章末检测（九） 解三角形(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

章末检测（九）　解三角形

（时间：120分钟　满分：150分）

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.在△ABC中，a＝2，b＝，c＝1，则最小角为（　　）

A. B.

C. D.

解析：B　∵a＞b＞c，∴C最小.∵cos C＝＝＝，0＜C＜π，∴C＝.

2.已知锐角三角形ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为（　　）

A.75° B.60°

C.45° D.30°

解析：B　面积S＝ BC·CA·sin C⇒3＝×4×3×sin C⇒sin C＝，又因为△ABC为锐角三角形，所以C＝60°.

3.如图，甲、乙二人同时从点A出发，甲沿正东方向走，乙沿北偏东30°方向走.当乙走了2 km到达B点时，甲走到C点，此时两人相距 km，则甲走的路程AC＝（　　）

A.2 km B.2 km

C. km D.1 km

解析：D　依题意知BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC，即3＝22＋AC2－2×2×AC×cos 60°，AC2－2AC＋1＝0，解得AC＝1.

4.在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则cos B＝（　　）

A. B.

C. D.

解析：A　由余弦定理得cos C＝＝＝，可得AB＝3，又由余弦定理得cos B＝＝＝.

5.在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，a＝，cos A＝，则△ABC的面积S为（　　）

A. B.

C. D.6

解析：A　由b2－bc－2c2＝0可得（b＋c）（b－2c）＝0，∴b＝2c.在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A，即6＝4c2＋c2－4c2×.∴c＝2，从而b＝4.∴S＝bcsin A＝×2×4×＝.

6.在△ABC中，cos2＝（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为（　　）

A.正三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形

D.等腰三角形或直角三角形

解析：B　因为cos2＝，所以＝，整理得到cos B＝，又由正弦定理＝＝，得到cos B＝，所以sin Ccos B＝sin A＝sin（B＋C）＝sin Bcos C＋cos Bsin C，得到sin Bcos C＝0，又B∈（0，π），所以sin B≠0，得到cos C＝0，又C∈（0，π），所以C＝.

7.如图，在山脚A测得山顶P的仰角α为30°，沿倾斜角β为15°的斜坡向上走a m到B，在B处测得山顶P的仰角γ为60°，则山PQ的高h＝（　　）

A.a m B. m

C.a m D.a m

解析：A　在△PAB中，∠PAB＝α－β＝15°，∠BPA＝（90°－α）－（90°－γ）＝γ－α＝30°，∴＝，∴PB＝a，∴PQ＝PC＋CQ＝PB·sin γ＋asin β＝a×sin 60°＋asin 15°＝ a（m）.故选A.

8.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2，（sin A－sin B）·（b＋2）＝c（sin B＋sin C），则△ABC外接圆的面积为（　　）

A.π B.3π

C.4π D.5π

解析：C　因为a＝2，且（sin A－sin B）（b＋2）＝c（sin B＋sin C），所以（sin A－sin B）（a＋b）＝c（sin B＋sin C），由正弦定理，可得（a－b）·（a＋b）＝c（b＋c），即b2＋c2－a2＝－bc，所以cos A＝＝＝－，由A∈（0，π），所以A＝，则△ABC外接圆的半径为＝＝2，所以△ABC外接圆的面积为S＝π·22＝4π.

二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a2＋c2－b2）tan B＝ac，则角B＝（　　）

A. B.

C. D.

解析：BC　因为（a2＋c2－b2）tan B＝ac，所以2accos B·tan B＝ac，又ac≠0，所以sin B＝，所以B＝或B＝，故选B、C.

 

10.已知锐角三角形ABC，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c＝4，B＝60°，则b的可能取值为（　　）

A.2 B.3

C.4 D.5

解析：CD　在△ABC中，c＝4，B＝60°，由＝，得b＝＝＝.因为0＜C＜，所以sin C∈（0，1），即有b＞2.若b＝4，则b＝c，即B＝C＝60°，△ABC为等边三角形，符合题意；若b＝5，则sin C＝∈，且b＞c，即B＞C，所以30°＜C＜60°，所以60°＜A＜90°，符合题意.故选C、D.