9.1.1 第2课时 正弦定理的应用（习题课）(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

第二课时　正弦定理的应用（习题课） 题型一｜三角形解的个数的判断 【例1】　根据下列条件，判断三角形是否有解，若有解，有几个解： （1）a＝，b＝，A＝120°； （2）a＝60，b＝48，B＝60°. 解：法一　（1）∵A＞90°且a＞b， ∴有一解，即这样的三角形是唯一的. （2）∵asin B＝60×＝30，b＝48， ∴b＜asin B，无解，即不存在这样的三角形. 法二　（1）∵A＝120°，由＝， 得sin B＝＝＝， ∵A＞B，∴B＝45°. ∴有一解，即这样的三角形是唯一的. （2）由＝， 得sin A＝＝＝＞1， 与0＜sin A≤1矛盾， ∴无解，即不存在这样的三角形. 通性通法 已知任意两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法 （1）应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数； （2）在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表： A为锐角 A为钝角或直角 图 形 关系式 ①a＝bsin A ②a≥b　　 bsin A＜a＜b a＜bsin A a＞b a≤b 解的个数 一解 两解 无解 一解 无解 【跟踪训练】 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（　　） A.a＝8，b＝10，A＝45° B.a＝60，b＝81，B＝60° C.a＝7，b＝5，A＝80° D.a＝14，b＝20，A＝45° 解析：A　对于A，若a＝8，b＝10，A＝45°，由正弦定理可得＝，得＝，得sin B＝＞＝sin A，再根据b＞a，可得B＞A，得B可能是锐角也可能是钝角，即角B有2个值，故△ABC有两解；对于B，若a＝60，b＝81，B＝60°，由正弦定理可得＝，得＝，得sin A＝＜＝sin B，再根据b＞a，可得B＞A，A只能是锐角，故△ABC有一个解；对于C，若a＝7，b＝5，A＝80°，由正弦定理可得＝，得＝，得sin B＝＜1，再根据b＜a，则B只能是锐角，故△ABC有一解；对于D，若a＝14，b＝20，A＝45°，则由正弦定理可得＝，得＝，求得sin B＝＞1，故B无解，得△ABC不存在. 题型二｜判断三角形的形状 【例2】　在△ABC中，acos＝bcos，判断△ABC的形状. 解：法一（化角为边）　∵acos＝bcos（ －B），∴asin A＝bsin B. 由正弦定理可得a·＝b·（R为△ABC外接圆的半径）， ∴a2＝b2，∴a＝b， ∴△ABC为等腰三角形. 法二（化边为角）　∵acos＝bcos， ∴asin A＝bsin B. 由正弦定理可得2Rsin2A＝2Rsin2B（R为△ABC外接圆的半径），即sin A＝sin B， ∴A＝B（A＋B＝π不合题意舍去）. 故△ABC为等腰三角形. 【母题探究】 （变条件）本例条件变为“在△ABC中，c－acos B＝（2a－b）cos A”问题不变. 解：由c－acos B＝（2a－b）cos A，得sin C－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，所以sin（A＋B）－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，即2cos A（sin B－sin A）＝0，所以cos A＝0或sin B＝sin A，又0＜A＜π，0＜B＜π，所以A＝或A＝B或A＋B＝π（舍去）.所以△ABC是等腰三角形或直角三角形. 通性通法 利用正弦定理判断三角形形状的两条途径 （1）化角为边.将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识（分解因式、配方等）得到边的关系，如a＝b，a2＋b2＝c2等，进而确定三角形的形状.化角为边常利用的公式为：sin A＝，sin B＝，sin C＝（R为△ABC外接圆的半径）； （2）化边为角.将题目中的所有条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状.化边为角常利用的公式为：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C（R为△ABC外接圆的半径）. 【跟踪训练】 在△ABC中，已知b＝asin C，c＝asin B，试判断△ABC的形状. 解：法一　由b＝asin C，c＝asin B，得＝， 由正弦定理，得＝，所以b2＝c2， 又因为b，c＞0，所以b＝c， 所以B＝C. 由b＝asin C，得sin B＝sin Asin C＝sin Asin B， 所以sin A＝1，又因为0＜A＜π， 所以A＝， 所以△ABC是等腰直角三角形. 法二　由b＝asin C，c＝asin B，得＝， 由正弦定理，得＝， 所以sin2B＝sin2C. 又因为0＜B＜π，0＜C＜π， 所以sin B＞0，sin C＞0， 所以sin B＝sin C， 所以B＝C. 由b＝asin C，得sin B＝sin Asin C＝sin Asin B， 所以sin A＝1， 又因为0＜A＜π， 所以A＝， 所以△ABC为等腰直角三角形. 题型三｜利用正弦定理求最值或取值范围 【例3】　已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acos B＋asin B＝b＋c. （1）求A； 解：由正弦定理得sin Acos B＋sin Asin B＝sin B＋sin C，则sin Acos B＋sin Asin B＝sin B＋sin（A＋B）， 即sin Acos B＋sin Asin B＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B， 即sin Asin B－cos Asin B＝sin B. 因为sin B≠0，所以sin A－cos A＝1，即2sin（ A－）＝1，即sin（ A－）＝. 因为0＜A＜π，所以－＜A－＜，所以A－＝，故A＝. （2）若a＝2，求△ABC周长的取值范围. 解：记△ABC的周长为L，则L＝a＋b＋c，因为a＝2，acos B＋asin B＝b＋c， 所以b＋c＝2（cos B＋sin B）＝4sin（ B＋），所以L＝2＋4sin（ B＋）. 因为0＜B＜，所以＜B＋＜，所以＜sin（ B＋）≤1， 故4＜2＋4sin（ B＋）≤6，则周长L的取值范围为（4，6]. 通性通法 　　利用正弦定理解决三角形中取值范围或最值问题的策略 （1）先利用正弦定理理清三角形中元素间的关系或求出某些元素； （2）将所求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数（三角函数），从而转化为求函数的值域或最值问题. 【跟踪训练】 在△ABC中，已知a＝2，A＝，则该三角形面积的最大值为（　　） A.2＋ B.2－ C.3＋ D.3－ 解析：A　∵A＝，∴B＋C＝. ∵＝＝＝＝4， ∴b＝4sin B，c＝4sin C＝4sin（ －B）＝2cos B＋2sin B， ∴S△ABC＝bcsin A＝2sin Bcos B＋2sin2B＝2sin（ 2B－）＋. ∵0＜B＜，∴－＜2B－＜，∴sin（ 2B－）∈（ －，1］，∴S△ABC＝bcsin A＝2sin（ 2B－）＋∈（0，2＋]，即该三角形面积的最大值为2＋. 　　在初中我们学习了三角形全等的判定，你还记得三角形全等的判定方法吗？两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即两边和其中一边的对角分别相等不能作为判定两个三角形全等的依据.如图，在△ABC和△ADC中，AC＝AC，CB＝CD，∠CAD＝∠CAB，其中A是CB，CD的对角，△ABC与△ADC不全等. 也就是说，已知两边和其中一边的对角解三角形时，解的个数不唯一，分为两解、一解和无解三种情况. 【问题探究】 1.你能从代数的角度分析解的情况吗？ 提示：在△ABC中，已知a，b，A，由正弦定理可得sin B＝sin A. （1）当sin B＞1时，这样的B不存在，即三角形无解； （2）当sin B＝1时，B＝90°，若A＜90°，则三角形有一解，否则无解； （3）当sin B＜1时，B有两个（一个为锐角，一个为钝角），其中设锐角为α，钝角为β，则当A＋α＞180°时，三角形无解；当A＋α＜180°，且A＋β＜180°时，有两解；当A＋α＜180°，且A＋β＞180°时，有一解. 2.你能从几何的角度分析解的情况吗？ 提示：在△ABC中，已知a，b和A，解三角形. 当A为锐角时，如图所示. 当A为直角或钝角时，如图所示. 【迁移应用】 1.在△ABC中，A＝60°，a＝，b＝，则△ABC解的情况是（　　） A.无解 B.有唯一解 C.有两解 D.不能确定 解析：B　∵A为锐角且a＞b，∴△ABC解的个数唯一. 2.在△ABC中，c＝，A＝45°，a＝，求b和B，C. 解：∵＝， ∴sin C＝＝＝. ∵0°＜C＜180°，∴C＝60°或C＝120°. 当C＝60°时，B＝75°，由正弦定理，得b＝＝＝； 当C＝120°时，B＝15°，b＝＝＝. 故b＝，B＝75°，C＝60°或b＝，B＝15°，C＝120°. 3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知满足B＝60°，b＝2的三角形有两解，求a的取值范围. 解：因为三角形有两解，所以 即解得2＜a＜， 则a的取值范围是. 1.在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是（　　） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 解析：B　由题意有＝b＝，则sin B＝1，由B∈（0，π），故角B为直角，故△ABC是直角三角形. 2.在△ABC中，若b＝30，c＝15，C＝26°，则此三角形解的情况是（　　） A.一解 B.两解 C.无解 D.无法确定 解析：B　∵b＝30，c＝15，C＝26°，∴c＞bsin C.又∵c＜b，∴此三角形有两解，故选B. 3.在△ABC中，若C＝2B，则的取值范围为（1，2）. 解析：因为A＋B＋C＝π，C＝2B， 所以A＝π－3B＞0，所以0＜B＜，所以＜cos B＜1.因为＝＝＝2cos B， 所以1＜2cos B＜2，故1＜＜2. 4.已知在△ABC中，若＝，则该三角形为等腰三角形. 解析：由题＝及正弦定理可得，＝，所以cos A＝cos B，又A，B是△ABC内角，所以A＝B.所以该三角形为等腰三角形. 5.在△ABC中，求证：＝. 证明：因为＝＝＝2R（R为△ABC外接圆半径），所以左边＝ ＝＝＝＝右边. 所以等式成立. 1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝30°，c＝2，b＝2，则A＝（　　） A.30° B.60° C.60°或90° D.30°或90° 解析：D　∵B＝30°，c＝2，b＝2，∴由正弦定理可得sin C＝＝.由C∈（0°，180°），可得C＝60°或C＝120°.又∵A＝180°－B－C，∴A＝90°或A＝30°. 2.在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两个解，则x的取值范围是（　　） A.x＞2 B.x＜2 C.2＜x＜2 D.2＜x＜2 解析：C　依题意，a＞b，即x＞2，由sin A＝＝＜1，得x＜2，所以x的取值范围是2＜x＜2. 3.在△ABC中，若sin C·sin B＝cos2，则△ABC是（　　） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 解析：A　因为sin C·sin B＝cos2＝，整理得到2sin C·sin B＝1＋cos A＝1－cos（C＋B）＝1－cos Ccos B＋sin C·sin B，即cos Ccos B＋sin C·sin B＝cos （C－B）＝1，又0＜C＜π，0＜B＜π，得到－π＜C－B＜π，所以C－B＝0，即C＝B，故选A. 4.在△ABC中，若A＜B＜C，且A＋C＝2B，最大边为最小边的2倍，则A∶B∶C＝（　　） A.1∶2∶3 B.2∶3∶4 C.3∶4∶5 D.4∶5∶6 解析：A　由A＜B＜C，且A＋C＝2B，A＋B＋C＝π，可得B＝，因为最大边为最小边的2倍，所以c＝2a，所以sin C＝2sin A，即sin＝2sin A⇒tan A＝，由于0＜A＜π，所以A＝，从而C＝，则A∶B∶C＝1∶2∶3. 5.已知在△ABC中，∠BAC的角平分线AD与边BC相交于点D，且AC＝2，AB＝3，∠BAC＝60°，则AD的长为（　　） A. B. C. D. 解析：C　依题意，设AD＝x，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝30°，由S△BAD＋S△CAD＝S△BAC，可得×3xsin 30°＋×2xsin 30°＝×2×3sin 60°，解得x＝.故选C. 6.〔多选〕在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则（　　） A.a＜bsin A B.a≥bsin A C.asin B＝bsin A D.asin A＝bsin B 解析：BC　对于A、B，注意到0＜sin B≤1，又sin A＞0，则sin Asin B≤sin A，然后由正弦定理边角互化可得bsin A≤a，故A错误，B正确；对于C、D，由正弦定理边角互化，ab＝ab⇒asin B＝bsin A，故C正确；asin A＝bsinB⇔a2＝b2，题目条件不足，无法判断.故选B、C. 7.已知c＝50，b＝72，C＝135°，则三角形解的个数为0. 解析：∵c＜b，∴C＜B，∴B＋C＞180°.故三角形无解. 8.在△ABC中，若＝＝，则△ABC的形状为等腰直角三角形. 解析：根据正弦定理＝＝， 可得 由B，C的范围可得B＝C＝45°， 故A＝90°， 则△ABC是等腰直角三角形. 9.在△ABC中，若b＝5，B＝，tan A＝2，则sin A＝，a＝2. 解析：由tan A＝2，得sin A＝2cos A， 由sin2A＋cos2A＝1及0＜A＜π，得sin A＝. ∵b＝5，B＝，＝， ∴a＝＝＝2. 10.在△ABC中，已知＝，试判断△ABC的形状. 解：∵＝，a＝2Rsin A，b＝2Rsin B（R为△ABC外接圆的半径）， ∴＝. 又∵sin Asin B≠0， ∴sin Acos A＝sin Bcos B， 即sin 2A＝sin 2B， ∴2A＝2B或2A＋2B＝π， 即A＝B或A＋B＝. 故△ABC是等腰三角形或直角三角形. 11.〔多选〕在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c＝6.点D满足＝2，且csin A＝acos C，O是△ABC外心，则下列判断正确的是（　　） A.C＝ B.△ABC的外接圆半径是2 C.OD＝2 D.CD的最大值为2 解析：ABC　选项A，因为csin A＝acos C，由正弦定理得sin Csin A＝sin Acos C，又sin A＞0，所以tan C＝，而C∈（0，π），所以C＝，A正确；选项B，因为c＝6，所以2R＝＝＝4，所以R＝2，B正确；选项C，取AB的中点M，如图所示，在Rt△AOM中，OM＝＝＝，在Rt△DOM中，DM＝1，OD＝＝2，C正确；选项D，CD≤CO＋OD＝2＋2，当且仅当圆心O在CD上时取等号，所以CD的最大值为2＋2，D错误. 12.在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，且sin A＝2sin B·cos C.则A＝90°，△ABC是等腰直角三角形. 解析：设sin A＝，sin B＝，sin C＝，R为△ABC外接圆的半径.∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴＝＋，即a2＝b2＋c2，故A＝90°.∴C＝90°－B，cos C＝sin B.∴2sin B·cos C＝2sin2B＝sin A＝1.∴sin B＝.∴B＝45°或B＝135°（A＋B＝225°＞180°，故舍去）.∴△ABC是等腰直角三角形. 13.在△ABC中，已知＝，且cos（A－B）＋cos C＝1－cos 2C. （1）求证：△ABC为直角三角形； （2）求的取值范围. 解：（1）证明：根据正弦定理，得 ＝＝， ∴b2－a2＝ab.　① ∵cos（A－B）＋cos C＝1－cos 2C， ∴cos（A－B）－cos（A＋B）＝2sin2C， ∴sin Asin B＝sin2C， 由正弦定理，得ab＝c2.　② 把②代入①，得b2－a2＝c2， 即a2＋c2＝b2， ∴△ABC是直角三角形. （2）由（1）知B＝，∴C＝－A， ∴sin C＝sin＝cos A. 根据正弦定理，得＝＝sin A＋cos A＝sin. ∵0＜A＜，∴＜A＋＜， ∴ ＜sin≤1， ∴1＜sin（ A＋）≤. 即的取值范围是（1，]. 14.〔多选〕已知△ABC中，AB＝4，A＝.则（　　） A.若BC＝2，则△ABC有两解 B.若△ABC是钝角三角形，则0＜AC＜2 C.若△ABC是锐角三角形，则2＜BC＜4 D.的最大值是 解析：CD　因为△ABC中，AB＝4，A＝，BC＝2，由正弦定理得＝，即＝，故sin C＝1，所以C＝，故△ABC有一解，故A错误；因为A＝，AB＝4，△ABC为钝角三角形，当B为钝角时，AC2＞BC2＋AB2＞AB2＝16，即AC＞4，故B错误；因为△ABC为锐角三角形，所以C∈（ 0，），B∈（ 0，），所以C∈（ ，），sin C∈（ ，1），∈（1，2）.又因为＝，BC＝×＝∈（2，4），故C正确；因为＝＝sin B≤，当B＝时，的最大值是，故D正确.故选C、D. 15.在锐角三角形ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，（ －1）sin C＝sin（B－C），且a＝2. （1）求B； （2）求△ABC周长的取值范围. 解：（1）由正弦定理得（ －1）sin C＝sin（B－C），即sin A－sin C＝sin（B－C）， 所以sin（B＋C）－sin C＝sin（B－C）， 即sin Bcos C＋cos Bsin C－sin C＝sin Bcos C－cos Bsin C， 可得2cos Bsin C＝sin C，由sin C≠0可得cos B＝，由B∈（0，）知B＝. （2）由（1）知，B＝，A＋C＝. 由正弦定理知，＝＝，可得b＝，c＝， 故△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋＋ ＝2＋＝3＋＝3＋＝3＋. 由△ABC是锐角三角形知，A＋B＞，B＋C＞，即A＞，C＞. 又A＋C＝，故＜A＜，＜＜，tan＝＝＝2－， 故tan＜tan＜tan，2－＜tan＜1，所以3＋＜3＋＜6＋2， 故△ABC周长的取值范围是（3＋，6＋2）. 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $