10.3 复数的三角形式及其运算-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册教用课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦“复数的三角形式及其运算”，涵盖三角形式概念、代数与三角形式互化、乘除运算及几何意义。通过情境导入，以复数z=1+√3i在复平面的点与向量为起点，引导学生探究模r和辐角θ，搭建复数几何意义到三角形式的学习支架，衔接代数形式与三角形式的转化脉络。 其亮点在于以“数学抽象”和“数学运算”为核心，通过“通性通法”总结互化步骤与运算法则，结合例题解析（如向量旋转求复数）直观呈现几何意义。采用分层作业设计，帮助学生深化运算本质理解，教师可借助系统例题与诊断题提升教学效率，培养学生逻辑推理与直观想象能力。

10.3　复数的三角形式及其运算 1 1.通过复数的几何意义，了解复数的三角形式，了解复数的代数形式与三角形式之间的关系（数学抽象）. 2.了解复数乘、除运算的三角形式及其几何意义（数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 目录 课时作业 03 3 01 PART 基础落实 目 录 　　设复数z＝1＋ i在复平面内对应的点为Z. 【问题】　（1）写出点Z的坐标，并在图中描出点Z的位置，作出向量 ； 数学·必修第四册（B版） 目 录 （2）记r为向量 的模，θ是以x轴非负半轴为始边、射线OZ为终边的 一个角，求r的值，并写出θ的任意一个值，探讨r，θ与z＝1＋ i的实 部、虚部之间的关系. 　　　 　　　 　　　 　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　　 　 数学·必修第四册（B版） 目 录 知识点一　复数的三角形式 如果非零复数z＝a＋bi（a，b∈R）在复平面内对应 点Z（a，b），且r为向量 的模，θ是以x轴非负 半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，则r＝｜z｜＝ ，根据任意角余弦、正弦的定义可知 cos θ＝ ， sin θ＝ .那么 z＝a＋bi＝（r cos θ）＋（r sin θ）i＝ ⁠ 的右边 称为非零复数z＝a＋bi（a，b∈R）的 ⁠形式（对应地，a＋bi 称为复数的代数形式），其中θ称为z的 ⁠. r（ cos θ＋i sin θ） 三角　 辐角　 数学·必修第四册（B版） 目 录 在[0，2π）内的辐角称为z的辐角 ，记作 ⁠. 　　提醒：辐角和辐角主值的区别与联系：①区别：辐角θ是指以x轴的 非负半轴为始边，以复数z所对应的向量 所在射线（射线OZ）为终边 的角，显然辐角有无数个.而辐角主值是指在0≤θ＜2π范围内的辐角，因 而一个复数的辐角主值只有一个.②联系：θ＝2kπ＋arg z，k∈Z. 主值　 arg z　 数学·必修第四册（B版） 目 录 1. 复数z＝ cos ＋i sin 的辐角主值是（　　） A. B. C. － D. － 解析：　由辐角主值的定义，知复数z＝ cos ＋i sin 的辐角主值是 .故 选B. 2. 将复数4 化成代数形式，正确的是（　　） A. 4 B. －4 C. 4i D. －4i 解析：　4 ＝4×[0＋i（－1）]＝－4i.故选D. √ √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 知识点二　复数三角形式的乘除法 设z1＝r1（ cos θ1＋i sin θ1），z2＝r2（ cos θ2＋i sin θ2）， 则：（1）z1z2＝ ⁠， （2） ＝ 　 [ cos （θ1－θ2）＋i sin （θ1－θ2）]　， （3）[r（ cos θ＋i sin θ）]n＝rn[ cos （nθ）＋i sin （nθ）]. r1r2[ cos （θ1＋θ2）＋i sin （θ1＋θ2）]　 [ cos （θ1－θ2）＋i sin （θ1－θ2）]　 数学·必修第四册（B版） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）任意一个复数都有三角形式.（　√　） （2）复数的三角形式也可以进行四则运算. （　×　） （3）任何一个非零复数的辐角有无数多个，任意两个辐角相差2π的整数 倍.（　√　） （4）1的辐角主值为0.（　√　） （5）arg（z1z2）＝arg（z1）＋arg（z2）. （　×　） √　 × √　 √　 × 数学·必修第四册（B版） 目 录 2. × ＝（　　） A. 1 B. －1 C. i D. －i 解析：　 × ＝ cos ＋i sin ＝ cos ＋i sin ＝i.故选C. √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 3.4（ cos π＋i sin π）÷2 ＝（　　） A. 1＋ i B. 1－ i C. －1＋ i D. －1－ i 解析：　原式＝2 ＝2 ＝ 2 ＝－1＋ i. √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 02 PART 典例研析 目 录 题型一｜复数的代数形式与三角形式的互化 角度1　代数形式化为三角形式 【例1】　将以下复数表示为三角形式（辐角主值）： （1） －i； 解：因为r＝ ＝2， cos θ＝ ， sin θ＝－ ， 所以θ＝ π，于是 －i＝2 . 数学·必修第四册（B版） 目 录 （2）1＋i； 解：因为r＝ ＝ ， cos θ＝ ， sin θ＝ ， 所以θ＝ ，于是1＋i＝ . （3）5. 解：因为r＝ ＝5， cos θ＝1， sin θ＝0， 所以θ＝0，于是5＝5（ cos 0＋i sin 0）. 数学·必修第四册（B版） 目 录 通性通法 把复数的代数形式改写为三角形式的方法 （1）求出复数的模r＝ ； （2）求出复数的一个辐角θ， cos θ＝ ， sin θ＝ ，其中θ所在象限 与点（a，b）相同； （3）θ一般取为复数z的辐角主值； （4）将非零复数z＝a＋bi（a，b∈R）改写为z＝r（ cos θ＋i sin θ） 的形式. 数学·必修第四册（B版） 目 录 角度2　三角形式化为代数形式 【例2】　分别指出下列复数的模和辐角主值，并把这些复数表示成代数 形式： （1）4 ； 解：复数4 的模r＝4，辐角主值为θ＝ . 4 ＝4 cos ＋4i sin ＝4× ＋4× i ＝2 ＋2i. 数学·必修第四册（B版） 目 录 （2） （ cos 60°＋i sin 60°）； 解： （ cos 60°＋i sin 60°）的模r＝ ，辐角主值为θ＝60°. （ cos 60°＋i sin 60°）＝ × ＋ × i ＝ ＋ i. 数学·必修第四册（B版） 目 录 （3）2 . 解：2 ＝2 ＝2 . 所以复数的模r＝2，辐角主值为 π. 2 ＝2 cos π＋2i sin π ＝2× ＋2× i ＝1－ i. 数学·必修第四册（B版） 目 录 通性通法 　　复数的三角形式z＝r（ cos θ＋i sin θ）必须满足“模非负、余正 弦、＋相连、角统一、i跟 sin ”，否则就不是三角形式，只有化为三角形 式才能确定其模和辐角. 数学·必修第四册（B版） 目 录 【跟踪训练】 1. 复数z＝－3－ i的辐角主值为（　　） A. B. － C. D. 解析：　z＝－3－ i＝2 （ － － i）＝2 （ cos ＋i sin ）， 所以辐角主值为 . √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 2. 复数6（ cos ＋i sin ）的三角形式表示成代数形式为 　3 － ⁠. 解析：6（ cos ＋i sin ）＝6× ＋6×（ － ）i＝3 －3i. 3 － 3i 数学·必修第四册（B版） 目 录 题型二｜复数三角形式的乘除运算 【例3】　计算： （1）2 × ； 解：2 × ＝2 ＝－2 i. 数学·必修第四册（B版） 目 录 （2） . 解： ＝ ＝2 ＝1＋ i. 数学·必修第四册（B版） 目 录 通性通法 三角形式下复数的乘、除运算的关键点 （1）复数三角形式下的乘法法则：模数相乘，辐角相加； （2）复数三角形式下的乘方法则：模数乘方，辐角n倍； （3）复数三角形式下的除法法则：模数相除，辐角相减. 数学·必修第四册（B版） 目 录 【跟踪训练】 1. （ cos 60°－i sin 240°）×6（ cos 30°－i sin 210°）＝ ⁠. 解析： （ cos 60°－i sin 240°）×6（ cos 30－i sin 210°）＝ （ cos 60°＋i sin 60°）×6（ cos 30°＋i sin 30°）＝3[ cos （60°＋30°）＋i sin （60°＋30°）]＝3（ cos 90°＋i sin 90°）＝3i. 3i 数学·必修第四册（B版） 目 录 2. ＝ 　 － i　. 解析： ＝ ＝ [ cos （60°－120°）＋i sin （60°－120°）] ＝ [ cos （－60°）＋i sin （－60°）] ＝ ＝ － i. － i 数学·必修第四册（B版） 目 录 题型三｜复数三角形式乘、除运算的几何意义 【例4】　在复平面内，把复数3－ i对应的向量分别按逆时针和顺时针 方向旋转 ，求所得向量对应的复数. 解：因为3－ i＝2 ＝2 ， 所以2 × ＝2 数学·必修第四册（B版） 目 录 ＝2 ＝2 ＝3＋ i， 2 ×［ cos ＋i sin ］ ＝2 ＝2 ＝－2 i. 故把复数3－ i对应的向量按逆时针旋转 得到的复数为3＋ i，按顺时 针旋转 得到的复数为－2 i. 数学·必修第四册（B版） 目 录 通性通法 　　两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量 ， ， 然后把向量 绕点O按逆时针方向旋转角θ2（如果θ2＜0，就要把 绕点O按顺时针方向旋转角｜θ2｜），再把它的模变为原来的r2倍，得到 向量 ， 表示的复数就是积z1z2. 数学·必修第四册（B版） 目 录 【跟踪训练】 设复数z1，z2对应的向量为 ， ，O为坐标原点，且z1＝－1＋ i，若把 绕原点逆时针旋转 ，把 绕原点顺时针旋转 ，所得两 向量恰好重合，求复数z2. 解：依题意（－1＋ i）（ cos ＋i sin ）＝ ， ∴z2＝（－1＋ i）（ cos ＋i sin ）（ cos ＋i sin ） ＝2（ cos ＋i sin ）（ cos ＋i sin ）（ cos ＋i sin ） ＝2［ cos （ ＋ ＋ ）＋i sin （ ＋ ＋ ）］＝2（ cos ＋i sin ）＝－ ＋ i. 数学·必修第四册（B版） 目 录 1. 下列是复数的三角形式的是（　　） A. 2 B. 2 C. 2 D. －2 解析：　复数的三角形式为z＝r（ cos θ＋i sin θ）（r≥0），故选B. √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 2. 复数1－ i的辐角主值是（　　） A. π B. π C. π D. 解析：　因为1－ i＝2 ＝2 ，所以1－ i辐 角主值为 π. √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 3. 已知复数z＝－1＋ i，则它的共轭复数 的三角形式为（　　） A. 2（ cos －i sin ） B. －2（ cos ＋i sin ） C. 2（ cos ＋i sin ） D. 2（ cos ＋i sin ） 解析：　∵z＝－1＋ i，∴ ＝－1－ i，∴｜ ｜＝2， ＝2（ － － i）＝2（ cos ＋i sin ）. √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 4. （ cos 75°＋i sin 75°）（ cos 15°＋i sin 15°）＝ ⁠. 解析：（ cos 75°＋i sin 75°）（ cos 15°＋i sin 15°）＝ cos （75°＋ 15°）＋i sin （75°＋15°）＝ cos 90°＋i sin 90°＝i. i　 数学·必修第四册（B版） 目 录 5. 化简：2（ cos 300°＋i sin 300°）÷［ （ cos π＋i sin π）］. 解：2（ cos 300°＋i sin 300°）÷［ （ cos π＋i sin π）］ ＝2 ÷ ＝ ＝ （ cos π＋i sin π）＝－ ＋ i. 数学·必修第四册（B版） 目 录 课时作业 03 PART 目 录 1. 若a＜0，则a的三角形式为（　　） A. a（ cos 0＋i sin 0） B. a（ cos π＋i sin π） C. －a（ cos π＋i sin π） D. －a（ cos π－i sin π） 解析：　因为a＜0，所以辐角主值为π，故其三角形式为－a（ cos π＋i sin π）.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 2. 复数z＝1－i（i为虚数单位）的三角形式为（　　） A. z＝ （ sin 45°－i cos 45°） B. z＝ （ cos 45°－i sin 45°） C. z＝ [ cos （－45°）－i sin （－45°）] D. z＝ [ cos （－45°）＋i sin （－45°）] 解析：　依题意得r＝ ＝ ，复数z＝1－i对应的点在第 四象限，且 cos θ＝ ，因此arg z＝315°，结合选项知D正确，故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 3. 下列复数与复数z＝ 相等的是（　　） A. cos ＋i sin B. cos ＋i sin C. － － i D. －1＋ i 解析：　由题设，z＝ ＝ ＝－ ＋ i＝ cos ＋ i sin ，故A、C、D错误，B正确. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 4. ＝（　　） A. ＋ i B. － i C. ＋ i D. － i 解析：　 ＝ ＝ cos （0°－60°）＋i sin （0°－60°）＝ cos （－60°）＋i sin （－60°）＝ － i.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 5. 设3＋4i的辐角主值为θ，则（3＋4i）·i的辐角主值是（　　） A. ＋θ B. －θ C. θ－ D. －θ 解析：　（3＋4i）·i＝5（ cos θ＋i sin θ）· ＝ 5 ，因为3＋4i的辐角主值为θ，所以θ∈ ，则（3＋4i）·i的辐角主值是 ＋θ. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 6. 〔多选〕若复数 cos θ＋i sin θ和 sin θ＋i cos θ相等，则θ的值可能 为（　　） A. B. C. － D. － 解析：　因为 cos θ＋i sin θ＝ sin θ＋i cos θ，所以 cos θ＝ sinθ， 即tan θ＝1，所以θ＝ ＋kπ（k∈Z）.可知选A、B、D. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 7. 若｜z｜＝2，arg z＝ ，则复数z＝ 　1＋ i　. 解析：由题意知，z＝2 ＝1＋ i. 1＋ i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 8. 将复数1＋ i所对应的向量绕原点按逆时针方向旋转θ角，所得向量 对应的复数是－2i，则θ角的最小正值是 ⁠. 解析：∵z＝1＋ i＝2（ cos ＋i sin ），∴将复数1＋ i所对应的向 量绕原点按逆时针方向旋转θ角，所得向量对应的复数为z1＝2（ cos ＋i sin ）·（ cos θ＋i sin θ）＝2［ cos （ θ＋ ）＋i sin （ θ＋ ）］＝－ 2i，∴θ＋ ＝ ＋2kπ，k∈Z，当k＝0时，θ取得最小正值，∴θ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 9. 已知复数z满足 ＝1＋i，则复数z的辐角主值 是 ⁠. 75° 解析：由 ＝1＋i，可得 ＝ （ cos 45°＋i sin 45°），即 z＝ ， z＝ ， z＝ ，z ＝ （ cos 75°＋i sin 75°），所以复数z的辐角主值是75°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 10. 计算，并将结果用复数的代数形式表示： （1）（ cos ＋i sin ）2· （ cos ＋i sin ）； 解：（ cos ＋i sin ）2· （ cos ＋i sin ） ＝（ cos ＋i sin ）· （ cos ＋i sin ）＝ ［ cos （ ＋ ） ＋i sin （ ＋ ）］ ＝ （ cos ＋i sin ）＝ （ － － i）＝－ － i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 （2） . 解： ＝ ＝ （ cos ＋i sin ）·（ cos ＋i sin ） ＝ ［ cos （ ＋ ）＋i sin （ ＋ ）］ ＝ （ cos ＋i sin ）＝ （ － ＋ i）＝－ ＋ i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 11. 〔多选〕设复数z在复平面内对应的点为Z，任意复数z都可以表示为 三角形式r（ cos θ＋i sin θ），其中r为复数z的模，θ是以x轴的非负半 轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角（也被称为z的辐角）.利用复数 的三角形式可以进行复数的指数运算，法国数学家棣莫弗发现[r（ cos θ ＋i sin θ）]n＝rn[ cos （nθ）＋i sin （nθ）]（n∈N）.根据以上信 息，若复数z满足z5＝32，则z可能的取值为（　　） A. 2（ cos ＋i sin ） B. 2（ cos ＋i sin ） C. 2（ cos ＋i sin ） D. 2（ cos ＋i sin ） √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 解析：　设z＝r（ cos θ＋i sin θ），其中r＞0，则z5＝r5（ cos θ＋i sin θ）5＝r5（ cos 5θ＋i sin 5θ）＝32，故r5 cos 5θ＝32， sin 5θ＝ 0.∵r＞0，∴ cos 5θ＞0，故5θ＝2kπ，k∈Z，则 cos 5θ＝1，故r5＝ 32，则r＝2，故z＝2（ cos ＋i sin ），k∈Z，故B、D正确，A、C错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 12. 设z＝1＋i，则复数 的代数形式为 ，三角形式 是 ⁠. 解析：将z＝1＋i代入 ，得原式＝ ＝ ＝1－i ＝ . 1－i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ​ 数学·必修第四册（B版） 目 录 13. 设复数z满足 ＝ ，arg ＝ ，求z的辐角主值. 解：由已知，得 ＝ ， ∴1－ ＝ ＋ i， ∴ ＝ － i， ∴z＝ ＝ ＝ ＝ （ ＋i） ＝ ＝ ， ∴z的辐角主值arg z＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 14. 向量 ， 分别对应非零复数z1，z2，若 ⊥ ，则 是 （　　） A. 负实数 B. 纯虚数 C. 正实数 D. 虚数a＋bi（a，b∈R，a≠0） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 解析：　设复数z1＝r1（ cos θ1＋i sin θ1），z2＝r2（ cos θ2＋i sin θ2），由于 ⊥ ，所以 ＝ ＝ [ cos （θ1－θ2）＋i sin （θ1－θ2）]＝ [ cos （±90°）＋i sin （±90°）]＝± i，即 为纯虚数.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 15. 已知z＝ cos θ－ sin θ＋ ＋i（ cos θ＋ sin θ）. （1）当θ为何值时，｜z｜取得最大值，并求此最大值； 解：｜z｜＝ ＝ ＝2 . 所以当 cos ＝1，即θ＝2kπ－ （k∈Z）时， ｜z｜取最大值2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 （2）若θ∈（π，2π），求arg z（用θ表示）. 解：设arg z＝α， 由z＝ cos θ－ sin θ＋ ＋i（ cos θ＋ sin θ） ＝ ， 所以tan α＝ ＝tan . 因为θ∈（π，2π）， 所以z的实部为 ＞0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 z的虚部为 sin . 当θ∈ 时， sin ＜0， z所对应的点位于第四象限， 由于 ＜ ＋ ＜π， 所以arg z＝α＝ ＋π＝ ＋ . 当θ∈ 时， sin ≥0， z所对应的点位于第一象限（或x轴非负半轴）， 由于π＜ ＋ ＜ ， 所以arg z＝α＝ －π＝ － . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 $