10.1.1 复数的概念(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

10.1.1　复数的概念

课标要求

　　数的扩充过程，也可以从方程是否有解的角度来理解：

　　因为类似x＋4＝3的方程在自然数范围内无解，所以人们引入了负数并将自然数扩充成整数，使得类似x＋4＝3的方程在整数范围内有解；

　　因为类似2x＝5的方程在整数范围内无解，所以人们引入了分数并将整数扩充成有理数，使得类似2x＝5的方程在有理数范围内有解；

　　因为类似x2＝7的方程在有理数范围内无解，所以人们引入了无理数并将有理数扩充成实数，使得类似x2＝7的方程在实数范围内有解.

【问题】　我们已经知道，类似x2＝－1的方程在实数范围内无解.那么，能否像前面一样，引入一种新的数，使得这个方程有解并将实数进行扩充呢？

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

知识点一　复数的有关概念

1.定义：一般地，当a与b都是实数时，称a＋bi为复数.其中i称为　虚数单位　，满足i2＝　－1　.

2.表示方法：复数一般用小写字母z表示，即z＝a＋bi（a，b∈R），其中a称为z的实部，b称为z的虚部，分别记作Re（z）＝　a　，Im（z）＝　b　.

【想一想】

1.复数m＋ni的实部是m，虚部是ni，对吗？

提示：不对.

2.复数a＋bi的实部是a，虚部是b吗？

提示：不一定，对于复数z＝a＋bi（a，b∈R），实部才是a，虚部才是b.

3i2＋7i的实部为－3，虚部为7.

解析：3i2＋7i＝－3＋7i，实部为－3，虚部为7.

知识点二　复数的分类

1.复数（a＋bi，a，b∈R）

2.复数集及包含关系

所有复数组成的集合称为复数集，即C＝{z｜z＝a＋bi，a，b∈R}.

【想一想】

1.两个虚数能比较大小吗？

提示：不能.

2.复数z＝a＋bi（a，b∈R）在什么情况下表示实数？

提示：b＝0.

在2＋，i，8＋5i，（1－）i，0.68这几个数中，纯虚数的个数为（　　）

A.0 B.1

C.2 D.3

解析：C　由纯虚数的定义可知i， （1－）i是纯虚数.故选C.

知识点三　复数相等

如果a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔　a＝c且b＝d　，即它们的实部与虚部都对应相等.

【想一想】

1.若复数z＝a＋bi（a，b∈R），z＝0，则a＋b的值为多少？

提示：0.

2.若复数z1，z2分别为z1＝3＋ai（a∈R），z2＝b＋i（b∈R），且z1＝z2，则a＋b的值为多少？

提示：4.

判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）

（1）若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数.（　×　）

（2）复数z1＝3i，z2＝2i，则z1＞z2.（　×　）

（3）复数z＝bi（b∈R）是纯虚数.（　×　）

（4）实数集与复数集的交集是实数集.（　√　）

（5）若a－2i＝bi＋1（a，b∈R），则b＋ai＝－2＋i.（　√　）

题型一｜复数的概念

【例1】　分别指出下列复数的实部和虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数.

5＋i，－2，－i，－i，i2.

解：5＋i的实部是5，虚部是.

－2＝－2＋0i，∴－2的实部是－2，虚部是0.

－i的实部是，虚部是－1.

－i＝0＋i，∴－i的实部是0，虚部是－.

i2＝－1＝－1＋0i，

∴i2的实部是－1，虚部是0.

－2，i2是实数；5＋i，－i，－i是虚数；