几何模型？ （2）怎样建立起复数与几何模型中点的一一对应关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　复平面 1.复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以用平面直角坐标系内的　一个点Z（a，b）　来表示. 2.复平面、实轴与虚轴 复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面称为复平面. 实轴：在复平面内，x轴上的点对应的都是　实数　，因此x轴称为实轴. 虚轴：y轴上的点除了　原点　外，对应的都是　纯虚数　，因此y轴称为虚轴，如图： 知识点二　复数的几何意义 1.共轭复数 （1）定义：一般地，如果两个复数的实部　相等　，而虚部互为　相反数　，则称这两个复数互为　共轭复数　.复数z的共轭复数用　　表示，当z＝a＋bi（a，b∈R）时，有＝a－bi. （2）在复平面内，表示两个共轭复数的点关于　实轴　对称；反之，如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称，则这两个复数互为共轭复数. 2.几何意义 3.复数的模 （1）定义：一般地，向量＝（a，b）的长度称为复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模（或绝对值），复数z的模用｜z｜表示. （2）公式：复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模为｜z｜＝. 【想一想】 1.两个虚数是不能比较大小的，两个虚数的模能比较大小吗？ 提示：能.虚数的模是实数，能够比较大小. 2.共轭复数在复平面内对应的点有什么关系？ 提示：它们所对应的点关于实轴对称. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若z＝a＋bi（a，b∈R），则当b＝0时，z的模就是实数a的绝对值.（　√　） （2）在复平面内，对应实数的点都在实轴上.（　√　） （3）原点是实轴与虚轴的交点.（　√　） （4）复数的模一定是正实数.（　×　） （5）两个复数互为共轭复数，则它们的模相等.（　√　） 2.复数z＝－1－2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：C　z＝－1－2i在复平面内对应的点为（－1，－2），它位于第三象限.故选C. 3.已知i为虚数单位，若（x－2）＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x，y的值分别是（　　） A.3，3 B.5，1 C.－1，－1 D.－1，1 解析：D　∵（x－2）＋yi和3x－i互为共轭复数， ∴解得 4.已知复数z＝1＋2i（i是虚数单位），则｜z｜＝. 解析：∵z＝1＋2i，∴｜z｜＝＝. 题型一｜复数与复平面内点的关系 【例1】　在复平面内，若复数z＝（m2－2m－8）＋（m2＋3m－10）i对应的点：（1）在虚轴上；（2）在第二象限或第四象限，分别求实数m的取值范围. 解：复数z＝（m2－2m－8）＋（m2＋3m－10）i的实部为m2－2m－8，虚部为m2＋3m－10. （1）由题意得m2－2m－8＝0，且m2＋3m－10≠0. 解得m＝－2或m＝4. （2）由题意，得 或 解得2＜m＜4或－5＜m＜－2. 故实数m的取值范围是（－5，－2）∪（2，4）. 【母题探究】 （变设问）本例条件不变，若复数在直线y＝x上，求m的值. 解：由已知得m2－2m－8＝m2＋3m－10，故m＝. 通性通法 利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤 （1）找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以用复平面内的点Z（a，b）来表示，是解决此类问题的根据； （2）列出方程：此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解. 提醒　复数与复平面内的点是一一对应关系，因此复数可以用点来表示. 【跟踪训练】 1.已知复数z＝（m＋3）＋（m－1）i（m∈R）在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（　　） A.（－3，1） B.（－1，3） C.（1，＋∞） D.（－∞，－3） 解析：A　由复数z＝（m＋3）＋（m－1）i在复平面内对应的点在第四象限，可得解得－3＜m＜1.故选A. 2.〔多选〕设z＝（2t2＋5t－3）＋（t2＋2t＋2）i，t∈R，则以下结论中正确的是（　　） A.z在复平面内对应的点在第一象限 B.z可能是纯虚数 C.z在复平面内对应的点在实轴上方 D.z一定是实数 解析：BC　2t2＋5t－3的值可正、可负、可为0，t2＋2t＋2＝（t＋1）2＋1≥1，结合选项知选B、C. 题型二｜复数与复平面内向量的关系 【例2】　在复平面内的长方形ABCD中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i，3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数. 解：记O为复平面的原点，由题意得＝（2，3），＝（3，2），＝（－2，－3）. 设＝（x，y），则＝（x－2，y－3），＝（－5，－5）. ∵＝，∴ 解得 ∴＝（－3，－2）， 故点D对应的复数为－3－2i. 通性通法 复数与平面向量的对应关系 （1）根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量； （2）解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点及向量之间的转化. 【跟踪训练】 已知复数z1＝－1＋2i，z2＝4＋2i分别对应复平面上的点A，B.若＝＋对应的复数为z，求z的共轭复数（其中O为坐标原点）. 解：由题意得A（－1，2），B（4，2）， ∴＝（－1，2），＝（4，2）， ∴＝＋＝（－1，2）＋（4，2）＝（3，4）， ∴z＝3＋4i，∴＝3－4i. 题型三｜与复数的模有关的问题 【例3】　已知复数z1＝＋i，z2＝－＋i. （1）求｜z1｜及｜z2｜并比较大小； 解：｜z1｜＝｜＋i｜＝＝2， ｜z2｜＝＝1， 所以｜z1｜＞｜z2｜. （2）设z∈C，满足条件｜z｜＝｜z1｜的复数z对应的点为Z，则点Z组成的集合是什么图形？ 解：法一　设z＝x＋yi（x，y∈R）， 则点Z的坐标为（x，y）. 由｜z｜＝｜z1｜＝2得＝2，即x2＋y2＝4， 所以点Z的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆. 法二　由｜z｜＝｜z1｜＝2知｜｜＝2（O为坐标原点）， 所以Z到原点的距离为2， 所以Z的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆. 通性通法 复数模的计算 （1）计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算.虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小； （2）设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解. 【跟踪训练】 1.已知复数z＝a＋（a－2）i（a∈R）的虚部是实部的3倍，则｜z｜＝（　　） A.4 B. C.3 D. 解析：B　由复数z＝a＋（a－2）i（a∈R）的虚部是实部的3倍，得a－2＝3a，解得a＝－1，所以z＝－1－3i，｜z｜＝＝. 2.若t∈R，t≠－1，t≠0，则复数z＝＋i的模的取值范围是[，＋∞）. 解析：｜z｜2＝＋≥2·· ＝2， ∴｜z｜≥. 1.在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是（　　） A.4＋80i B.8＋2i C.2＋4i D.4＋i 解析：C　两个复数对应的点分别为A（6，5），B（－2，3），则C（2，4）.故其对应的复数为2＋4i. 2.已知平行四边形OABC中，O，C两点在复平面内对应的复数分别为0，3－2i，则｜｜＝（　　） A. B.2 C.4 D. 解析：D　由于四边形OABC是平行四边形，故＝，因此｜｜＝｜｜＝｜3－2i｜＝，故选D. 3.〔多选〕已知虚数z满足＝－＋i，则（　　） A.z的实部为－ B.z的虚部为 C.｜z｜＝1 D.z在复平面内对应的点在第三象限 解析：ACD　由＝－＋i，得z＝－－i，所以z的实部为－，z的虚部为－，｜z｜＝1，z在复平面内对应的点（ －，－）在第三象限，故选A、C、D. 4.i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝－2＋3i. 解析：∵z1＝2－3i，∴z1对应的点为（2，－3），关于原点的对称点为（－2，3）.∴z2＝－2＋3i. 5.实数m取什么值时，复数z＝（m2＋5m＋6）＋（m2－2m－15）i. （1）对应的点在x轴上方； （2）对应的点在直线x＋y＋4＝0上. 解：（1）由m2－2m－15＞0，得m＜－3或m＞5，所以当m＜－3或m＞5时，复数z对应的点在x轴上方. （2）由（m2＋5m＋6）＋（m2－2m－15）＋4＝0， 得2m2＋3m－5＝0， 解得m＝1或m＝－， 所以当m＝1或m＝－时，复数z对应的点在直线x＋y＋4＝0上. 1.已知i为虚数单位，若（x－4）＋（y＋2）i和2x－2i互为共轭复数，则实数x，y的值分别是（　　） A.3，3 B.5，1 C.－1，－1 D.－4，0 解析：D　∵（x－4）＋（y＋2）i和2x－2i互为共轭复数，∴解得 2.在复平面内，复数z＝（a－2）＋（1＋2a）i对应的点位于第二象限，则实数a的取值范围为（　　） A.（ －，2） B.（ －∞，－） C.（2，＋∞） D.（ －2，） 解析：A　复数z＝（a－2）＋（1＋2a）i，其对应的点（a－2，1＋2a）在第二象限，则解得－＜a＜2. 3.如果复数z与3＋4i对应的有序实数对关于虚轴对称，那么z对应的向量的模是（　　） A.1 B. C. D.5 解析：D　复数z对应的向量的坐标为（－3，4），其模为＝5.故选D. 4.若复数z＝x＋yi（x，y∈R），且（x＋2）－2xi＝－3y＋（y－1）i，则｜｜＝（　　） A.2 B. C. D.1 解析：C　根据复数相等可得解得∴z＝1－i，＝1＋i，∴｜｜＝＝. 5.复数＝cos＋isin，则在复平面内z对应的点位于（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：C　因为＝cos＋isin，所以z＝cos（ π－）－isin＝－cos－isin.因为所以在复平面内z对应的点（ －cos，－sin）位于第三象限. 6.〔多选〕已知复数z＝x＋yi（x，y∈R），则（　　） A.z2≥0 B.z的虚部是yi C.若z＝1＋2i，则x＝1，y＝2 D.｜z｜＝ 解析：CD　对于A选项，取z＝i，则z2＝－1＜0，A选项错误；对于B选项，复数z的虚部为y，B选项错误；对于C选项，若z＝1＋2i，则x＝1，y＝2，C选项正确；对于D选项，｜z｜＝，D选项正确.故选C、D. 7.在复平面内表示复数z＝（m－3）＋2i的点在直线y＝x上，则实数m的值为9. 解析：∵z＝（m－3）＋2i表示的点在直线y＝x上，∴m－3＝2，解得m＝9. 8.在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数是－3－4i. 解析：由向量对应的复数是2＋i，得＝（2，1），由向量对应的复数是－1－3i，得＝（－1，－3），因此＝＋＝－＝（－3，－4），所以向量对应的复数是－3－4i. 9.若复数z＝a2－1＋（a＋1）i（a∈R）是纯虚数，则｜z｜＝2. 解析：∵复数z＝a2－1＋（a＋1）i是纯虚数， ∴解得a＝1， ∴z＝2i，∴｜z｜＝2. 10.已知i为虚数单位，复数z满足｜z｜＋z＝8＋4i. （1）求z； （2）在复平面内，O为坐标原点，向量，对应的复数分别是z，c＋（2－c）i，若∠AOB是直角，求实数c的值. 解：（1）设z＝a＋bi（a，b∈R）， 由｜z｜＋z＝8＋4i，得a＋＋bi＝8＋4i， ∴解得∴z＝3＋4i. （2）由题意，得＝（3，4），＝（c，2－c）， ∵∠AOB是直角，∴·＝3c＋4（2－c）＝0， 解得c＝8. 11.若复数z＝a＋i（a∈R）在复平面内对应点Z，则｜z｜＝时，a＝±1，此时Z与点（1，2）的距离是1或. 解析：∵｜z｜＝＝，∴a＝±1.∴z＝1＋i或z＝－1＋i.当z＝1＋i时，Z为（1，1），两点间距离为＝1；当z＝－1＋i时，Z为（－1，1），两点间的距离为＝. 12.若复数z＝cos θ＋isin θ在复平面内对应点Z，则由点Z构成的图形是圆心在原点，半径为1的圆. 解析：∵｜z｜＝＝1.∴向量的长度等于1，即点Z到原点的距离始终等于1.∴由点Z构成的图形是圆心在原点，半径为1的圆. 13.在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i. （1）求向量，，对应的复数； （2）判定△ABC的形状. 解：（1）由复数的几何意义知： ＝（1，0），＝（2，1），＝（－1，2）， 所以＝－＝（1，1），＝－＝（－2，2），＝－＝（－3，1），所以，，对应的复数分别为1＋i，－2＋2i，－3＋i. （2）因为｜｜＝，｜｜＝2，｜｜＝， 所以｜｜2＋｜｜2＝｜｜2， 所以△ABC是以BC为斜边的直角三角形. 14.〔多选〕下列命题中，是假命题的是（　　） A.复数的模是非负实数 B.若z＝－＋i，则＝－i C.两个复数的模相等是这两个复数相等的必要条件 D.复数z1＞z2＞0的充要条件是｜z1｜＞｜z2｜ 解析：BD　任意复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模｜z｜＝≥0恒成立，故A是真命题；＝－－i，故B是假命题；若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i（a1，b1，a2，b2∈R），若z1＝z2，则有a1＝a2，b1＝b2，∴｜z1｜＝｜z2｜，反之由｜z1｜＝｜z2｜推不出z1＝z2，如当z1＝1＋3i，z2＝1－3i时，｜z1｜＝｜z2｜，但z1≠z2，故C是真命题；不全为实数的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模能比较大小，∴｜z1｜＞｜z2｜推不出复数z1＞z2，但复数z1＞z2＞0能推出｜z1｜＞｜z2｜，∴复数z1＞z2＞0的必要条件是｜z1｜＞｜z2｜，故D是假命题. 15.已知复数z＝（1＋2m）＋（3＋m）i（m∈R）. （1）若m＝1，且｜｜＝｜x＋（x－1）i｜，求实数x的值； （2）求当m为何值，｜｜最小，并求｜｜的最小值. 解：（1）由m＝1，得z＝3＋4i，＝3－4i， 则由｜｜＝｜x＋（x－1）i｜， 得＝， 整理得x2－x－12＝0， 解得x＝4或x＝－3. （2）｜｜＝＝＝≥ ， 当且仅当m＝－1时，｜｜取得最小值， 最小值为. 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $