章末整合提升 体系构建 素养提升(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

一、数学运算

　　数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程.主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，求得运算结果等.在本章中，数学运算主要表现在利用正、余弦定理解三角形上.

培优一｜利用正、余弦定理解三角形

【例1】　（2024·新高考Ⅰ卷15题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab.

（1）求B；

解：由余弦定理有a2＋b2－c2＝2abcos C，

对比已知a2＋b2－c2＝ab，

可得cos C＝＝＝，

因为C∈（0，π），所以C＝，

又sin C＝cos B，所以＝cos B，

即cos B＝，又B∈（0，π），所以B＝.

 

 

（2）若△ABC的面积为3＋，求c.

解：由（1）可得A＝，

则sin A＝sin＝sin（＋）＝×＋×＝，由正弦定理有＝，

从而a＝·c＝c，

又S△ABC＝acsin B＝3＋，即ac＝4（＋1），

将a＝c代入，解得c＝2.

二、逻辑推理

　　逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程.在本章中，逻辑推理主要表现在利用正、余弦定理判定三角形的形状上.

培优二｜判断三角形的形状

【例2】　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝，b－c＝a，证明：△ABC是直角三角形.

证明：法一　由b－c＝a可得a＝（b－c），

又∵cos A＝＝，即b2＋c2－a2＝bc，

∴b2＋c2－3（b－c）2＝bc⇒（b－2c）（2b－c）＝0，

∴b＝2c或c＝2b（舍），

∴a＝c，即a2＋c2＝b2，故△ABC为直角三角形.

法二　∵b－c＝a，