章末检测（九） 解三角形-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册教用课件（人教B版）

该高中数学解三角形单元复习课件系统梳理了正弦定理、余弦定理、面积公式及三角形形状判断等核心知识，通过典型例题将定理应用、边角互化、实际问题解决等内容串联，帮助学生构建“定理—公式—应用”的完整知识网络。 其亮点在于采用分层设计，从基础题（如用余弦定理求最小角）到综合题（如结合向量与正弦定理求角度），融入实际情境题（如飞行方案距离计算），培养学生数学眼光和应用意识。通过逻辑推理（如三角形形状判定）和数学语言表达（如向量方法推导），助力学生巩固知识，也为教师提供精准复习参考。

章末检测（九）　解三角形 （时间：120分钟　满分：150分） 1 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在△ABC中，a＝2，b＝ ，c＝1，则最小角为（　　） A. B. C. D. 解析：　∵a＞b＞c，∴C最小.∵ cos C＝ ＝ ＝ ，0＜C＜π，∴C＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 数学·必修第四册（B版） 2. 已知锐角三角形ABC的面积为3 ，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为 （　　） A. 75° B. 60° C. 45° D. 30° 解析：　面积S＝ BC·CA· sin C⇒3 ＝ ×4×3× sin C⇒ sin C＝ ， 又因为△ABC为锐角三角形，所以C＝60°. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） 3. 如图，甲、乙二人同时从点A出发，甲沿正东方向走，乙沿北偏东30° 方向走.当乙走了2 km到达B点时，甲走到C点，此时两人相距 km，则 甲走的路程AC＝（　　） A. 2 km B. 2 km C. km D. 1 km 解析：　依题意知BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC· cos ∠BAC，即3＝22＋ AC2－2×2×AC× cos 60°，AC2－2AC＋1＝0，解得AC＝1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） 4. 在△ABC中， cos C＝ ，AC＝4，BC＝3，则 cos B＝（　　） A. B. C. D. 解析：　由余弦定理得 cos C＝ ＝ ＝ ，可得AB ＝3，又由余弦定理得 cos B＝ ＝ ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） 5. 在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，a＝ ， cos A＝ ，则△ABC的 面积S为（　　） A. B. C. D. 6 解析：　由b2－bc－2c2＝0可得（b＋c）（b－2c）＝0，∴b＝2c.在 △ABC中，a2＝b2＋c2－2bc cos A，即6＝4c2＋c2－4c2× .∴c＝2，从 而b＝4.∴S＝ bc sin A＝ ×2×4× ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） 6. 在△ABC中， cos 2 ＝ （a，b，c分别为角A，B，C的对边）， 则△ABC的形状为（　　） A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） 解析：　因为 cos 2 ＝ ，所以 ＝ ，整理得到 cos B＝ ， 又由正弦定理 ＝ ＝ ，得到 cos B＝ ，所以 sin C cos B＝ sin A＝ sin （B＋C）＝ sin B cos C＋ cos B sin C，得到 sin B cos C＝0，又B∈ （0，π），所以 sin B≠0，得到 cos C＝0，又C∈（0，π），所以C＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） 7. 如图，在山脚A测得山顶P的仰角α为30°，沿倾斜角β为15°的斜坡向 上走a m到B，在B处测得山顶P的仰角γ为60°，则山PQ的高h＝（　） A. a m B. m C. a m D. a m √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） 解析：　在△PAB中，∠PAB＝α－β＝15°，∠BPA＝（90°－α）－ （90°－γ）＝γ－α＝30°，∴ ＝ ，∴PB＝ a， ∴PQ＝PC＋CQ＝PB· sin γ＋a sin β＝ a× sin 60°＋a sin 15°＝ a（m）.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） 8. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2 ， （ sin A－ sin B）·（b＋2 ）＝c（ sin B＋ sin C），则△ABC外接圆的 面积为（　　） A. π B. 3π C. 4π D. 5π √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） 解析：　因为a＝2 ，且（ sin A－ sin B）（b＋2 ）＝c（ sin B＋ sin C），所以（ sin A－ sin B）（a＋b）＝c（ sin B＋ sin C），由正弦 定理，可得（a－b）·（a＋b）＝c（b＋c），即b2＋c2－a2＝－bc， 所以 cos A＝ ＝ ＝－ ，由A∈（0，π），所以A＝ ，则 △ABC外接圆的半径为 ＝ ＝2，所以△ABC外接圆的面积为S＝ π·22＝4π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的 四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部 分分，有选错的得0分） 9. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a2＋c2－b2） tan B＝ ac，则角B＝（　　） A. B. 解析：　因为（a2＋c2－b2）tan B＝ ac，所以2ac cos B·tan B＝ ac，又ac≠0，所以 sin B＝ ，所以B＝ 或B＝ ，故选B、C. C. D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） 10. 已知锐角三角形ABC，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c＝ 4，B＝60°，则b的可能取值为（　　） A. 2 B. 3 √ √ 解析：在△ABC中，c＝4，B＝60°，由 ＝ ，得b＝ ＝ ＝ .因为0＜C＜ ，所以 sin C∈（0，1），即有b＞2 .若b＝4，则b＝c，即B＝C＝60°，△ABC为等边三角形，符合题意；若b＝5，则 sin C＝ ∈ ，且b＞c，即B＞C，所以30°＜C＜60°，所以60°＜A＜90°，符合题意.故选C、D. C. 4 D. 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） 11. 在锐角三角形ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C所对的 边，若（a＋b＋c）（a＋c－b）＝（2＋ ）ac，则 cos A＋ sin C的 可能取值是（　　） A. B. √ √ 解析：　由（a＋b＋c）（a＋c－b）＝（2＋ ）ac，得a2＋c2－ b2＝ ac，所以根据余弦定理，得 cos B＝ ＝ ，又B是锐角， 所以B＝ ，所以A＋C＝ ，所以C＝ －A，所以 cos A＋ sin C＝ cos A＋ sin ＝ cos A＋ sin cos A－ cos sin A＝ sin A＋ cos A＝ C. 1 D. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） sin .因为△ABC是锐角三角形，所以 即 解得 ＜A＜ ，所以 ＜A＋ ＜ ，所以 cos A＋ sin C∈ ，所以 cos A＋ sin C的可能取值是 和1.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横 线上） 12. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，A ＝30°，则 ＝ ⁠. 解析：由正弦定理得 ＝ ＝ ＝4，则 ＝ ＝4. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） 13. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类” 里写道：“问有沙田一段，有三斜.其小斜一十三里，中斜一十四里，大 斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙 田，三边长分别为13里，14里，15里，假设1里按0.5 km计算，则该沙田 的面积为 km2. 解析：设在△ABC中，BC＝13里，AC＝14里，AB＝15里，∴ cos C＝ ＝ ，∴ sin C＝ ，故△ABC的面积为 ×13×14× ×0.52 ＝21（km2）. 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） 14. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（a＋b） sin A＝c sin C－b sin B，若△ABC的面积为3 ，则角C等于 　​ 　，c 的最小值为 ⁠. ​ 6 解析：因为（a＋b） sin A＝c sin C－b sin B，所以由正弦定理得（a＋ b）a＝c2－b2，即a2＋b2－c2＝－ab，所以由余弦定理得 cos C＝ ＝ ＝－ .因为C∈（0，π），所以C＝ .因为△ABC的面 积为3 ，所以 ab sin C＝ ab＝3 ，所以ab＝12.由余弦定理得c2＝ a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2＋ab≥2ab＋ab＝3ab＝36，当且仅当a＝b＝ 2 时等号成立，所以c≥6，即c的最小值为6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤） 15. （本小题满分13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b， c，且m＝（2b－c， cos C），n＝（a， cos A），m∥n. （1）求角A的大小； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） 解：∵m∥n，m＝（2b－c， cos C），n＝（a， cos A）， ∴（2b－c） cos A－a cos C＝0， 由正弦定理得（2 sin B－ sin C） cos A－ sin A cos C＝0， ∴2 sin B cos A－ sin （C＋A）＝0， 即 sin B（2 cos A－1）＝0， ∵0＜B＜π， ∴ sin B≠0，∴ cos A＝ ， 又∵0＜A＜π，∴A＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） （2）若a＝4，S△ABC＝4 ，试判定△ABC的形状. 解：∵S△ABC＝ bc sin A＝4 ， ∴bc＝16， 又∵a2＝b2＋c2－2bc cos A， ∴b2＋c2＝32， ∴b＝c＝4，且A＝ ， ∴△ABC为等边三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） 16. （本小题满分15分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b， c，且 b sin A－a cos B＝a. （1）求角B的值； 解：由正弦定理得， ＝ ＝ ， 则由 b sin A－a cos B＝a，得 sin B sin A－ sin A cos B＝ sin A，∵ sin A≠0， ∴ sin B－ cos B＝1，∴ sin （ B－ ）＝ . ∵B－ ∈（ － ， ），∴B－ ＝ ⇒B＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） （2）若D为AC的中点，且BD＝ ，b＝2，求△ABC的面积. 解：∵D为AC的中点，∴ ＝ （ ＋ ），又BD＝ ， ∴｜ ｜2＝ （ ＋2 · ＋ ）⇒a2＋ac＋c2＝12，　① 由余弦定理得， cos B＝ ⇒a2＋c2－ac＝4，　② 联立①②，解得ac＝4，∴S△ABC＝ ac sin B＝ ×4× ＝ ，∴△ABC 的面积为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） 17. （本小题满分15分）某市发生水灾，国家抗震救灾指挥部紧急从A处 调飞机去某地运救灾物资到受灾的B处.现有以下两个方案供选择： 方案一：飞到位于A处正东方向上的C市调运救灾物资，再飞到B处； 方案二：飞到位于A处正南方向上的D市调运救灾物资，再飞到B处. 已知AD＝500 km，AB＝800 km，∠ACB＝2∠DAB＝120°.那么选择哪 种方案，能使得飞行距离最短？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） 解：方案一：在△ABC中，易知∠CAB＝90°－∠DAB ＝30°，∠ACB＝120°，AB＝800 km， 由 ＝ 得BC＝ km，且△ABC为等腰三 角形， 所以AC＋BC＝2BC＝ （km）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） 方案二：在△ADB中，∠DAB＝60°，AD＝500 km，AB＝800 km， 所以BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD· cos ∠DAB ＝8002＋5002－2×800×500× cos 60°＝4.9×105， 所以BD＝700 km，所以BD＋AD＝700＋500＝1 200（km）. 因为1 200＞ ≈923.2， 故选择方案一，能使飞行距离最短. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） 18. （本小题满分17分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b， c，a＝1， ＝ . （1）求角A； 解：由题及正弦定理可知 ＝ ，所以 sin A cos C＝2 sin B cos A－ sin C cos A， 所以 sin A cos C＋ sin C cos A＝ sin （A＋C）＝2 sin B cos A. 又A＋B＋C＝π，所以 sin B＝2 sin B cos A. 因为 sin B＞0，所以 cos A＝ .因为A∈（0，π），所以A＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） （2）若D是线段BC的中点，且AD＝1，求S△ABC； 解：由（1）及余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，即1＝b2＋c2－bc，　① 又因为 ＝ ＋ ，则 ＝（ ＋ ）2，所以1＝ b2＋ c2 ＋ bc，　② 由②×4－①得bc＝ ，所以S△ABC＝ bc sin A＝ × × ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） （3）若△ABC为锐角三角形，求△ABC的周长的取值范围. 解：由（1）得A＝ ，则B＋C＝ ，即 sin C＝ sin （ －B）＝ cos B＋ sin B. 由正弦定理可知b＝ sin B，c＝ sin C， 所以b＋c＝ （ sin B＋ sin C）＝2（ sin B＋ cos B）＝2 sin （ B＋ ）. 因为△ABC为锐角三角形，所以0＜B＜ ，0＜ －B＜ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） 即 ＜B＜ ， ＜B＋ ＜ ，则 sin （ B＋ ）∈（ ，1］，即2 sin （ B＋ ）∈（ ，2]， 则a＋b＋c∈（1＋ ，3]，故△ABC的周长的取值范围为（1＋ ，3]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） 19. （本小题满分17分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a， b，c，过△ABC内一点M的直线l与直线AB交于点D，记 与 夹角 为θ. （1）已知c－a cos B＝b sin A， ①求角A； ②若M为△ABC的重心，b＝c＝1，θ＝30°，求｜ ｜； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） 解：①因为c－a cos B＝b sin A， 由正弦定理可得 sin C－ sin A cos B＝ sin B sin A， 即 sin （A＋B）－ sin A cos B＝ sin B sin A，所以 cos A sin B＝ sin B sin A， 又0°＜B＜180°，所以 sin B＞0，所以 cos A＝ sin A，所以tan A＝1， 又0°＜A＜180°，所以A＝45°. ②由题意b＝c＝1，θ＝30°，因为M为△ABC的重心，所以 ＝ （ ＋ ）， 所以｜AM｜＝｜ ｜＝ ｜ ＋ ｜＝ ＝ ＝ cos ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） 在△ADM中，由正弦定理知 ＝ ，所以｜AD｜＝ · sin ∠AMD， 显然△ABC为等腰三角形，则AM平分∠BAC， 所以｜ ｜＝｜AD｜＝ · sin （ ＋30°） ＝2｜AM｜ sin （ ＋30°） ＝ cos sin （ ＋30°） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） ＝ cos （ sin ＋ cos ） ＝ （ ×2 sin cos ＋ cos 2 ） ＝ （ sin A＋ cos A＋ ） ＝ （ × ＋ × ＋ ）＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） （2）请用向量方法探究θ与△ABC的边和角之间的等量关系. 解：直线l与△ABC的边AC相交于点E，如图所示， 因为 ＝ ＋ ，所以 · ＝ ·（ ＋ ） ＝ · ＋ · ， 又因为 · ＝｜ ｜｜ ｜ cos ∠EDA＝c｜ ｜ cos θ， · ＝｜ ｜｜ ｜ cos （B－θ）＝a｜ ｜· cos （B－θ）， · ＝｜ ｜｜ ｜ cos （A＋θ）＝b｜ ｜· cos （A＋θ）， 所以c｜ ｜ cos θ＝a｜ ｜ cos （B－θ）＋b｜ ｜· cos （A＋θ）， 即c cos θ＝a cos （B－θ）＋b cos （A＋θ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第四册（B版） $