9.1.1 第2课时 正弦定理的应用（习题课）(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

第二课时　正弦定理的应用（习题课）

题型一｜三角形解的个数的判断

【例1】　根据下列条件，判断三角形是否有解，若有解，有几个解：

（1）a＝，b＝，A＝120°；

（2）a＝60，b＝48，B＝60°.

解：法一　（1）∵A＞90°且a＞b，

∴有一解，即这样的三角形是唯一的.

（2）∵asin B＝60×＝30，b＝48，

∴b＜asin B，无解，即不存在这样的三角形.

法二　（1）∵A＝120°，由＝，

得sin B＝＝＝，

∵A＞B，∴B＝45°.

∴有一解，即这样的三角形是唯一的.

（2）由＝，

得sin A＝＝＝＞1，

与0＜sin A≤1矛盾，

∴无解，即不存在这样的三角形.

通性通法

已知任意两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法

（1）应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数；

（2）在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：

 

【跟踪训练】

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（　　）

A.a＝8，b＝10，A＝45°

B.a＝60，b＝81，B＝60°

C.a＝7，b＝5，A＝80°

D.a＝14，b＝20，A＝45°

解析：A　对于A，若a＝8，b＝10，A＝45°，由正弦定理可得＝，得＝，得sin B＝＞＝sin A，再根据b＞a，可得B＞A，得B可能是锐角也可能是钝角，即角B有2个值，故△ABC有两解；对于B，若a＝60，b＝81，B＝60°，由正弦定理可得＝，得＝，得sin A＝＜＝sin B，再根据b＞a，可得B＞A，A只能是锐角，故△ABC有一个解；对于C，若a＝7，b＝5，A＝80°，由正弦定理可得＝，得＝，得sin B＝＜1，再根据b＜a，则B只能是锐角，故△ABC有一解；对于D，若a＝14，b＝20，A＝45°，则由正弦定理可得＝，得＝，求得sin B＝＞1，故B无解，得△ABC不存在.

题型二｜判断三角形的形状

【例2】　在△ABC中，acos＝bcos，判断△ABC的形状.

解：法一（化角为边）　∵acos＝bcos（ －B），∴asin A＝bsin B.

由正弦定理可得a·＝b·（R为△ABC外接圆的半径），

∴a2＝b2，∴a＝b，

∴△ABC为等腰三角形.

法二（化边为角）　∵acos＝bcos，

∴asin A＝bsin B.

由正弦定理可得2Rsin2A＝2Rsin2B（R为△ABC外接圆的半径），即sin A＝sin B，

∴A＝B（A＋B＝π不合题意舍去）.

故△ABC为等腰三角形.

【母题探究】

（变条件）本例条件变为“在△ABC中，c－acos B＝（2a－b）cos A”问题不变.

解：由c－acos B＝（2a－b）cos A，得sin C－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，所以sin（A＋B）－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，即2cos A（sin B－sin A）＝0，所以cos A＝0或sin B＝sin A，又0＜A＜π，0＜B＜π，所以A＝或A＝B或A＋B＝π（舍去）.所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.

通性通法

利用正弦定理判断三角形形状的两条途径

（1）化角为边.将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识（分解因式、配方等）得到边的关系，如a＝b，a2＋b2＝c2等，进而确定三角形的形状.化角为边常利用的公式为：sin A＝，sin B＝，sin C＝（R为△ABC外接圆的半径）；

（2）化边为角.将题目中的所有条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状.化边为角常利用的公式为：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C（R为△ABC外接圆的半径）.

【跟踪训练】

在△ABC中，已知b＝asin C，c＝asin B，试判断△ABC的形状.

解：法一　由b＝asin C，c＝asin B，得＝，

由正弦定理，得＝，所以b2＝c2，

又因为b，c＞0，所以b＝c，