10.1.1 复数的概念(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦复数的概念这一核心知识点，从数的扩充历史（自然数到实数）入手，通过方程x²=-1在实数范围内无解的问题引入复数，系统讲解复数的定义、实部虚部、分类（实数、虚数、纯虚数）及复数相等的充要条件，构建完整知识脉络。 资料以问题驱动激发探究欲，通过“想一想”辨析实部虚部概念，结合例题与跟踪训练强化数学运算，题型分层设计兼顾基础与提升。课中助力教师引导学生数学抽象，课后学生可通过练习巩固，有效查漏补缺。

10.1.1　复数的概念 课标要求 1.通过方程的解，了解引入复数的必要性（数学抽象）. 2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件（数学运算）. 　　数的扩充过程，也可以从方程是否有解的角度来理解： 　　因为类似x＋4＝3的方程在自然数范围内无解，所以人们引入了负数并将自然数扩充成整数，使得类似x＋4＝3的方程在整数范围内有解； 　　因为类似2x＝5的方程在整数范围内无解，所以人们引入了分数并将整数扩充成有理数，使得类似2x＝5的方程在有理数范围内有解； 　　因为类似x2＝7的方程在有理数范围内无解，所以人们引入了无理数并将有理数扩充成实数，使得类似x2＝7的方程在实数范围内有解. 【问题】　我们已经知道，类似x2＝－1的方程在实数范围内无解.那么，能否像前面一样，引入一种新的数，使得这个方程有解并将实数进行扩充呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　复数的有关概念 1.定义：一般地，当a与b都是实数时，称a＋bi为复数.其中i称为　虚数单位　，满足i2＝　－1　. 2.表示方法：复数一般用小写字母z表示，即z＝a＋bi（a，b∈R），其中a称为z的实部，b称为z的虚部，分别记作Re（z）＝　a　，Im（z）＝　b　. 【想一想】 1.复数m＋ni的实部是m，虚部是ni，对吗？ 提示：不对. 2.复数a＋bi的实部是a，虚部是b吗？ 提示：不一定，对于复数z＝a＋bi（a，b∈R），实部才是a，虚部才是b. 3i2＋7i的实部为－3，虚部为7. 解析：3i2＋7i＝－3＋7i，实部为－3，虚部为7. 知识点二　复数的分类 1.复数（a＋bi，a，b∈R） 2.复数集及包含关系 所有复数组成的集合称为复数集，即C＝{z｜z＝a＋bi，a，b∈R}. 【想一想】 1.两个虚数能比较大小吗？ 提示：不能. 2.复数z＝a＋bi（a，b∈R）在什么情况下表示实数？ 提示：b＝0. 在2＋，i，8＋5i，（1－）i，0.68这几个数中，纯虚数的个数为（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 解析：C　由纯虚数的定义可知i， （1－）i是纯虚数.故选C. 知识点三　复数相等 如果a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔　a＝c且b＝d　，即它们的实部与虚部都对应相等. 【想一想】 1.若复数z＝a＋bi（a，b∈R），z＝0，则a＋b的值为多少？ 提示：0. 2.若复数z1，z2分别为z1＝3＋ai（a∈R），z2＝b＋i（b∈R），且z1＝z2，则a＋b的值为多少？ 提示：4. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数.（　×　） （2）复数z1＝3i，z2＝2i，则z1＞z2.（　×　） （3）复数z＝bi（b∈R）是纯虚数.（　×　） （4）实数集与复数集的交集是实数集.（　√　） （5）若a－2i＝bi＋1（a，b∈R），则b＋ai＝－2＋i.（　√　） 题型一｜复数的概念 【例1】　分别指出下列复数的实部和虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数. 5＋i，－2，－i，－i，i2. 解：5＋i的实部是5，虚部是. －2＝－2＋0i，∴－2的实部是－2，虚部是0. －i的实部是，虚部是－1. －i＝0＋i，∴－i的实部是0，虚部是－. i2＝－1＝－1＋0i， ∴i2的实部是－1，虚部是0. －2，i2是实数；5＋i，－i，－i是虚数； －i是纯虚数. 通性通法 复数中实部与虚部的判断 （1）a＝a＋0i（a∈R），故a的实部是a，虚部是0； （2）bi＝0＋bi（b∈R），故bi的实部是0，虚部是b； （3）复数a＋bi（a，b∈R）中，i的系数即复数的虚部. 【跟踪训练】 1.已知复数z＝2a－4＋（a－2）i（其中i是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a等于（　　） A.－2 B.－3 C.2 D.3 解析：C　因为z＝2a－4＋（a－2）i的实部与虚部相等，所以2a－4＝a－2，解得a＝2. 2.欧拉公式eiθ＝cos θ＋isin θ（e为自然对数的底数，i为虚数单位）是瑞士著名数学家欧拉提出的，根据欧拉公式可知复数的虚部为－. 解析：因为＝cos＋isin ＝－i，所以复数的虚部为－. 题型二｜复数的分类 【例2】　当m为何实数时，复数z＝＋（m2－2m－15）i.（1）是虚数；（2）是纯虚数. 解：（1）当 即m≠5且m≠－3时，z是虚数. （2）当 即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数. 【母题探究】 1.（变设问）本例中条件不变，当m为何值时，z为实数. 解：当即m＝5时，z是实数. 2.（变设问）本例中条件不变，当m为何值时，z＞0. 解：因为z＞0，所以z为实数，需满足解得m＝5. 通性通法 解决复数分类问题的方法与步骤 （1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi（a，b∈R）的形式，以确定实部和虚部； （2）定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）即可； （3）下结论：设所给复数为z＝a＋bi（a，b∈R）， ①z为实数⇔b＝0； ②z为虚数⇔b≠0； ③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0. 【跟踪训练】 已知复数z＝＋（a2－5a－6）i（a∈R）. （1）若复数z是实数，求实数a的值； 解：若复数z是实数，则 即 所以a＝6. （2）若复数z是虚数，求实数a的取值范围； 解：若复数z是虚数，则 即 所以实数a的取值范围为{a｜a≠±1且a≠6}. （3）判断复数z是否可能为纯虚数.若可能为纯虚数，求出实数a的值；若不可能为纯虚数，请说明理由. 解：复数z不可能为纯虚数.理由如下： 若复数z是纯虚数，则 即 此时无解，故复数z不可能为纯虚数. 题型三｜两个复数相等 【例3】　（1）已知（2x－1）＋i＝y－（3－y）i，其中x，y∈R，i为虚数单位，求实数x，y的值； 解：根据复数相等的充要条件，由（2x－1）＋i＝y－（3－y）i，得解得 （2）已知（m2＋7m＋10）＋（m2－5m－14）i＝0，求实数m的值. 解：由已知得 解得m＝－2. 通性通法 复数相等问题的解题技巧 （1）复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数.解决复数相等问题的步骤：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程（组）求解； （2）运用复数相等的充要条件a＋bi＝c＋di⇔时，应注意前提条件a，b，c，d∈R，否则易出错. 【跟踪训练】 1.已知i是虚数单位，若（3x＋2y）＋（5x－y）i＝17－2i，x，y∈R，则x＋y＝（　　） A.6 B.7 C.8 D.－7 解析：C　由（3x＋2y）＋（5x－y）i＝17－2i，所以解得则x＋y＝8.故选C. 2.已知x2＋y2－6＋（x－y－2）i＝0，求实数x，y的值. 解：由复数相等的条件得方程组 由②得x＝y＋2，代入①得y2＋2y－1＝0，解得y1＝－1＋，y2＝－1－. 所以x1＝y1＋2＝1＋，x2＝y2＋2＝1－，即或 1.设集合A＝{虚数}，B＝{纯虚数}，C＝{复数}，则A，B，C间的关系为（　　） A.A⫋B⫋C B.B⫋A⫋C C.B⫋C⫋A D.A⫋C⫋B 解析：B　根据复数的分类，复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示，故选B. 2.已知x2－y2＋2xyi＝2i（其中x＞0），则实数x，y的值分别为1，1. 解析：根据x2－y2＋2xyi＝2i可得x2－y2＝0且2xy＝2，解得x＝y＝1或者x＝y＝－1，由于x＞0，所以x＝y＝1. 3.已知复数z＝（m2－5m＋6）＋（m2－3m）i是纯虚数，则复数z的虚部是－2. 解析：若z是纯虚数，则m2－5m＋6＝0且m2－3m≠0，解得m＝2，则复数z的虚部是m2－3m＝4－6＝－2. 4.若复数z1＝m2＋1＋（m3＋3m2＋2m）i，z2＝4m－2＋（m2－5m）i，m为实数，且z1＞z2，求实数m的值. 解：∵z1 ＞z2，∴解得m＝0. 1.－（2－i）的虚部是（　　） A.－2 B.－ C. D.2 解析：C　∵－（2－i）＝－2＋i，∴其虚部是. 2.复数z＝＋（a2－1）i是实数，则实数a的值为（　　） A.1或－1　 　B.1 C.－1　 　D.0或－1 解析：C　因为复数z＝＋（a2－1）i是实数，且a为实数，则解得a＝－1.故选C. 3.已知复数z1＝a＋2i，z2＝3＋（a2－7）i，a∈R，若z1＝z2，则a＝（　　） A.2 B.3 C.－3 D.9 解析：B　因为z1＝a＋2i，z2＝3＋（a2－7）i，且z1＝z2，所以有解得a＝3.故选B. 4.已知a∈R，若复数z＝4a2－3a－1＋（a－1）i是纯虚数，则a的值为（　　） A. B.－ C.－或1 D.或－1 解析：B　由复数z＝4a2－3a－1＋（a－1）i是纯虚数，得解得a＝－. 5.若复数z1＝sin 2θ＋icos θ，z2＝cos θ＋isin θ（θ∈R），z1＝z2，则θ＝（　　） A.kπ（k∈Z） B.2kπ＋（k∈Z） C.2kπ±（k∈Z） D.2kπ＋（k∈Z） 解析：D　由复数相等的定义可知， ∴cos θ＝，sin θ＝.∴θ＝＋2kπ，k∈Z. 6.〔多选〕在给出的下列几个命题中错误的是（　　） A.若x是实数，则x可能不是复数 B.若z是虚数，则z不是实数 C.一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零 D.－1没有平方根 解析：ACD　实数是复数，故A错；根据虚数的定义可知B正确；复数为纯虚数的要求为实部为零，虚部不为零，故C错；－1的平方根为±i，故D错，故选A、C、D. 7.若实数x，y满足（x＋y）＋（x－y）i＝2，则xy的值是1. 解析：因为实数x，y满足（x＋y）＋（x－y）i＝2，所以所以x＝y＝1，所以xy＝1. 8.已知a，b∈R，i为虚数单位，复数z＝a＋bi与4－b2＋（4b－8）i均是纯虚数，则z＝－2i. 解析：由题意知且得∴z＝－2i. 9.已知复数z＝－x＋（x2－4x＋3）i＞0，则实数x的值为1. 解析：因为z＞0，所以z∈R，所以x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.因为z＞0，所以－x＞0，对于不等式－x＞0，x＝1适合，x＝3不适合，所以x＝1. 10.分别求实数m的取值，使复数z＝（m2＋m－6）i＋是： （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数. 解：（1）由得m＝2.所以当m＝2时，z是实数. （2）由得即m≠2且m≠－3. 所以当m≠2且m≠－3时，z是虚数. （3）由得即m＝3或m＝4. 所以当m＝3或m＝4时，z是纯虚数. 11.〔多选〕下列四个命题中，正确的是（　　） A.若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1 B.（a2＋1）i（a∈R）是纯虚数 C.若＋＝0，则z1＝z2＝0 D.当m＝4时，复数lg（m2－2m－7）＋（m2＋5m＋6）i是纯虚数 解析：BD　取x＝i，y＝－i，则x＋yi＝1＋i，但不满足x＝y＝1，故A错误；∀a∈R，a2＋1＞0恒成立，所以（a2＋1）i是纯虚数，故B正确；取z1＝i，z2＝1，则＋＝0，但z1＝z2＝0不成立，故C错误；当m＝4时，复数lg（m2－2m－7）＋（m2＋5m＋6）i＝42i是纯虚数，故D正确，故选B、D. 12.若复数（a2－a－2）＋（｜a－1｜－1）i（a∈R）不是纯虚数，则a的取值范围是（－∞，－1）∪（－1，＋∞）. 解析：若复数为纯虚数，则有即∴a＝－1.故复数不是纯虚数时，a≠－1. 13.如果lo（m＋n）－（m2－3m）i＞－1，如何求自然数m，n的值？ 解：因为lo（m＋n）－（m2－3m）i＞－1， 所以lo（m＋n）－（m2－3m）i是实数， 从而有 由①得m＝0或m＝3， 当m＝0时，代入②得n＜2，又m＋n＞0，所以n＝1； 当m＝3时，代入②得n＜－1，与n是自然数矛盾. 综上可得，m＝0，n＝1. 14.已知复数z1＝m＋（4－m2）i（m∈R），z2＝2cos θ＋（λ＋3sin θ）i（λ，θ∈R），并且z1＝z2，则λ的取值范围为（　　） A.－7≤λ≤ B.≤λ≤7 C.－1≤λ≤1 D.－≤λ≤7 解析：D　由z1＝z2，得消去m，得λ＝4sin2θ－3sin θ＝4－.由于－1≤sin θ≤1，故－≤λ≤7. 15.定义运算＝ad－bc，若（x＋y）＋（x＋3）i＝，求实数x，y的值. 解：由定义得＝3x＋2y＋yi， 所以（x＋y）＋（x＋3）i＝3x＋2y＋yi. 因为x，y为实数，所以 即解得 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $