10.2.2 复数的乘法与除法-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册教用课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦复数的乘法、除法运算及实系数一元二次方程求解，通过实数运算律的情境提问导入，建立从实数到复数的知识联系，搭建学习支架帮助学生实现认知过渡。 其亮点在于融入数学抽象与数学运算核心素养，通过类比多项式乘法、分母实数化等方法解析运算原理，典型例题结合跟踪训练强化应用，如复数乘法中i²的转化、除法中共轭复数的运用，助力学生提升运算能力与推理意识，为教师提供系统教学资源，有效提升课堂效率。

10.2.2　复数的乘法与除法 1 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算（数学抽象）. 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律（数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 目录 课时作业 03 3 01 PART 基础落实 目 录 　　我们知道，两个实数的乘法对加法来说满足分配律，即a，b，c∈R 时，有（a＋b）c＝ac＋bc，而且，实数的正整数次幂满足aman＝am＋ n，（am）n＝amn，（ab）n＝anbn，其中m，n均为正整数. 【问题】　复数的运算满足上述的运算律吗？ 　　　 　　　　　　 　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 　 　　 　  　　　　　　　　 　　　　　 　　　　　　 　 　 数学·必修第四册（B版） 目 录 知识点一　复数的乘法 1. 复数的乘法 一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），称z1z2（或 z1×z2）为z1与z2的积，并规定：z1z2＝（a＋bi）（c＋di）＝ac＋adi＋ bci＋bdi2＝ ⁠. （ac－bd）＋（ad＋bc）i　 数学·必修第四册（B版） 目 录 2. 复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝ ⁠ 结合律 （z1z2）z3＝ ⁠ 乘法对加法的分配律 z1（z2＋z3）＝ ⁠ z2z1　 z1（z2z3）　 z1z2＋z1z3　 数学·必修第四册（B版） 目 录 3. 复数的乘方 n个相同的复数z相乘时，仍称为z的n次方（或n次幂），并记作zn，即zn ＝ 当m，n均为正整数时，zmzn＝ ，（zm）n＝ ，（z1z2）n ＝ ⁠. zm＋n　 zmn　 　 数学·必修第四册（B版） 目 录 【想一想】 1. 以前学过的完全平方公式、平方差公式等，对于复数来说是否还成 立呢？ 提示：成立. 2. 复数的乘法与多项式的乘法有何不同？ 提示：复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果 中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并. 3. ｜z｜2＝z2，正确吗？ 提示：不正确.例如，｜i｜2＝1，而i2＝－1. 数学·必修第四册（B版） 目 录 1. 已知复数z＝2－i，则z· 的值为（　　） A. 5 B. C. 3 D. 解析：　z· ＝（2－i）（2＋i）＝22－i2＝4＋1＝5，故选A. 2. 复数（1＋i）2（2＋3i）的值为（　　） A. 6－4i B. －6－4i C. 6＋4i D. －6＋4i 解析：　（1＋i）2（2＋3i）＝2i（2＋3i）＝－6＋4i.故选D. √ √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 知识点二　复数的除法 1. 复数的倒数 一般地，给定复数z≠0，称 为z的倒数. 2. 复数的除法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R，c＋di≠0）， 则 ＝ ＝ ＝ ＋ i. 数学·必修第四册（B版） 目 录 　　提醒：对复数除法的两点说明：①实数化：分子、分母同乘以分母的 共轭复数化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式 除法的分母“有理化”很类似；②代数式：注意最后结果要将实部、虚部 分开. 数学·必修第四册（B版） 目 录 1. 复数z＝ （i为虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为 （　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析：　因为z＝ ＝ ＝ ＝－1－i，故复数对应的 点在第三象限. √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 2. 若z（1＋i）＝2i，则z＝（　　） A. －1－i B. －1＋i C. 1－i D. 1＋i 解析：　由z（1＋i）＝2i，得z＝ ＝ ＝ ＝i（1－ i）＝1＋i. √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 知识点三　实系数一元二次方程 1. 定义：当a，b，c都是实数且a≠0时，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0称 为实系数一元二次方程. 2. 实系数一元二次方程的解 设ax2＋bx＋c＝0（a，b，c∈R且a≠0）， （1）当Δ＝b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根； （3）当Δ＝b2－4ac＜0时，方程有两个互为共轭的虚数根. 数学·必修第四册（B版） 目 录 1. 在复数集内分解因式：x4－25＝ ⁠ ⁠. 解析：x4－25＝（x2＋5）（x2－5）＝（x2＋5）（x＋ ）（x－ ） ＝（x＋ i）（x－ i）（x＋ ）（x－ ）. 2. 在复数范围内方程x2－2x＋3＝0的根为 ⁠. 解析：∵Δ＝（－2）2－4×3＝－8＜0，∴原方程的根为x＝ ＝1± i. （x＋ i）（x－ i）（x＋ ） （x－ ） 1＋ i或1－ i 数学·必修第四册（B版） 目 录 02 PART 典例研析 目 录 题型一｜复数代数形式的乘法运算 【例1】　计算下列各题： （1）（1－i）（1＋i）＋（－1＋i）； 解：（1－i）（1＋i）＋（－1＋i）＝1－i2－1＋i ＝1＋i. （2）（2－i）（－1＋5i）（3－4i）＋2i； 解：（2－i）（－1＋5i）（3－4i）＋2i ＝（－2＋10i＋i－5i2）（3－4i）＋2i ＝（3＋11i）（3－4i）＋2i ＝（9－12i＋33i－44i2）＋2i ＝53＋21i＋2i＝53＋23i. 数学·必修第四册（B版） 目 录 （3）（4－i5）（6＋2i7）＋（7＋i11）（4－3i）. 解：（4－i5）（6＋2i7）＋（7＋i11）（4－3i） ＝2（4－i）（3－i）＋（7－i）（4－3i） ＝2（12－7i＋i2）＋（28－25i＋3i2） ＝47－39i. 数学·必修第四册（B版） 目 录 通性通法 复数的乘法运算法则的应用 （1）①复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意 要把i2化为－1，进行最后结果的化简； ②对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便.例 如平方差公式、完全平方公式等. （2）灵活运用一些常用结论 in（n∈N）的周期性（拓展）：i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝ 1，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0. 数学·必修第四册（B版） 目 录 【跟踪训练】 1. （2024·全国甲卷理1题）若z＝5＋i，则i（ ＋z）＝（　　） A. 10i B. 2i C. 10 D. 2 解析：　因为z＝5＋i，所以 ＝5－i，所以i（ ＋z）＝10i，故选A. √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 2. 已知复数z1＝2（ cos ＋i sin ），z2＝ cos ＋i sin ，则z1z2在复平面 内对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析：　因为z1＝2（ cos ＋i sin ）＝ ＋i，z2＝ cos ＋i sin ＝i， 所以z1z2＝（ ＋i）i＝－1＋ i，所以z1z2在复平面内对应的点为（－ 1， ），位于第二象限. √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 题型二｜复数代数形式的除法运算 【例2】　计算：（1）（－2＋3i）÷（1＋2i）； 解：原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＋ i. 数学·必修第四册（B版） 目 录 （2） ； 解：法一　 ＝ ＝ ＝－2＋i. 法二　 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝－2＋i. 数学·必修第四册（B版） 目 录 （3） ＋ － . 解：原式＝[（1＋i）2]3· ＋[（1－i）2]3· － ＝（2i） 3·i＋（－2i）3·（－i）－ ＝8＋8－16－16i＝－16i. 数学·必修第四册（B版） 目 录 通性通法 1. 两个复数代数形式的除法运算的步骤 （1）首先将除式写为分式； （2）再将分子、分母同乘以分母的共轭复数； （3）然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式. 2. 常用公式 （1） ＝－i；（2） ＝i；（3） ＝－i. 数学·必修第四册（B版） 目 录 【跟踪训练】 1. 复数z＝ ，则 在复平面内对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析：　因为z＝ ＝ ＝ ＝－1－2i，则 ＝－1＋ 2i，所以复数 在复平面内对应的点为（－1，2），位于第二象限. √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 2. 若复数z＝ 为纯虚数，b＝｜a＋ i｜，则a＋bi的共轭复 数为（　　） A. －2－ i B. ＋ i C. － i D. 2＋ i 解析：　依题意，z＝ ＝ ＝ ＋ i，由z为纯虚数，得 解得a＝ ，b＝ ＝ ，所以a＋bi的共轭复数为a－bi＝ － i. √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 题型三｜解实系数一元二次方程 【例3】　已知关于x的方程x2－px＋1＝0（p∈R）在复数集范围内有两 个根x1，x2，若｜x1－x2｜＝1，求实数p的值. 解：∵Δ＝p2－4， （1）当Δ≥0时，即p≥2或p≤－2时， 此方程有两个实数根x1，x2， 又∵｜x1－x2｜＝1，即｜x1－x2｜2＝1， ∴（x1－x2）2＝1，∴（x1＋x2）2－4x1x2＝1， 由根与系数的关系可知p2－4＝1，∴p＝± . 数学·必修第四册（B版） 目 录 （2）当Δ＜0时，即－2＜p＜2时， 此方程存在两个虚数根x1，x2，且x1，x2互为共轭复数，即x1－x2是纯 虚数. 又∵｜x1－x2｜＝1， ∴｜x1－x2｜2＝1， 即（x1－x2）2＝－1， ∴（x1＋x2）2－4x1x2＝－1， 根据根与系数的关系，可知p2－4＝－1， ∴p＝± ， 综上所述p＝± 或± . 数学·必修第四册（B版） 目 录 通性通法 实系数一元二次方程在复数范围内的求解策略 （1）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a，b，c∈R且a≠0）在复数集内 的解有以下三种情况： 当Δ＝b2－4ac＞0时，方程存在两个不相等的实根； 当Δ＝b2－4ac＝0时，方程存在两个相等的实根； 当Δ＝b2－4ac＜0时，方程存在两个不相等的虚数根，且两根互为共轭 复数. （2）方程两根满足根与系数的关系 数学·必修第四册（B版） 目 录 【跟踪训练】 1. 复数z1＝3＋2i（i为虚数单位）是方程z2－6z＋b＝0（b∈R）的根， 则b的值为（　　） A. B. 13 C. D. 5 解析：　∵z1＝3＋2i是方程z2－6z＋b＝0（b∈R）的根，∴方程的另 一根z2＝3－2i，∴b＝（3＋2i）（3－2i）＝13.故选B. √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 2. 在复数范围内方程x2＋6x＋13＝0的根是（　　） A. －3±2i B. 3－2i C. －2＋3i D. 2＋3i 解析：　法一　因为x2＋6x＋13＝（x＋3）2＋4，所以原方程可化为 （x＋3）2＝－4，所以x＋3＝2i或x＋3＝－2i，所以x＝－3＋2i或x＝－3 －2i.故选A. √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 法二　令x＝a＋bi，a，b∈R，则（a＋bi）2＋6（a＋bi）＋13＝0， 即a2－b2＋6a＋13＋（2ab＋6b）i＝0， 所以 解得 即x＝－3±2i.故选A. 数学·必修第四册（B版） 目 录 1. 已知a∈R，（1＋ai）i＝3＋i（i为虚数单位），则a＝（　　） A. －1 B. 1 C. －3 D. 3 解析：　因为（1＋ai）i＝3＋i，所以1＋ai＝ ＝1－3i，所以a＝－3. 故选C. √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 2. 如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是 ， ，则复数 对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析：　由复数的几何意义知，z1＝－2－i，z2＝i，所以 ＝ ＝－1 ＋2i，对应的点在第二象限. √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 3. 〔多选〕已知复数z＝ ，则下列说法正确的是（　　） A. ｜z｜＝ B. z的虚部为－2i C. z在复平面内对应的点在第四象限 D. z的共轭复数为3＋2i 解析：　因为z＝ ＝ ＝ ＝ ＝3－2i，所以z的虚部为－2，B错误； ＝3＋2i，D正确；｜z｜＝ ＝ ，A正确；z在复平面内对应的点（3，－2）在第四象限，C正确.故选 A、C、D. √ √ √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 4. 设z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且 为纯虚数，则实数a的值为 　​ 　. 解析：设 ＝bi（b∈R且b≠0），所以z1＝bi·z2，即a＋2i＝bi（3－ 4i）＝4b＋3bi，所以 所以a＝ . ​ 数学·必修第四册（B版） 目 录 5. 计算： （1）（1－i） （1＋i）； 解：法一　（1－i） （1＋i） ＝ （1＋i） ＝ （1＋i） ＝ ＋ i＋ i＋ i2 ＝－1＋ i. 数学·必修第四册（B版） 目 录 法二　原式＝（1－i）（1＋i） ＝（1－i2） ＝2 ＝－1＋ i. 数学·必修第四册（B版） 目 录 （2） ； 解： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝i. （3）（2－i）2. 解： （2－i）2＝4－4i＋i2＝3－4i. 数学·必修第四册（B版） 目 录 课时作业 03 PART 目 录 1. 已知复数z在复平面内对应的点的坐标是（1，－2），则i ＝（　　） A. 1＋2i B. 1－2i C. 2＋i D. －2＋i 解析：　由题意可得z＝1－2i，则i ＝i（1＋2i）＝－2＋i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 2. 若复数z满足（z＋i）（1－2i）＝5，则｜z｜＝（　　） A. B. 1 C. 2 D. 解析：　因为（z＋i）（1－2i）＝5，所以z＝ －i＝ － i＝1＋2i－i＝1＋i，所以｜z｜＝ ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 3. 方程z2－4｜z｜＋3＝0在复数集内解的个数为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 解析：　令z＝a＋bi（a，b∈R），则a2－b2＋2abi－4 ＋3＝ 0，得 当b＝0时，a2－4｜a｜＋3＝0，a＝ ±1或a＝±3；当a＝0时，b2＋4｜b｜－3＝0，｜b｜＝－2＋ 或｜ b｜＝－2－ （舍）.综上共有6个解：z＝±1，z＝±3，z＝±（ － 2）i，故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 4. 在如图所示的复平面内，复数z1，z2，z3对应的 向量分别是 ， ， ，则复数 在复平 面内对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析：　由题图，知z1＝3＋2i，z2＝－2＋2i，z3＝1－2i，则 ＝ ＝－ － i，所以其在复平面内对应的点为 ，此点位于 第三象限.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 5. 〔多选〕复数z1，z2满足z1＋z2＝4，z1z2＝8，则（　　） A. ｜z1｜｜z2｜＝8 B. ｜z1－z2｜＝4 C. ｜z1｜＋｜z2｜＝4 D. ｜ ｜＝1 解析：　依题意，复数z1，z2是方程x2－4x＋8＝0的两个根，可得Δ＝（－4）2－4×8＝－16＝（4i）2，解得x＝ ＝ ＝2±2i，则不 妨设z1＝2＋2i，z2＝2－2i，所以｜z1｜｜z2｜＝ × ＝2 ×2 ＝8，故A正确；｜z1－z2｜＝｜4i｜＝4，故B正确；｜z1｜＋｜ z2｜＝2 ＋2 ＝4 ，故C错误；｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜ ＝｜ ｜＝｜i｜＝1，故D正确. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 6. 〔多选〕已知两个复数z1，z2满足z1z2＝i，且z1＝1－i，则下面说法正 确的是（　　） A. z2＝－ ＋ i B. ｜z1｜＝ C. ｜z1＋z2｜≥2 D. · ＝－i √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 解析：　由题意知，设z2＝a＋bi（a，b为实数），则z1z2＝（1－i）（a＋bi）＝i，即a＋b＋（b－a）i＝i，所以 解得a＝－ ，b＝ ，所以z2＝－ ＋ i，故A正确；｜z1｜＝ ＝ ，｜z2｜＝ ＝ ，所以｜z1｜＝ ，故B正确；z1＋z2＝1－i－ ＋ i＝ － i，所以｜z1＋z2｜＝ ＝ ＜2，故C错误； ＝1＋i， ＝－ － i，所以 · ＝（1＋i）· ＝－i，故D正确.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 7. 若复数z＝ （m∈R）为纯虚数，其中i为虚数单位，则m＝ 　​ 　. 解析：因为z＝ ＝ ＝ 为纯虚数，所 以6＋m≠0且3－2m＝0，解得m＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 8. 是z的共轭复数，若z＋ ＝2，（z－ ）i＝2（i为虚数单位），则z ＝ ⁠. 解析：设z＝a＋bi（a，b∈R），由题意知z＋ ＝a＋bi＋（a－bi） ＝2a＝2.（z－ ）i＝（a＋bi－a＋bi）i＝－2b＝2，∴a＝1，b＝－ 1，则z＝1－i. 1－i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 9. 设复数z＝－1－i（i为虚数单位），z的共轭复数为 ，则 ＝ ⁠ ⁠. 解析：∵z＝－1－i，∴ ＝－1＋i， ＝ ＝ ＝ ＝ ＝－1＋2i. －1 ＋2i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 10. 已知复数z＝ . （1）求z的实部与虚部； 解：z＝ ＝ ＝2＋i， 所以z的实部为2，虚部为1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 （2）若z2＋m ＋n＝1－i（m，n∈R， 是z的共轭复数），求m和n 的值. 解：把z＝2＋i代入z2＋m ＋n＝1－i， 得（2＋i）2＋m（2－i）＋n＝1－i， 所以 解得m＝5，n＝－12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 11. 已知复数z＝ ，则 在复平面内对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析：　因为i4＝1，所以i2 025＝i506×4＋1＝i，i2 026＝i506×4＋2＝－1，所以z ＝ ＝ － i，则 ＝ ＋ i，故 在复平面内对应的点位于第一象 限.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 12. 若 ＝1＋i，则z＝（　　） A. －1－i B. －1＋i C. 1－i D. 1＋i 解析：　法一　因为 ＝ ＝1＋ ＝1＋i，所以z＝1＋ ＝1－i. 故选C. 法二　由 ＝1＋i，得z＝（z－1）（1＋i），即zi＝1＋i，z＝ ＝1－i. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 13. 已知复数z满足z＝（－1＋3i）（1－i）－4. （1）求复数z的共轭复数； 解：z＝－1＋i＋3i＋3－4＝－2＋4i， 所以复数z的共轭复数为－2－4i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 （2）若w＝z＋ai，且复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的 模，求实数a的取值范围. 解：w＝－2＋（4＋a）i，复数w对应向量为（－2，4＋a），其模为 ＝ . 又复数z所对应向量为（－2，4），其模为2 .由复数w对应向量的模不 大于复数z所对应向量的模，得20＋8a＋a2≤20，a2＋8a≤0，a（a＋ 8）≤0， 所以实数a的取值范围是[－8，0]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 14. 已知 ＋ i是实系数一元二次方程ax2＋bx＋1＝0的一个根，则a ＝ ，b＝ ⁠. 1 － 解析：把 ＋ i代入方程，得a ＋b（ ＋ i）＋1＝0， 即 ＋ i＝0，所以 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 即 解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 15. 设复数z1＝1－i，z2＝ cos θ＋i sin θ，其中θ∈[0，π]. （1）若复数z＝ ·z2为实数，求θ的值； 解：由题意，z＝ ·z2＝（1＋i）（ cos θ＋i sin θ）＝（ cos θ－ sin θ）＋（ cos θ＋ sin θ）i，若复数z＝ ·z2为实数，则 cos θ＋ sin θ＝0，故tan θ＝－1，θ∈[0，π]，解得θ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 （2）求｜z1＋z2｜的取值范围. 解：由题意，z1＝1－i，z2＝ cos θ＋i sin θ，｜z1＋z2｜＝｜（1－i）＋ cos θ＋i sin θ｜＝｜（1＋ cos θ）＋（－1＋ sin θ）i｜＝ ＝ ＝ ， 由于θ∈[0，π]，故θ＋ ∈ ，故－1≤ cos ≤ ，故 －1＝ ≤｜z1＋z2｜≤ ，故｜z1＋z2｜的取值范围是[－1， ]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 $