9.1.1 第1课时 正弦定理(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

9.1.1　正弦定理

课标要求

第一课时　正弦定理

　　关于正弦定理的发现历史，一般认为是中世纪阿拉伯数学家、天文学家阿布瓦法（940～998）提出并证明了球面三角形的正弦定理，而平面三角形的正弦定理的证明最先是纳绥尔丁-图西（1201～1274）给出的.我国清代数学家梅文鼎（1633～1721）在他的著作《平三角举要》中也给出了证明，而且还给出了正弦定理的完整形式.

【问题】　三角形中的边与其所对的角的正弦值之间具有什么关系？

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　                      　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　                     　　　　

知识点一　三角形面积公式

1.S△ABC＝　bcsin A　＝　acsin B　＝　absin C　，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的　一半　.

2.S△ABC＝ah，其中a为△ABC的一边长，而h为该边上的高的长.

1.在△ABC中，A＝45°，AB＝1，AC＝2，则S△ABC＝（　　）

A. B.

C. D.2

解析：B　S△ABC＝AB·ACsin A＝×1×2sin 45°＝.

2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则c＝（　　）

A.4 B.5

C. D.5

解析：A　∵a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，∴×1×csin 45°＝2，解得c＝4.

知识点二　正弦定理

1.正弦定理

　　提醒：△ABC的三边及三内角与它的外接圆半径R之间的关系：①＝＝＝2R；②a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；③sin A＝，sin B＝，sin C＝.

2.解三角形

（1）习惯上，我们把三角形的　3个角　与　3条边　都称为三角形的元素；

（2）已知三角形的若干元素求　其他元素　一般称为解三角形.

【想一想】

1.利用正弦定理解三角形需要哪些条件？

提示：需要两角和一边或两边和其中一边的对角.

2.三角形的边角中有哪些不等关系？

提示：（1）大角对大边：若A＞B＞C，可得a＞b＞c，则sin A＞sin B＞sin C.

（2）大边对大角：若sin A＞sin B＞sin C，可得a＞b＞c，则A＞B＞C.

（3）两边之和大于第三边，即a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b.

（4）两边之差小于第三边，即a－b＜c，b－c＜a，c－a＜b.

1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）

（1）三角形面积公式S＝absin C对任意三角形都适用.（　√　）

（2）正弦定理只适用于锐角三角形.（　×　）

2.在△ABC中，一定成立的等式是（　　）

A.asin A＝bsin B B.acos A＝bcos B

C.asin B＝bsin A D.acos B＝bcos A

解析：C　由正弦定理＝，得asin B＝bsin A，故选C.

3.在△ABC中，已知BC＝，sin C＝2sin A，则AB＝2.

解析：由正弦定理，得AB＝·BC＝2BC＝2.

4.在△ABC中，a＝，b＝，B＝，则A＝或.

解析：由正弦定理，得sin A＝＝＝，又A∈（0，π），a＞b，∴A＞B，∴A＝或.

题型一｜已知两角及一边解三角形

【例1】　（1）在△ABC中，已知a＝18，B＝60°，C＝75°，求b的值；

解：根据三角形内角和定理，得

A＝180°－（B＋C）＝180°－（60°＋75°）＝45°.

根据正弦定理，得b＝＝＝9.

（2）在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b.

解：法一　∵A＝45°，C＝30°，∴B＝180°－（A＋C）＝105°.

由＝得a＝＝＝10.

∵sin 105°＝sin 75°＝sin（30°＋45°）＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝，

∴b＝＝20×＝5＋5.

法二　设△ABC外接圆半径为R，则2R＝＝＝20.

易知B＝180°－（A＋C）＝105°，∴a＝2Rsin A＝20×sin 45°＝10，