9.1.1 第1课时 正弦定理(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

9.1.1　正弦定理 课标要求 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法（逻辑推理）. 2.掌握用两边及其夹角表示的三角形面积公式（数学运算）. 3.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题（直观想象）. 第一课时　正弦定理 　　关于正弦定理的发现历史，一般认为是中世纪阿拉伯数学家、天文学家阿布瓦法（940～998）提出并证明了球面三角形的正弦定理，而平面三角形的正弦定理的证明最先是纳绥尔丁-图西（1201～1274）给出的.我国清代数学家梅文鼎（1633～1721）在他的著作《平三角举要》中也给出了证明，而且还给出了正弦定理的完整形式. 【问题】　三角形中的边与其所对的角的正弦值之间具有什么关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　 知识点一　三角形面积公式 1.S△ABC＝　bcsin A　＝　acsin B　＝　absin C　，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的　一半　. 2.S△ABC＝ah，其中a为△ABC的一边长，而h为该边上的高的长. 1.在△ABC中，A＝45°，AB＝1，AC＝2，则S△ABC＝（　　） A. B. C. D.2 解析：B　S△ABC＝AB·ACsin A＝×1×2sin 45°＝. 2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则c＝（　　） A.4 B.5 C. D.5 解析：A　∵a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，∴×1×csin 45°＝2，解得c＝4. 知识点二　正弦定理 1.正弦定理 文字语言 在一个三角形中，各边的长和它所对角的　正弦　的比相等 符号语言 ＝＝ 定理变形 设三角形的三边长分别为a，b，c，它们所对的内角分别为A，B，C： （1）a∶b∶c＝　sin A　∶　sin B　∶　sin C　； （2）＝＝＝ 　　提醒：△ABC的三边及三内角与它的外接圆半径R之间的关系：①＝＝＝2R；②a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；③sin A＝，sin B＝，sin C＝. 2.解三角形 （1）习惯上，我们把三角形的　3个角　与　3条边　都称为三角形的元素； （2）已知三角形的若干元素求　其他元素　一般称为解三角形. 【想一想】 1.利用正弦定理解三角形需要哪些条件？ 提示：需要两角和一边或两边和其中一边的对角. 2.三角形的边角中有哪些不等关系？ 提示：（1）大角对大边：若A＞B＞C，可得a＞b＞c，则sin A＞sin B＞sin C. （2）大边对大角：若sin A＞sin B＞sin C，可得a＞b＞c，则A＞B＞C. （3）两边之和大于第三边，即a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b. （4）两边之差小于第三边，即a－b＜c，b－c＜a，c－a＜b. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）三角形面积公式S＝absin C对任意三角形都适用.（　√　） （2）正弦定理只适用于锐角三角形.（　×　） 2.在△ABC中，一定成立的等式是（　　） A.asin A＝bsin B B.acos A＝bcos B C.asin B＝bsin A D.acos B＝bcos A 解析：C　由正弦定理＝，得asin B＝bsin A，故选C. 3.在△ABC中，已知BC＝，sin C＝2sin A，则AB＝2. 解析：由正弦定理，得AB＝·BC＝2BC＝2. 4.在△ABC中，a＝，b＝，B＝，则A＝或. 解析：由正弦定理，得sin A＝＝＝，又A∈（0，π），a＞b，∴A＞B，∴A＝或. 题型一｜已知两角及一边解三角形 【例1】　（1）在△ABC中，已知a＝18，B＝60°，C＝75°，求b的值； 解：根据三角形内角和定理，得 A＝180°－（B＋C）＝180°－（60°＋75°）＝45°. 根据正弦定理，得b＝＝＝9. （2）在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b. 解：法一　∵A＝45°，C＝30°，∴B＝180°－（A＋C）＝105°. 由＝得a＝＝＝10. ∵sin 105°＝sin 75°＝sin（30°＋45°）＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝， ∴b＝＝20×＝5＋5. 法二　设△ABC外接圆半径为R，则2R＝＝＝20. 易知B＝180°－（A＋C）＝105°，∴a＝2Rsin A＝20×sin 45°＝10， b＝2Rsin B＝20×sin 105°＝20×＝5＋5. 通性通法 已知两角及一边解三角形的一般步骤 【跟踪训练】 在△ABC中，已知B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长为. 解析：因为B＝45°，C＝60°，所以A＝75°， 故角B最小，所以b为最短边， 由正弦定理＝， 得b＝＝＝， 故所求的最短边长为. 题型二｜已知两边及一边的对角解三角形 【例2】　在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解三角形. 解：因为＝， 所以sin C＝＝＝， 因为C∈，且c＞a，所以C＞A，所以C＝60°或C＝120°. 当C＝60°时，B＝75°，b＝＝＝＋1； 当C＝120°时，B＝15°，b＝＝＝－1. 所以b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝120°. 【母题探究】 （变条件，变设问）若把本例中的条件“A＝45°”变为“C＝45°”，则角A有几个值？ 解：因为＝，所以sin A＝＝＝. 因为c＝＞2＝a，所以C＞A，所以A为小于45°的锐角，且正弦值为，这样的角A只有一个. 通性通法 已知两边及一边的对角解三角形的步骤 【跟踪训练】 1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝10，b＝14，B＝，则sin A＝（　　） A.－ B. C.－ D. 解析：D　根据正弦定理有＝，即＝，解得sin A＝.故选D. 2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝，b＝，a＝3，则c＝（　　） A.或2 B.2或3 C.或3 D.3 解析：A　由题意及正弦定理＝，得＝，解得sin A＝.又故0＜A＜，于是A＝或A＝，均符合题意.当A＝时，C＝π－A－B＝，由正弦定理＝，得＝，解得c＝2；当A＝时，C＝π－A－B＝＝B，此时△ABC是等腰三角形，c＝b＝. 题型三｜三角形面积公式及其应用 【例3】　在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，求△ABC的面积. 解：法一　在△ABC中，根据正弦定理，得＝，即＝，解得sin B＝1. 因为0°＜B＜120°，所以B＝90°，所以C＝30°，所以△ABC的面积S△ABC＝·AC·BC·sin C＝2. 法二　在△ABC中，根据正弦定理，得＝，所以＝，解得sin B＝1. 因为0°＜B＜120°，所以B＝90°，所以AB＝＝2，所以△ABC的面积S△ABC＝·AB·BC＝2. 通性通法 三角形面积的两种求法 （1）若已知△ABC的两边及其夹角，则S△ABC＝absin C＝acsin B＝bcsin A； （2）若已知两角及一边，首先利用三角形内角和定理求第三个角，然后利用正弦定理求另一边，再利用面积公式求面积. 【跟踪训练】 1.已知△ABC的面积为，且b＝2，c＝，则A的大小为（　　） A.60°或120° B.60° C.120° D.30°或150° 解析：A　由S△ABC＝bcsin A，得＝×2××sin A，解得sin A＝.因为A∈（0°，180°），所以A＝60°或120°.故选A. 2.在△ABC中，点D在BC边上，且BD＝2，DC＝1，B＝60°，∠ADC＝150°，求△ABC的面积. 解：在△ABD中，∠BAD＝150°－60°＝90°， ∴AB＝BD×cos 60°＝2cos 60°＝1，BC＝BD＋DC＝3， ∴S△ABC＝AB×BC×sin B＝×1×3×sin 60°＝. 1.已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，则a∶b∶c＝（　　） A.3∶2∶1 B.∶2∶1 C.∶∶1 D.2∶∶1 解析：D　∵A∶B∶C＝3∶2∶1，A＋B＋C＝180°，∴A＝90°，B＝60°，C＝30°，∴a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝1∶∶＝2∶∶1. 2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝8，A＝，则△ABC外接圆的半径为（　　） A.4 B.8 C.8 D. 解析：A　设R为外接圆的半径，由正弦定理可知2R＝＝＝＝8，所以R＝4. 3.在△ABC中，AB＝，AC＝1，△ABC的面积为，则A＝90°. 解析：因为S△ABC＝·AB·AC·sin A＝，即××1×sin A＝，所以sin A＝1，由于A∈（0°，180°），所以A＝90°. 4.在△ABC中，a＝1，b＝，A＝30°，则边c的长为1或2. 解析：由＝，得sin B＝＝. ∵a＜b，∴B＞A＝30°，∴B＝60°或B＝120°. ①当B＝60°时，C＝180°－60°－30°＝90°. 此时，c＝ ＝＝2. ②当B＝120°时，C＝180°－120°－30°＝30°. 此时，c＝a＝1.综上，c＝1或c＝2. 1.在△ABC中，若＝，则B的值为（　　） A.30° B.45° C.60° D.90° 解析：B　根据正弦定理知＝，结合已知条件可得sin B＝cos B，又0°＜B＜180°，所以B＝45°. 2.在△ABC中，已知a＝，b＝，A＝60°，则B的值为（　　） A.45°或135° B.45° C.135° D.30°或150° 解析：B　∵＝，∴＝，∴sin B＝，又0°＜B＜180°，且b＜a，∴B＜A，则B的值为45°. 3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin B＝，A＝120°，且b＝2，则△ABC的面积为（　　） A. B.2 C.3 D.4 解析：A　∵sin B＝，A＝120°，∴B＝30°，∴C＝30°，又∵b＝2，∴c＝b＝2.∴S△ABC＝bcsin A＝×2×2×＝. 4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，ccos B＝cos C，则C＝（　　） A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析：B　由ccos B＝（2a－b）cos C得sin Ccos B＝（2sin A－sin B）cos C＝2sin Acos C－sin B·cos C，则sin Ccos B＋sin Bcos C＝2sin Acos C，所以sin（B＋C）＝2sin Acos C，即sin A＝2sin Acos C.因为A，C为三角形内角，所以sin A＞0，0＜C＜π，则cos C＝，所以C＝. 5.已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝，A＝75°，B＝45°，则△ABC的外接圆的面积为（　　） A. B.π C.2π D.4π 解析：B　在△ABC中，A＝75°，B＝45°，∴C＝180°－A－B＝60°.设△ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理的推广，可得2R＝＝，解得R＝1，∴△ABC的外接圆的面积S＝πR2＝π，故选B. 6.〔多选〕在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝，a＝2，c＝2，则角C的大小是（　　） A. B. C. D. 解析：BD　由正弦定理可得＝，∴sin C＝＝，而a＜c，∴A＜C，∴＜C＜，故C＝或.故选B、D. 7.在△ABC中，若A＝105°，C＝30°，b＝1，则c＝. 解析：由题意，知B＝180°－105°－30°＝45°.由正弦定理，得c＝＝＝. 8.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝2，A＋C＝3B，则角A的大小为30°. 解析：∵A＋C＝3B且A＋C＋B＝180°，∴B＝45°，由正弦定理＝，得sin A＝＝.∵0°＜A＜180°，∴A＝30°或150°.当A＝150°时，A＋B＝195°＞180°，与三角形内角和为180°矛盾，舍去，∴A＝30°. 9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，又知a＝1，A＝60°，c＝，则△ABC的面积为. 解析：由正弦定理得＝，即＝，解得sin C＝.又因为c＜a，所以C＜A，且0°＜C＜180°，所以C＝30°，故B＝90°，所以S＝ac＝×1×＝. 10.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且b＝6，a＝2，A＝30°，求ac的值. 解：由正弦定理＝得， sin B＝＝＝. 又b＝6＞a＝2，故B＞A， ∴B＝60°或B＝120°. （1）当B＝60°时， C＝180°－A－B＝180°－30°－60°＝90°. 在Rt△ABC中，C＝90°，a＝2，b＝6，c＝4， ∴ac＝2×4＝24. （2）当B＝120°时， C＝180°－A－B＝180°－30°－120°＝30°， ∴A＝C，则有a＝c＝2. ∴ac＝2×2＝12. 11.〔多选〕在△ABC中，若B＝，角B的平分线BD交AC于D，且BD＝BC＝2，则下列说法正确的是（　　） A.AB的值是＋1 B.△ABC的外接圆半径是2 C.△ABC的面积是 D.＝ 解析：ACD　因为BD为∠ABC的平分线，B＝，所以∠ABD＝∠CBD＝.因为BD＝BC＝2，则C＝∠BDC＝，则A＝.因为sin C＝sin＝sin（ ＋）＝sincos＋cossin＝×＋×＝，由正弦定理得＝＝＝2，所以AB＝2×sin＝2×＝＋1，S△ABC＝AB·BCsin∠ABC＝×（1＋）×2×＝，故A、C正确；若BD＝BC＝2，A＝，由正弦定理可知，△ABC的外接圆直径为2R＝＝＝2，所以△ABC的外接圆半径为，故B错误；若BD＝BC＝2，由正弦定理得＝，＝，因为∠ADB与∠BDC互补，所以sin∠ADB＝sin（π－∠ADB）＝sin∠BDC，可得＝＝，故D正确. 12.已知△ABC中，AB＝，BC＝1，sin C＝cos C，则sin A＝，△ABC的面积为. 解析：由sin C＝cos C，得tan C＝，所以C＝. 根据正弦定理可得＝，解得sin A＝. 因为AB＞BC，所以A＜C，所以A＝. 所以B＝，所以△ABC为直角三角形. 所以S△ABC＝××1＝. 13.在△ABC中，AB＝6，BC＝5. （1）若C＝2A，求sin A的值； （2）若△ABC为锐角三角形，cos A＝，求△ABC的面积. 解：（1）因为C＝2A，所以sin C＝sin 2A＝2sin Acos A， 所以cos A＝，在△ABC中，由正弦定理得＝，而AB＝6，BC＝5，所以cos A＝＝.因为A∈（0，π），所以sin A＝＝＝. （2）在△ABC中，因为cos A＝，所以sin A＝＝＝. 由正弦定理得＝，所以sin C＝sin A＝×＝. 因为△ABC为锐角三角形，所以cos C＝＝＝， 所以sin B＝sin[π－（A＋C）]＝sin（A＋C）＝sin Acos C＋cos Asin C ＝×＋×＝， 所以△ABC的面积S△ABC＝×AB×BC×sin B＝×6×5×＝. 14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积S△ABC＝·＝，sin B＝cos Asin C，则边长c为（　　） A.1 B. C. D.2 解析：D　因为S△ABC＝·＝cbcos A＝，又S△ABC＝cbsin A，所以cbcos A＝cbsin A，即tan A＝.因为A为三角形内角，所以A＝30°，又cbcos A＝，所以bc＝2.由sin B＝cos Asin C得sin（A＋C）＝cos Asin C，即sin Acos C＋cos Asin C＝cos Asin C，所以sin A·cos C＝0，即cos C＝0，所以C＝90°，因此B＝60°，故sin B＝＝，即b＝c.因为bc＝c2＝2，所以c＝2. 15.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知A＝，b2－a2＝c2. （1）求tan C的值； （2）若△ABC的面积为3，求b的值. 解：（1）由b2－a2＝c2，A＝及正弦定理得sin2B－＝sin2C，∴－cos 2B＝sin2C. 又由A＝，得B＋C＝，2B＝π－2C， ∴－cos 2B＝sin 2C＝2sin Ccos C＝sin2C. 又∵sin C≠0，∴tan C＝2. （2）由tan C＝2，C∈（0，π），得sin C＝，cos C＝. ∵sin B＝sin（A＋C）＝sin，∴sin B＝. 由正弦定理，得c＝. 又A＝，bcsin A＝3，∴bc＝6，∴b＝3. 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $