章末检测（十） 复数-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册教用课件（人教B版）

该高中数学复数单元复习课件系统梳理了复数的概念、运算、几何意义及应用，通过基础题到综合题的梯度设计，将复数的加减乘除运算、模与共轭复数性质、复平面表示等核心内容串联，帮助学生构建完整的复数知识网络。 其亮点在于采用“概念辨析-运算训练-几何应用”的复习路径，如通过纯虚数判定、复平面内点的轨迹等问题，培养学生的数学抽象和几何直观能力。分层设计的题型让不同水平学生巩固知识，教师可通过检测精准把握学情，提升复习效率。

章末检测（十）　复数 （时间：120分钟　满分：150分） 1 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝（　　） A. 8i B. 6 C. 6＋8i D. 6－8i 解析：　z1＋z2＝（3＋4i）＋（3－4i）＝（3＋3）＋（4－4）i＝6. 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 数学·必修第四册（B版） 2. 若复数z＝（1－i）（2＋ai）（a∈R）为纯虚数，则a的值为 （　　） A. －2 B. 1 C. D. 2 解析：　由题知，z＝a＋2＋（a－2）i，又z为纯虚数，∴2＋a＝0， ∴a＝－2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） 3. 已知复数z与复平面内的点（2，2）对应，则 ＝（　　） A. － i B. ＋ i C. － ＋ i D. ＋ i 解析：　由题设z＝2＋2i，则 ＝ ＝ ＝ ＝－ ＋ i. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） 4. 已知i为虚数单位，复数z满足z（1＋i）＝3i，则｜z｜＝（　　） A. B. C. D. 2 解析：　∵z（1＋i）＝3i，∴z＝ ＝ ＝ ＝ ＋ ， ∴｜z｜＝ ＝ ，故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） 5. 已知复数z满足（1＋i）z＝｜ －i｜，则 ＝（　　） A. 1－i B. 1＋i C. 2－2i D. 2＋2i 解析：　因为｜ －i｜＝ ＝2，所以（1＋i）z＝ 2，则z＝ ＝ ＝1－i，则 ＝1＋i.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） 6. 已知 ＝1－ni，其中m，n是实数，i是虚数单位，则m＋ni＝ （　　） A. 1＋2i B. 2－2i C. 2＋i D. 2－i 解析：　 ＝ ＝ － i＝1－ni， 所以 解得 故m＋ni＝2＋i. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） 7. 如果复数z满足｜z＋i｜＋｜z－i｜＝2，那么｜z＋1＋i｜的最小值是 （　　） A. 1 B. C. 2 D. 解析：　∵｜z＋i｜＋｜z－i｜＝2，∴点Z在以（0，1）和（0，－1） 为端点的线段上，｜z＋1＋i｜表示点Z到（－1，－1）的距离.由数形结 合（图略）知最小值为1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） 8. 已知z∈C，且｜z｜＝1，则复数 （　　） A. 是实数 B. 是虚数但不一定是纯虚数 C. 是纯虚数 D. 可能是实数也可能是虚数 解析：　法一　∵｜z｜＝1，∴设z＝a＋bi（a，b∈R，且a2＋b2＝ 1），∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝2a∈R. 法二　∵｜z｜＝1，∴z ＝1，∴ ＝ ＝z＋ ∈R. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的 四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部 分分，有选错的得0分） 9. 已知复数z＝－1＋ i（i为虚数单位）， 为z的共轭复数，若复数ω ＝ ，则下列结论正确的是（　　） A. ω在复平面内对应的点位于第二象限 B. ｜ω｜＝1 C. ω的实部为－ D. ω的虚部为 i 解析：　∵z＝－1＋ i，∴ ＝－1－ i，∴ω＝ ＝ ＝－ ＋ i.故A、B、C三个选项正确. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） 10. 对于两个复数α＝－ ＋ i，β＝－ － i，下列四个结论中正确的是 （　　） A. αβ＝1 B. ＝1 C. ＝1 D. α3＋β3＝2 解析：　αβ＝ ＝ ＋ ＝1， ≠1， ＝ ＝1，α3＋β3＝ ＋ ＝1＋1＝2，故选A、C、D. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） 11. 已知复数z1，z2，z3均为虚数，且z3＝ ，则（　　） A. z1z2z3＜0 B. ｜z3｜＝｜z1｜｜z2｜ C. － 为纯虚数 D. 存在某个实系数二次方程，它的两个根为z1z2，z1z2z3 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） 解析：　设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R，b≠0，d≠0），∴z1z2＝（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i，∴z3＝ ＝（ac－bd）－（ad＋bc）i（ad＋bc≠0）.对于A，z1z2z3＝（ac－bd）2＋（ad＋bc）2≥0，故A错误；对于B，｜z3｜＝ ＝ ，｜z1｜｜z2｜＝ · ＝ ，∴｜z3｜ ＝｜z1｜｜z2｜，故B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） 对于C， ＝ ＝ ， ＝ ，∴ － ＝ （ad＋ bc≠0）为纯虚数，故C正确；对于D，∵z1z2＝（ac－bd）＋（ad＋bc） i（ad＋bc≠0）为虚数，z1z2z3＝（ac－bd）2＋（ad＋bc）2为实数，又 对于实系数二次方程，要么Δ≥0，要么Δ＜0，不可能既有实数根，又有虚 数根，故D错误.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中 横线上） 12. 若复数z满足z（1＋i）＝2，则z的实部是 ⁠. 解析：z＝ ＝ ＝1－i，故z的实部是1. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） 13. 在复平面内，已知复数z＝x－ i所对应的点都在单位圆内，则实数x 的取值范围是 ⁠. 解析：∵z对应的点Z 都在单位圆内，∴｜ ｜＜1，即 ＜1，∴x2＋ ＜1，∴x2＜ ，∴－ ＜x＜ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） 14. 已知复数z1＝a（a－3i），z2＝－a＋（a2＋2）i，a∈Z，且｜z1＋ z2｜＝2 ，则a＝ ⁠. 解析：复数z1＝a（a－3i）＝a2－3ai，z2＝－a＋（a2＋2）i，a∈Z， 可得z1＋z2＝a2－a＋（a2－3a＋2）i，a∈Z，则｜z1＋z2｜＝ ＝2 ，a∈Z，整理得（a－1）2（a2 －2a＋2）＝20，即（a－1）2·[（a－1）2＋1]＝20.因为a∈Z，所以 （a－1）2∈Z，（a－1）2＋1∈Z且（a－1）2＞0，（a－1）2＋1＞0.又 因为20＝4×5＝22×（22＋1），故（a－1）2＝4，解得a＝3或a＝－1. －1或3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤） 15. （本小题满分13分）计算下列各式： （1） ＋ ； 解： ＋ ＝ ＋ ＝ ＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） （2） ＋ . 解： ＋ ＝ ＋ ＝ · ＋ ＝i＋i＝2i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） 16. （本小题满分15分）在①z为实数；②z为虚数；③z为纯虚数，这三 个条件中任选一个，补充在下面问题中. 已知复数z＝（m2－m－2）＋（m2－1）i. （1）若 　　，求实数m的值； 解：选择①，当z为实数时，有m2－1＝0， 解得m＝－1或m＝1. 选择②，当z为虚数时，有m2－1≠0，解得m≠－1且m≠1. 选择③，当z为纯虚数时，有 解得 所以m＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） （2）当z在复平面内对应的点位于第三象限时，求m的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 解：因为z在复平面内对应的点位于第三象限， 所以 解得－1＜m＜1， 所以m的取值范围为（－1，1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） 17. （本小题满分15分）在复平面内A，B，C三点对应的复数分别为1，2 ＋i，－1＋2i. （1）求 ， ， 对应的复数； 解：∵A，B，C三点对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i.∴复平面 内A，B，C对应的点坐标分别为（1，0）（2，1），（－1，2），∴ ＝（2，1）－（1，0）＝（1，1）， ＝（－1，2）－（2，1）＝（－3，1）， ＝（－1，2）－（1，0）＝（－2，2）. ∴ ， ， 对应的复数分别为1＋i，－3＋i，－2＋2i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） （2）判断△ABC的形状； 解：∵｜ ｜＝ ，｜ ｜＝ ，｜ ｜＝2 ， ∴｜ ｜2＋｜ ｜2＝｜ ｜2，∴△ABC为直角三角形. （3）求△ABC的面积. 解：S△ABC＝ ｜ ｜｜ ｜＝ × ×2 ＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） 18. （本小题满分17分）已知复数z＝ ＋1＋i，i为虚数单位. （1）求 ； 解：z＝ ＋1＋i＝ ＋1＋i＝ ＋1＋i＝1－2i ＋1＋i＝2－i， 所以 ＝2＋i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） （2）若复数z是关于x的方程x2＋mx＋n＝0的一个根，求实数m，n的 值； 解：法一　因为复数z是关于x的方程x2＋mx＋n＝0的一个根， 所以（2－i）2＋m（2－i）＋n＝0， 可得4－4i＋i2＋2m－mi＋n＝0，即（3＋2m＋n）－（m＋4）i＝0， 所以 解得m＝－4，n＝5. 法二　若复数z是关于x的方程x2＋mx＋n＝0的一个根，则 是该方程的 另一个根， 由根与系数的关系得2＋i＋（2－i）＝－m，（2＋i）·（2－i）＝n， 解得m＝－4，n＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） （3）若 ＝r（ cos θ＋i sin θ），其中r＞0，θ∈[0，2π），求r， θ的值. 解： ＝ ＝ ＝ ＝ － i＝ （ － i）＝ （ cos ＋i sin ）， 所以r＝ ，θ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） 19. （本小题满分17分）已知z∈C，z1＝z＋2i，z2＝ . （1）若z1，z2都是实数，求复数z； 解：设复数z＝a＋bi（a，b∈R）. 则z1＝z＋2i＝a＋（b＋2）i，z2＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＋ i， ∵z1，z2都是实数，∴ 解得 ∴z＝4－2i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） （2）在（1）的条件下，若复数（z＋ai）2在复平面上对应的点在第四象 限，求实数a取值范围； 解：∵复数（z＋ai）2＝[4＋（a－2）i]2＝16－（a－2）2＋8（a－2）i＝12－a2＋4a＋8（a－2）i在复平面上对应的点在第四象限， ∴ 解得－2＜a＜2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） （3）若z1是纯虚数，且｜z1－z2｜＝ ，求｜z1＋z2｜. 解：∵z1是纯虚数，可设z＝mi（m∈R）， z1＝（m＋2）i（m＋2≠0）， z2＝ ＝ ＝ ＝－ ＋ i. ∵｜z1－z2｜＝ ，∴ ＝ ， ∴ ＝ ， 化为m2＋6m＋5＝0，解得m＝－1或－5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） 当m＝－1时，z1＝i，z2＝ － i， 则｜z1＋z2｜＝ ＝ ＝ . 当m＝－5时，z1＝－3i，z2＝1－2i， 则｜z1＋z2｜＝｜1－5i｜＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） $