9.1.1 第2课时 正弦定理的应用（习题课）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册教用课件（人教B版）

第二课时　正弦定理的应用（习题课） 1 典例研析 01 拓视野　三角形解的个数问题　能力提升 02 目录 课时作业 03 2 01 PART 典例研析 目 录 题型一｜三角形解的个数的判断 【例1】　根据下列条件，判断三角形是否有解，若有解，有几个解： （1）a＝ ，b＝ ，A＝120°； （2）a＝60，b＝48，B＝60°. 解：法一　（1）∵A＞90°且a＞b， ∴有一解，即这样的三角形是唯一的. （2）∵a sin B＝60× ＝30 ，b＝48， ∴b＜a sin B，无解，即不存在这样的三角形. 数学·必修第四册（B版） 目 录 法二　（1）∵A＝120°，由 ＝ ， 得 sin B＝ ＝ ＝ ， ∵A＞B，∴B＝45°. ∴有一解，即这样的三角形是唯一的. （2）由 ＝ ， 得 sin A＝ ＝ ＝ ＞1， 与0＜ sin A≤1矛盾， ∴无解，即不存在这样的三角形. 数学·必修第四册（B版） 目 录 通性通法 　　已知任意两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法 （1）应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个 数； （2）在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画 弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解 的个数见下表： 数学·必修第四册（B版） 目 录 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 ①a＝b sin A ②a≥b　　 b sin A＜a＜b a＜b sin A a＞b a≤b 解的个数 一解 两解 无解 一解 无解 数学·必修第四册（B版） 目 录 【跟踪训练】 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，根据下列条件解三 角形，其中有两个解的是（　　） A. a＝8，b＝10，A＝45° B. a＝60，b＝81，B＝60° C. a＝7，b＝5，A＝80° D. a＝14，b＝20，A＝45° √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 解析：　对于A，若a＝8，b＝10，A＝45°，由正弦定理可得 ＝ ，得 ＝ ，得 sin B＝ ＞ ＝ sin A，再根据b＞a，可得 B＞A，得B可能是锐角也可能是钝角，即角B有2个值，故△ABC有两 解；对于B，若a＝60，b＝81，B＝60°，由正弦定理可得 ＝ ， 得 ＝ ，得 sin A＝ ＜ ＝ sin B，再根据b＞a，可得B＞ A，A只能是锐角，故△ABC有一个解；对于C， 数学·必修第四册（B版） 目 录 若a＝7，b＝5，A＝80°，由正弦定理可得 ＝ ，得 ＝ ，得 sin B＝ ＜1，再根据b＜a，则B只能是锐角，故△ABC有一解；对于D，若a＝14，b＝20，A＝45°，则由正弦定理可得 ＝ ，得 ＝ ，求得 sin B＝ ＞1，故B无解，得△ABC不存在. 数学·必修第四册（B版） 目 录 题型二｜判断三角形的形状 【例2】　在△ABC中，a cos ＝b cos ，判断△ABC的形状. 解：法一（化角为边）　∵a cos ＝b cos （ －B），∴a sin A＝b sin B. 由正弦定理可得a· ＝b· （R为△ABC外接圆的半径）， ∴a2＝b2，∴a＝b， ∴△ABC为等腰三角形. 数学·必修第四册（B版） 目 录 法二（化边为角）　∵a cos ＝b cos ， ∴a sin A＝b sin B. 由正弦定理可得2R sin 2A＝2R sin 2B（R为△ABC外接圆的半径），即 sin A＝ sin B， ∴A＝B（A＋B＝π不合题意舍去）. 故△ABC为等腰三角形. 数学·必修第四册（B版） 目 录 【母题探究】 （变条件）本例条件变为“在△ABC中，c－a cos B＝（2a－b） cos A” 问题不变. 解：由c－a cos B＝（2a－b） cos A，得 sin C－ sin A cos B＝2 sin A cos A － sin B cos A，所以 sin （A＋B）－ sin A cos B＝2 sin A cos A－ sin B cos A，即2 cos A（ sin B－ sin A）＝0，所以 cos A＝0或 sin B＝ sin A，又0＜ A＜π，0＜B＜π，所以A＝ 或A＝B或A＋B＝π（舍去）.所以△ABC是 等腰三角形或直角三角形. 数学·必修第四册（B版） 目 录 通性通法 利用正弦定理判断三角形形状的两条途径 （1）化角为边.将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多 项式的有关知识（分解因式、配方等）得到边的关系，如a＝b，a2＋b2 ＝c2等，进而确定三角形的形状.化角为边常利用的公式为： sin A＝ ， sin B＝ ， sin C＝ （R为△ABC外接圆的半径）； （2）化边为角.将题目中的所有条件，利用正弦定理化边为角，再根据三 角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状.化边为 角常利用的公式为：a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C（R为△ABC 外接圆的半径）. 数学·必修第四册（B版） 目 录 【跟踪训练】 在△ABC中，已知b＝a sin C，c＝a sin B，试判断△ABC的形状. 解：法一　由b＝a sin C，c＝a sin B，得 ＝ ， 由正弦定理，得 ＝ ，所以b2＝c2， 又因为b，c＞0，所以b＝c， 所以B＝C. 由b＝a sin C，得 sin B＝ sin A sin C＝ sin A sin B， 所以 sin A＝1，又因为0＜A＜π， 所以A＝ ， 所以△ABC是等腰直角三角形. 数学·必修第四册（B版） 目 录 法二　由b＝a sin C，c＝a sin B，得 ＝ ， 由正弦定理，得 ＝ ， 所以 sin 2B＝ sin 2C. 又因为0＜B＜π，0＜C＜π， 所以 sin B＞0， sin C＞0， 所以 sin B＝ sin C， 所以B＝C. 数学·必修第四册（B版） 目 录 所以A＝ ， 所以△ABC为等腰直角三角形. 由b＝a sin C，得 sin B＝ sin A sin C＝ sin A sin B， 所以 sin A＝1， 又因为0＜A＜π， 数学·必修第四册（B版） 目 录 题型三｜利用正弦定理求最值或取值范围 【例3】　已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a cos B＋ a sin B＝b＋c. （1）求A； 数学·必修第四册（B版） 目 录 解：由正弦定理得 sin A cos B＋ sin A sin B＝ sin B＋ sin C，则 sin A cos B ＋ sin A sin B＝ sin B＋ sin （A＋B）， 即 sin A cos B＋ sin A sin B＝ sin B＋ sin A cos B＋ cos A sin B， 即 sin A sin B－ cos A sin B＝ sin B. 因为 sin B≠0，所以 sin A－ cos A＝1，即2 sin （ A－ ）＝1，即 sin （ A－ ）＝ . 因为0＜A＜π，所以－ ＜A－ ＜ ，所以A－ ＝ ，故A＝ . 数学·必修第四册（B版） 目 录 （2）若a＝2 ，求△ABC周长的取值范围. 解：记△ABC的周长为L，则L＝a＋b＋c，因为a＝2 ，a cos B＋ a sin B＝b＋c， 所以b＋c＝2 （ cos B＋ sin B）＝4 sin （ B＋ ），所以L＝2 ＋4 sin （ B＋ ）. 因为0＜B＜ ，所以 ＜B＋ ＜ ，所以 ＜ sin （ B＋ ）≤1， 故4 ＜2 ＋4 sin （ B＋ ）≤6 ，则周长L的取值范围为 （4 ，6 ]. 数学·必修第四册（B版） 目 录 通性通法 　　利用正弦定理解决三角形中取值范围或最值问题的策略 （1）先利用正弦定理理清三角形中元素间的关系或求出某些元素； （2）将所求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数（三角函数）， 从而转化为求函数的值域或最值问题. 数学·必修第四册（B版） 目 录 【跟踪训练】 在△ABC中，已知a＝2，A＝ ，则该三角形面积的最大值为（　　） A. 2＋ B. 2－ C. 3＋ D. 3－ √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 解析：　∵A＝ ，∴B＋C＝ . ∵ ＝ ＝ ＝ ＝4， ∴b＝4 sin B，c＝4 sin C＝4 sin （ －B）＝2 cos B＋2 sin B， ∴S△ABC＝ bc sin A＝2 sin B cos B＋2 sin 2B＝2 sin （ 2B－ ）＋ . ∵0＜B＜ ，∴－ ＜2B－ ＜ ，∴ sin （ 2B－ ）∈（ － ， 1］，∴S△ABC＝ bc sin A＝2 sin （ 2B－ ）＋ ∈（0，2＋ ]， 即该三角形面积的最大值为2＋ . 数学·必修第四册（B版） 目 录 02 PART 拓视野　三角形解的个数问题 能力提升 目 录 　　在初中我们学习了三角形全等的判定，你还记得三角形全等的判定方 法吗？两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即两边 和其中一边的对角分别相等不能作为判定两个三角形全等的依据.如图， 在△ABC和△ADC中，AC＝AC，CB＝CD，∠CAD＝∠CAB，其中A 是CB，CD的对角，△ABC与△ADC不全等. 也就是说，已知两边和其中一边的对角解三角形时，解的个数不唯 一，分为两解、一解和无解三种情况. 数学·必修第四册（B版） 目 录 【问题探究】 1. 你能从代数的角度分析解的情况吗？ 提示：在△ABC中，已知a，b，A，由正弦定理可得 sin B＝ sin A. （1）当 sin B＞1时，这样的B不存在，即三角形无解； （2）当 sin B＝1时，B＝90°，若A＜90°，则三角形有一解，否则无解； （3）当 sin B＜1时，B有两个（一个为锐角，一个为钝角），其中设锐角 为α，钝角为β，则当A＋α＞180°时，三角形无解；当A＋α＜180°，且 A＋β＜180°时，有两解；当A＋α＜180°，且A＋β＞180°时，有一解. 数学·必修第四册（B版） 目 录 2. 你能从几何的角度分析解的情况吗？ 提示：在△ABC中，已知a，b和A，解三角形. 当A为锐角时，如图所示. 当A为直角或钝角时，如图所示. 数学·必修第四册（B版） 目 录 【迁移应用】 1. 在△ABC中，A＝60°，a＝ ，b＝ ，则△ABC解的情况是（　） A. 无解 B. 有唯一解 C. 有两解 D. 不能确定 解析：∵A为锐角且a＞b，∴△ABC解的个数唯一. √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 2. 在△ABC中，c＝ ，A＝45°，a＝ ，求b和B，C. 解：∵ ＝ ， ∴ sin C＝ ＝ ＝ . ∵0°＜C＜180°，∴C＝60°或C＝120°. 当C＝60°时，B＝75°，由正弦定理，得b＝ ＝ ＝ ； 当C＝120°时，B＝15°，b＝ ＝ ＝ . 故b＝ ，B＝75°，C＝60°或b＝ ，B＝15°，C＝120°. 数学·必修第四册（B版） 目 录 3. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知满足B＝ 60°，b＝2的三角形有两解，求a的取值范围. 解：因为三角形有两解，所以 即 解得2＜a＜ ， 则a的取值范围是 . 数学·必修第四册（B版） 目 录 1. 在△ABC中，a＝b sin A，则△ABC一定是（　　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 解析：由题意有 ＝b＝ ，则 sin B＝1，由B∈（0，π），故角 B为直角，故△ABC是直角三角形. √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 2. 在△ABC中，若b＝30，c＝15，C＝26°，则此三角形解的情况是 （　　） A. 一解 B. 两解 C. 无解 D. 无法确定 解析：　∵b＝30，c＝15，C＝26°，∴c＞b sin C. 又∵c＜b，∴此 三角形有两解，故选B. √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 3. 在△ABC中，若C＝2B，则 的取值范围为 ⁠. 解析：因为A＋B＋C＝π，C＝2B， 所以A＝π－3B＞0，所以0＜B＜ ，所以 ＜ cos B＜1.因为 ＝ ＝ ＝2 cos B， 所以1＜2 cos B＜2，故1＜ ＜2. 4. 已知在△ABC中，若 ＝ ，则该三角形为 ⁠. 解析：由题 ＝ 及正弦定理可得， ＝ ，所以 cos A＝ cos B，又A，B是△ABC内角，所以A＝B. 所以该三角形为等腰三角形. （1，2） 等腰三角形 数学·必修第四册（B版） 目 录 5. 在△ABC中，求证： ＝ . 证明：因为 ＝ ＝ ＝2R（R为△ABC外接圆半径），所以左边 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝右边. 所以等式成立. 数学·必修第四册（B版） 目 录 课时作业 03 PART 目 录 1. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝30°，c＝ 2 ，b＝2，则A＝（　　） A. 30° B. 60° C. 60°或90° D. 30°或90° 解析：　∵B＝30°，c＝2 ，b＝2，∴由正弦定理可得 sin C＝ ＝ .由C∈（0°，180°），可得C＝60°或C＝120°.又∵A＝180° －B－C，∴A＝90°或A＝30°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 2. 在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝x，b＝ 2，B＝45°，若三角形有两个解，则x的取值范围是（　　） A. x＞2 B. x＜2 C. 2＜x＜2 D. 2＜x＜2 解析：　依题意，a＞b，即x＞2，由 sin A＝ ＝ ＜1，得x＜ 2 ，所以x的取值范围是2＜x＜2 . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 3. 在△ABC中，若 sin C· sin B＝ cos 2 ，则△ABC是（　　） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 解析：　因为 sin C· sin B＝ cos 2 ＝ ，整理得到2 sin C· sin B＝1＋ cos A＝1－ cos （C＋B）＝1－ cos C cos B＋ sin C· sin B，即 cos C cos B＋ sin C· sin B＝ cos （C－B）＝1，又0＜C＜π，0＜B＜π，得到－π＜C－ B＜π，所以C－B＝0，即C＝B，故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 4. 在△ABC中，若A＜B＜C，且A＋C＝2B，最大边为最小边的2倍， 则A∶B∶C＝（　　） A. 1∶2∶3 B. 2∶3∶4 C. 3∶4∶5 D. 4∶5∶6 解析：　由A＜B＜C，且A＋C＝2B，A＋B＋C＝π，可得B＝ ，因 为最大边为最小边的2倍，所以c＝2a，所以 sin C＝2 sin A，即 sin ＝2 sin A⇒tan A＝ ，由于0＜A＜π，所以A＝ ，从而C＝ ，则 A∶B∶C＝1∶2∶3. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 5. 已知在△ABC中，∠BAC的角平分线AD与边BC相交于点D，且AC＝ 2，AB＝3，∠BAC＝60°，则AD的长为（　　） A. B. √ 解析：依题意，设AD＝x，∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC＝30°，由S△BAD＋S△CAD＝S△BAC，可得 ×3x sin 30°＋ ×2x sin 30°＝ ×2×3 sin 60°，解得x＝ .故选C. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 6. 〔多选〕在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则（　） A. a＜b sin A B. a≥b sin A C. a sin B＝b sin A D. a sin A＝b sin B 解析：对于A、B，注意到0＜ sin B≤1，又 sin A＞0，则 sin A sin B≤ sin A，然后由正弦定理边角互化可得b sin A≤a，故A错误，B正确；对于C、D，由正弦定理边角互化，ab＝ab⇒a sin B＝b sin A，故C正确；a sin A＝b sin B⇔a2＝b2，题目条件不足，无法判断.故选B、C. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 7. 已知c＝50，b＝72，C＝135°，则三角形解的个数为 ⁠. 解析：∵c＜b，∴C＜B，∴B＋C＞180°.故三角形无解. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 8. 在△ABC中，若 ＝ ＝ ，则△ABC的形状为 ⁠⁠. 解析：根据正弦定理 ＝ ＝ ， 可得 由B，C的范围可得B＝C＝45°， 故A＝90°， 则△ABC是等腰直角三角形. 等腰直角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 9. 在△ABC中，若b＝5，B＝ ，tan A＝2，则 sin A＝ 　​ 　，a ＝ ⁠. 解析：由tan A＝2，得 sin A＝2 cos A， 由 sin 2A＋ cos 2A＝1及0＜A＜π，得 sin A＝ . ∵b＝5，B＝ ， ＝ ， ∴a＝ ＝ ＝2 . ​ 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 10. 在△ABC中，已知 ＝ ，试判断△ABC的形状. 解：∵ ＝ ，a＝2R sin A，b＝2R sin B（R为△ABC外接圆的 半径）， ∴ ＝ . 又∵ sin A sin B≠0， ∴ sin A cos A＝ sin B cos B， 即 sin 2A＝ sin 2B， ∴2A＝2B或2A＋2B＝π， 即A＝B或A＋B＝ . 故△ABC是等腰三角形或直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 11. 〔多选〕在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已 知c＝6.点D满足 ＝2 ，且c sin A＝ a cos C，O是△ABC外心， 则下列判断正确的是（　　） A. C＝ B. △ABC的外接圆半径是2 C. OD＝2 D. CD的最大值为2 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 解析：　选项A，因为c sin A＝ a cos C，由正弦定 理得 sin C sin A＝ sin A cos C，又 sin A＞0，所以tan C ＝ ，而C∈（0，π），所以C＝ ，A正确；选项B， 因为c＝6，所以2R＝ ＝ ＝4 ，所以R＝2 ， B正确；选项C，取AB的中点M，如图所示，在Rt△AOM中，OM＝ ＝ ＝ ，在Rt△DOM中，DM＝1，OD＝ ＝2，C正确；选项D，CD≤CO＋OD＝2 ＋2，当且仅 当圆心O在CD上时取等号，所以CD的最大值为2 ＋2，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 12. 在△ABC中， sin 2A＝ sin 2B＋ sin 2C，且 sin A＝2 sin B· cos C. 则A ＝ ，△ABC是 三角形. 解析：设 sin A＝ ， sin B＝ ， sin C＝ ，R为△ABC外接圆的半 径.∵ sin 2A＝ sin 2B＋ sin 2C，∴ ＝ ＋ ，即a2＝b2＋ c2，故A＝90°.∴C＝90°－B， cos C＝ sin B. ∴2 sin B· cos C＝2 sin 2B＝ sin A＝1.∴ sin B＝ .∴B＝45°或B＝135°（A＋B＝225°＞ 180°，故舍去）.∴△ABC是等腰直角三角形. 90° 等腰直角 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 13. 在△ABC中，已知 ＝ ，且 cos （A－B）＋ cos C＝1－ cos 2C. （1）求证：△ABC为直角三角形； 解：证明：根据正弦定理，得 ＝ ＝ ， ∴b2－a2＝ab.　① 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 ∵ cos （A－B）＋ cos C＝1－ cos 2C， ∴ cos （A－B）－ cos （A＋B）＝2 sin 2C， ∴ sin A sin B＝ sin 2C， 由正弦定理，得ab＝c2.　② 把②代入①，得b2－a2＝c2， 即a2＋c2＝b2， ∴△ABC是直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 （2）求 的取值范围. 解：由（1）知B＝ ，∴C＝ －A， ∴ sin C＝ sin ＝ cos A. 根据正弦定理，得 ＝ ＝ sin A＋ cos A＝ sin . ∵0＜A＜ ，∴ ＜A＋ ＜ ， ∴ ＜ sin ≤1， ∴1＜ sin （ A＋ ）≤ . 即 的取值范围是（1， ]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 14. 〔多选〕已知△ABC中，AB＝4，A＝ .则（　　） A. 若BC＝2 ，则△ABC有两解 B. 若△ABC是钝角三角形，则0＜AC＜2 C. 若△ABC是锐角三角形，则2 ＜BC＜4 D. 的最大值是 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 解析：因为△ABC中，AB＝4，A＝ ，BC＝2 ，由正弦定理得 ＝ ，即 ＝ ，故 sin C＝1，所以C＝ ，故△ABC有一解，故A错误；因为A＝ ，AB＝4，△ABC为钝角三角形，当B为钝角时，AC2 ＞BC2＋AB2＞AB2＝16，即AC＞4，故B错误；因为△ABC为锐角三角 形，所以C∈（ 0， ），B∈（ 0， ），所以C∈（ ， ）， sin C∈ （ ，1）， ∈（1，2）.又因为 ＝ ，BC＝ × ＝ ∈ （2 ，4 ），故C正确；因为 ＝ ＝ sin B≤ ，当B＝ 时， 的最大值是 ，故D正确.故选C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 15. 在锐角三角形ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，（ －1） sin C＝ sin （B－C），且a＝2. （1）求B； 解：由正弦定理得（ －1） sin C＝ sin （B－C），即 sin A－ sin C＝ sin （B－C）， 所以 sin （B＋C）－ sin C＝ sin （B－C）， 即 sin B cos C＋ cos B sin C－ sin C＝ sin B cos C－ cos B sin C， 可得2 cos B sin C＝ sin C，由 sin C≠0可得 cos B＝ ，由B∈（0， ）知B ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 （2）求△ABC周长的取值范围. 解：由（1）知，B＝ ，A＋C＝ . 由正弦定理知， ＝ ＝ ，可得b＝ ，c＝ ， 故△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋ ＋ ＝2＋ ＝3＋ ＝3＋ ＝3＋ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 由△ABC是锐角三角形知，A＋B＞ ，B＋C＞ ，即A＞ ，C＞ . 又A＋C＝ ，故 ＜A＜ ， ＜ ＜ ，tan ＝ ＝ ＝2－ ， 故tan ＜tan ＜tan ，2－ ＜tan ＜1，所以3＋ ＜3＋ ＜6＋2 ， 故△ABC周长的取值范围是（3＋ ，6＋2 ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 $