11.1.6 祖暅原理与几何体的体积-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册教用课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦祖暅原理及柱、锥、台、球的体积公式，以正八面体钻石体积问题导入，衔接几何体结构知识，通过新知初探、自我诊断等搭建学习支架，引导学生从原理理解到公式应用逐步深入。 其亮点在于融合数学抽象、直观想象与数学运算核心素养，情境导入激发探究欲，例题解析用分割、补形等方法培养空间思维，如组合体体积计算。分层作业和通性通法总结，助力学生提升运算能力，也为教师提供系统教学资源。

11.1.6　祖暅原理与几何体的体积 1 1.理解祖暅原理的内容（数学抽象、直观想象）. 2.了解柱、锥、台体的体积公式的推导，并会利用它们求有关几何体的体积（数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 目录 课时作业 03 3 01 PART 基础落实 目 录 金刚石是碳的结晶体，是目前自然界中存在的最硬物质，其形状除了具有规则的正八面体几何外形，还有六面体、十二面体等外形的晶体.金刚石经过切割、打磨等工序就能加工成五光十色，璀璨夺目的钻石.如图就是一块正八面体的钻石. 【问题】　如果已知该钻石的棱长，你能求出它的体积吗？ 　 　　　　　　 　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　　 　 数学·必修第四册（B版） 目 录 知识点一　祖暅原理 1. 内容：幂势既同，则积不容异. 2. 含义：夹在 的两个几何体，如果被平行于这两个平 面的 所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体 积一定相等. 3. 应用： 的两个柱体或锥体的体积相等. 两个平行平面间　 任意平面　 等底面积、等高　 数学·必修第四册（B版） 目 录 知识点二　柱、锥、台、球的体积公式 名称 体积（V） 柱 体 棱柱 V＝Sh 圆柱 V＝πr2h 锥 体 棱锥 V＝ Sh 圆锥 V＝ πr2h 数学·必修第四册（B版） 目 录 名称 体积（V） 台 体 棱台 V＝ h（S1＋ ＋S2）（其中S1，S2分别表示上、下底面的面积，h表示高） 圆台 V＝ πh（ ＋r1r2＋ ）（其中r1和r2分别表示上、下底面的半径，h表示高） 球 V＝ πR3（R表示球的半径） 数学·必修第四册（B版） 目 录 　　提醒：对于柱体、锥体、台体的体积公式的三点认识：①等底、等高 的两个柱体的体积相同；②等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可 以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍；③柱 体、锥体、台体的体积公式之间的关系. V＝Sh V＝ （S'＋ ＋S）h V＝ Sh. 数学·必修第四册（B版） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）锥体的体积等于底面面积与高之积. （　×　） （2）台体的体积可转化为两个锥体的体积之差. （　√　） （3）两个球的半径之比为1∶3，则其体积之比为1∶9. （　×　） （4）体积相等的棱柱与圆柱，其表面积也相等. （　×　） × √ × × 数学·必修第四册（B版） 目 录 2. 直径为1的球的体积是（　　） A. 1 B. C. D. π √ 解析：　R＝ ，故V＝ πR3＝ ×π× ＝ . 3. 已知正四棱锥的底面边长为2，高为3，则它的体积为（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 12 解析：　正四棱锥的底面积为2×2＝4，则体积为 ×4×3＝4. √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 4. 若圆柱的侧面展开图是边长为4 cm的正方形，则圆柱的体积 为 cm3. 解析：设圆柱的底面半径为r，由题意可知2πr＝4，所以r＝ cm.故圆柱 的体积V＝π ×4＝ （cm3）. ​ 数学·必修第四册（B版） 目 录 02 PART 典例研析 目 录 题型一｜柱体的体积 【例1】　如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6 cm，高为3 cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm，高为2 cm，现从中间挖去一个直径为2 cm的圆柱，求此几何体的体积. 解：V六棱柱＝ ×42×6×2＝48 （cm3）， V圆柱＝π×32×3＝27π（cm3）， V挖去圆柱＝π×12×（3＋2）＝5π（cm3）， ∴此几何体的体积V＝V六棱柱＋V圆柱－V挖去圆柱＝（48 ＋22π）（cm3）. 数学·必修第四册（B版） 目 录 通性通法 　　求解柱体体积问题的关键是能够应用棱柱或圆柱的定义确定底面和 高.棱柱的高是两个平行底面间的距离，其中一个平面上的任一点到另一 个平面的距离都相等，都是高；圆柱的高是其母线长.具体问题中要能准 确应用“底面”和“高”的定义去求解相关元素. 数学·必修第四册（B版） 目 录 【跟踪训练】 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为棱AA1的中点，若截面BC1D是面 积为6的直角三角形，则此正三棱柱的体积为 ⁠. 8 数学·必修第四册（B版） 目 录 解析：设AC＝a，CC1＝b，由题意易知△BC1D为等腰直角三角形，则 ×2＝a2＋b2，解得b2＝2a2，又△BC1D是面积为6的直角三角 形，则 ＝ × a2＝6，所以a2＝8，故此正三棱柱的体积为 a2×b＝ ×8× ＝8 . 数学·必修第四册（B版） 目 录 题型二｜锥体的体积 【例2】　（1）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为 线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1-EDF的体积为 ⁠； ​ 解析：∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，∴ ＝ ，点F到面D1ED的距离为1，∴ ＝ ＝ × ×1＝ . 数学·必修第四册（B版） 目 录 （2）圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为2π cm，半径为 cm，则该 圆锥的体积为 cm3. 解析：由题意知圆锥的底面周长为2π cm，母线长为 cm，则圆锥的底面 半径为1 cm，高为1 cm，则圆锥的体积V＝ ×π×12×1＝ （cm3）. ​ 数学·必修第四册（B版） 目 录 通性通法 常见的求几何体体积的方法 （1）公式法：直接代入公式求解； （2）等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积 和高都易求的形式即可； （3）分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积； （4）补形法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱 补成四棱柱等. 数学·必修第四册（B版） 目 录 【跟踪训练】 一个内角为30°且斜边长为2的直角三角形，绕斜边旋转一周所得几何体 的体积为（　　） A. B. C. D. √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 解析：　如图，在直角三角形ABC中，AB＝2，∠CAB ＝30°，则AC＝2 cos 30°＝ .将直角三角形ABC沿斜 边AB旋转一周，旋转形成的几何体为两个同底的圆锥，如 图所示， 有CO＝AC sin 30°＝ ，所以所求几何体的体积V＝ S圆 O·AB＝ π·OC2·AB＝ π×（ ）2×2＝ . 数学·必修第四册（B版） 目 录 题型三｜台体的体积 【例3】　已知正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面积为780 cm2.求正四棱台的体积. 解：如图所示，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，由题意 知A1B1＝10 cm，AB＝20 cm，取A1B1的中点E1，AB的 中点E，连接E1E，则E1E是等腰梯形ABB1A1的高.设 O1，O分别是上、下底面的中心，连接O1E1，OE， OO1，则四边形EOO1E1是直角梯形. 由题意知S侧＝4× ×（10＋20）×E1E＝780（cm2）， 数学·必修第四册（B版） 目 录 解得EE1＝13 cm. 在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝ A1B1＝5 cm， OE＝ AB＝10 cm， ∴O1O＝ ＝12 cm， ∴V正四棱台＝ ×12×（102＋202＋ ） ＝2 800（cm3）. 故正四棱台的体积为2 800 cm3. 数学·必修第四册（B版） 目 录 通性通法 　　求解台体的体积问题的关键是求出上、下底面的面积及高，求解相关 量时，应充分利用台体中的直角梯形、直角三角形.另外，台体的体积还 可以通过计算两个锥体的体积差得到. 数学·必修第四册（B版） 目 录 【跟踪训练】 已知圆台O1O2的上、下底面半径分别为r1，r2（r1＜r2），高为 ，母线 与下底面所成的角为 ，上底面上的动点和下底面上的动点距离的最大值 为 ，则圆台的体积为（　　） A. π B. π C. π D. π √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 解析：　设上、下底面的动点分别为P1，P2.过点P1作下底面的垂线， 垂足为P'1，如图所示， 有P1 ＝P'1 ＋（ ）2，由几何关系可知当P1， P2位于圆台轴截面上、下底边相对的顶点时，距离 最大.因此，由已知可得方程组 解得 则圆台的体积V＝ πh（ ＋ ＋r1r2）＝ π. 数学·必修第四册（B版） 目 录 题型四｜与球有关的体积问题 【例4】　（1）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且 AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O-ABC的体积为（　A　） A. B. C. D. A 数学·必修第四册（B版） 目 录 解析：如图所示，因为AC⊥BC，所以AB为截面圆O1的直径，且AB＝ .连接OO1，则OO1⊥面ABC，OO1＝ ＝ ＝ ， 所以三棱锥O-ABC的体积V＝ S△ABC×OO1＝ × ×1×1× ＝ . 数学·必修第四册（B版） 目 录 （2）在半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之 比为 ⁠. 解析：作正方体对角面的截面，如图所示，设半球的半径为R，正方体的 棱长为a，那么CC'＝a，OC＝ a.在Rt△C'CO中，由勾股定理，得CC'2 ＋OC2＝OC'2，即a2＋ ＝R2，∴R＝ a.从而V半球＝ πR3＝ π ＝ πa3，V正方体＝a3.因此V半球∶V正方体＝ πa3∶a3＝ π∶2. π∶2 数学·必修第四册（B版） 目 录 通性通法 球与几何体的切、接问题的解题思路 （1）球外接于几何体，则几何体的各顶点均在球面上.解题时要认真 分析图形，一般需依据球和几何体的对称性，明确接点的位置，根据 球心与几何体特殊点间的关系，确定相关的数量关系，并作出合适的 截面进行求解； （2）解决几何体的内切球问题，应先作出一个适当的截面（一般作出多 面体的对角面所在的截面），这个截面应包括几何体与球的主要元素，且 能反映出几何体与球的位置关系和数量关系. 数学·必修第四册（B版） 目 录 【跟踪训练】 1. 已知一圆柱的底面半径为2，体积为16π，若该圆柱的底面圆周都在球O 的表面上，则球O的表面积为（　　） A. 32π B. 40π C. 64π D. 80π 解析：由题意，圆柱的轴截面是球O的大圆的内接矩形，矩形的对角线是球的直径.设圆柱的高为h，球的半径为R，圆柱底面半径为r＝2，由π×22h＝16π得h＝4，所以2R＝ ＝ ＝4 ，R＝2 ，球O的表面积为S＝4πR2＝4π×（2 ）2＝32π. √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 2. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相 等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 ⁠. 解析：设球的半径为R，则V柱＝πR2·2R＝2πR3，V锥＝ πR2·2R＝ πR3，V球＝ πR3，故V柱∶V锥∶V球＝2πR3∶ πR3∶ πR3＝3∶1∶2. 3∶1∶2 数学·必修第四册（B版） 目 录 1. 若圆锥、圆柱的底面直径和它们的高都等于一个球的直径，则圆锥、圆 柱、球的体积之比为（　　） A. 1∶3∶4 B. 1∶3∶2 C. 1∶2∶4 D. 1∶4∶2 解析：　设球的半径为R，则V圆锥＝ πR2·2R＝ πR3，V圆柱＝πR2·2R＝ 2πR3，V球＝ πR3.所以V圆锥∶V圆柱∶V球＝ ∶2∶ ＝1∶3∶2. √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 2. 已知圆锥的轴截面为正三角形，该圆锥的侧面积数值与其体积数值相 等，则该圆锥的底面半径为（　　） A. B. 12π C. 2 D. 2 π 解析：　如图所示，因为轴截面△PAB是正三角形， 所以l＝2r，h＝ r，圆锥的侧面积等于πrl＝2πr2， 圆锥的体积等于 πr2h＝ πr3.由圆锥的侧面积数值与 其体积数值相等，得2πr2＝ πr3，得r＝2 . √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 3. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5， CD＝2 ，AD＝2，求四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周后得到的几 何体的体积. 数学·必修第四册（B版） 目 录 解：如图，过C作CE垂直于AD，交AD的延长线于E， 则所求几何体的体积可看成是由梯形ABCE绕AE所在直 线旋转一周所得的圆台的体积，减去△EDC绕DE所在直 线旋转一周所得的圆锥的体积. 由题意可得CD＝2 ，AD＝2，CE＝ED＝2，AB＝5，AE＝4，所以所求几何体的体积V＝V圆台－V圆锥＝ π×（52＋5×2＋22）×4－ π×22×2＝ π. 数学·必修第四册（B版） 目 录 课时作业 03 PART 目 录 1. 已知高为3的三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形（如 图），则三棱锥B1-ABC的体积为（　　） A. B. C. D. 解析：V＝ Sh＝ × ×3＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 2. 一个圆柱形容器的底面半径为4 cm，高为8 cm，将该圆柱注满水，然后 将一个半径为4 cm的实心球缓慢放入该容器内，当球沉到容器底部时，留 在圆柱形容器内的水的体积为（　　） A. π cm3 B. π cm3 C. π cm3 D. π cm3 解析：根据题意可知留在容器内水的体积等于圆柱体积减去实心球的 体积，即V＝π×42×8－ π×43＝ π cm3.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 3. 一个球的外切正方体的表面积等于6 cm2，则此球的体积为（　　） A. π cm3 B. π cm3 C. π cm3 D. π cm3 解析：　由题意，球的直径与正方体棱长相等，设正方体棱长为a，则 6a2＝6，故a＝1 cm，所以V球＝ π× ＝ π（cm）3. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 4. 如图，三棱柱ABC-A'B'C'的体积为1，则四棱锥C-AA'B'B的体积是（　） A. B. C. D. 解析：　VC-AA'B'B＝VABC-A'B'C'－VC-A'B'C'＝S△ABC·AA'－ S△ABC·AA'＝ S△ABC·AA'＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 5. 《算数书》竹筒于上世纪八十年代在湖北省荆州市江陵县张家山出土， 其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六 成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似 公式V≈ L2h，它实际是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近 似公式V≈ L2h中将圆锥体积公式中的π近似取为（　　） A. B. √ C. D. 解析：　设圆锥的底面半径为r，则圆锥的底面周长L＝2πr，所以r＝ ，所以V＝ πr2h＝ π× ＝ .若 ≈ L2h，则π＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 6. 〔多选〕已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是 边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则（　　） A. 三棱锥S-ABC的体积为 B. 三棱锥S-ABC的体积为 C. 三棱锥O-ABC的体积为 D. 三棱锥O-ABC的体积为 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 解析：　∵三棱锥S-ABC与三棱锥O-ABC的底面 都是△ABC，O是SC的中点，∴三棱锥S-ABC的高是 三棱锥O-ABC高的2倍，∴三棱锥S-ABC的体积也是 三棱锥O-ABC的体积的2倍.在三棱锥O-ABC中，其 棱长都为1，如图所示，∴S△ABC＝ ，高OD＝ ＝ ＝ ，∴VO-ABC＝ ×S△ABC×OD＝ × × ＝ ，∴VS-ABC＝2VO-ABC＝2× ＝ ，故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 7. 已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝ ⁠. 解析：由 πr2×4＝4π，解得r＝ ，即底面半径为 . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 8. 如图，五面体ABC-DEF中，AD∥BE∥CF，且两两之间距离为1.AD ＝1，BE＝2，CF＝3，则该五面体的体积为 ⁠. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 解析：如图，用一个完全相同的五面体HIJ-LMN（顶点与 五面体ABC-DEF一一对应）与该五面体组合形成的新组合 体为一个三棱柱，该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截 面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为1＋3＝2＋2＝3＋1 ＝4，故VABC-DEF＝ VABC-HIJ＝ × ×1×1× ×4＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 9. 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E是BB1的 中点，则三棱锥A-C1D1E的体积为 ⁠. ​ 解析：连接BC1（图略），因为AB∥C1D1且AB＝C1D1，所以四边形ABC1D1为平行四边形，故 ＝ .所以 ＝ ＝ ＝ ＝ × ×AB＝ ×AB× ×C1B1×EB＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 10. 如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇 淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由. 解：不会溢出杯子，理由如下： 因为V半球＝ × πR3＝ × π×43＝ π（cm3）， V圆锥＝ πr2h＝ π×42×10＝ π（cm3）， 所以V半球＜V圆锥，所以冰淇淋融化了，不会溢出杯子. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 11. 已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，AA1＝ 2，则直三棱柱ABC-A1B1C1外接球的表面积为（　　） A. 36π B. 18π C. 9π D. 3π √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 解析：　取AC，A1C1的中点为D，D1，连接BD，D1D，取D1D的中 点O，由于AB⊥BC，且三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，故O为外接球 的球心，AC＝ ＝ ，R＝OA＝ ＝ ，故外接球 的表面积为4πR2＝9π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 12. 〔多选〕如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB＝BC＝AD ＝ CD，CD＝4，则（　　） A. 该圆台的高为1 B. 该圆台轴截面面积为3 C. 该圆台的体积为 D. 一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点， 所经过的最短路程为5 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 解析：　对于A，在梯形ABCD中，O1O2即代表圆台的高，利用勾股定理计算可得O1O2＝ ＝ ＝ ，所以A错误；对于B，轴截面梯形ABCD的面积为S＝ （AB＋CD）·O1O2＝ （2＋4）× ＝3 ，因此B正确；对于C，易知下底面圆的面积为π×22＝4π，上底面圆的面积为π×12＝π，所以该圆台的体积为V＝ （4π＋π＋ ）× ＝ ，可得C正确；对于D，将圆台 侧面沿直线BC处剪开，其侧面展开图如图所示， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 易知圆弧 ， 的长度分别为2π，4π，设扇形圆心为O，圆心角为θ，OB＝r，由弧长公式可知θr＝2π，θ（r＋2）＝4π，解得θ＝π，r＝2，所以∠AOB＝90°.设E为AD的中点，连接EC，当小虫从点C沿着EC爬行到AD的中点，所经过路程最短，易知OE＝3，OC＝4，且OE⊥OC，由勾股定理可知EC＝ ＝5，可知D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 13. 如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知 半球的直径是6 cm，圆柱筒高为2 cm. （1）这种“浮球”的体积是多少立方厘米（结果精确到0.1）？ 解：因为半球的直径是6 cm，可得半径R＝3 cm， 所以两个半球的体积之和为V球＝ πR3＝ π·27＝36π （cm3）. 又圆柱筒的体积为V圆柱＝πR2·h＝π×9×2＝18π（cm3）. 所以这种“浮球”的体积是V＝V球＋V圆柱＝36π＋18π＝ 54π≈169.6（cm3）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 （2）要在2 500个这样的“浮球”表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶 100克，那么共需胶多少克？ 解：根据题意，上下两个半球的表面积是S球表＝4πR2＝4×π×9＝36π（cm2）. 又“浮球”的圆柱筒的侧面积为S圆柱侧＝2πRh＝2×π×3×2＝12π（cm2）， 所以1个“浮球”的表面积为S＝ ＝ π（m2）. 因此，2 500个这样的“浮球”表面积的和为2 500S＝2 500× π＝12 π（m2）. 因为每平方米需要涂胶100克，所以共需要胶的质量为100×12π＝1 200π（克）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 14. 正四棱台侧棱长为5 ，上、下底面边长分别为3 和4 ，所有顶 点在同一球面上，则正四棱台的外接球表面积是（　　） A. 25π B. 100π C. D. 500π √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 解析：　如图所示，AB＝AD＝BC＝CD＝3 ， GH＝HE＝EF＝FG＝4 .设O为外接球球心，外 接球半径为R，M，N分别为上、下底面的中心，易 知MA＝3，NE＝4，又侧棱长为5 ，则MN＝ ＝7.又易知OA＝OE＝R，设ON＝x，则OA2＝（7－x）2＋32，OE2＝x2＋42，故（7－x）2＋32＝x2＋42，解得x＝3，故R2＝32＋42＝25，所以球的表面积为4πR2＝100π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 15. 如图，“中国天眼”是我国具有自主知识产权、 世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜，其反 射面的形状为球冠，球冠是球面被平面所截后剩下 的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体 直径被截得的部分为球冠的高，设球冠底的半径为r，球冠的高为h， 球冠底面圆周长为C. （1）求球冠所在球的半径R（结果用h、r表示）； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 解：如图，点O是球冠所在球的球心，点O1是球冠底面圆 圆心，点A是球冠底面圆周上一点，线段O1B是球冠的高， 依题意，OB垂直于球冠底面，显然O1B＝h，OO1＝R－ h，O1A＝r， 在Rt△OO1A中，OA2＝O ＋O1A2，即R2＝（R－h）2＋ r2，化简整理得R＝ ，所以球冠所在球的半径R＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 （2）已知球冠表面积公式为S＝2πRh，当S＝65 000π，C＝500π时，求 的值及球冠所在球的表面积. 解：因球冠底面圆周长C＝500π，则r＝ ＝250， 又球冠表面积公式为S＝2πRh，且S＝65 000π，则h＝ ＝ ， 由（1）知R＝ ， 即65 000＝ ＋2502，解得R＝650， 于是得 ＝ ＝ ，球O的表面积为4πR2＝4π×6502＝1 690 000π， 所以 的值是 ，球冠所在球的表面积是1 690 000π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 $