9.1.1 第1课时 正弦定理-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册教用课件（人教B版）

9.1.1　正弦定理 1 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法（逻辑推理）. 2.掌握用两边及其夹角表示的三角形面积公式（数学运算）. 3.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题（直观想象）. 课标要求 第一课时　正弦定理 3 基础落实 01 典例研析 02 目录 课时作业 03 4 01 PART 基础落实 目 录 　　关于正弦定理的发现历史，一般认为是中世纪阿拉伯数学家、天文学 家阿布瓦法（940～998）提出并证明了球面三角形的正弦定理，而平面三 角形的正弦定理的证明最先是纳绥尔丁-图西（1201～1274）给出的.我国 清代数学家梅文鼎（1633～1721）在他的著作《平三角举要》中也给出了 证明，而且还给出了正弦定理的完整形式. 【问题】　三角形中的边与其所对的角的正弦值之间具有什么关系？ 　 　　　　　　 　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　　 　   数学·必修第四册（B版） 目 录 知识点一　三角形面积公式 1. S△ABC＝ 　 bc sin A　＝ 　 ac sin B　＝ 　 ab sin C　，即任意三角形的 面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的 ⁠. 2. S△ABC＝ ah，其中a为△ABC的一边长，而h为该边上的高的长. bc sin A　 ac sin B　 ab sin C　 一半　 数学·必修第四册（B版） 目 录 1. 在△ABC中，A＝45°，AB＝1，AC＝2，则S△ABC＝（　　） A. B. C. D. 2 解析：S△ABC＝ AB·AC sin A＝ ×1×2 sin 45°＝ . √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 2. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，B＝45°， S△ABC＝2，则c＝（　　） A. 4 B. 5 C. D. 5 解析：　∵a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，∴ ×1×c sin 45°＝2，解得 c＝4 . √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 知识点二　正弦定理 1. 正弦定理 文字语言 在一个三角形中，各边的长和它所对角的 ⁠的比相等 符号语言 ＝ ＝ 定理变形 设三角形的三边长分别为a，b，c，它们所对的内角分别为 A，B，C： （1）a∶b∶c＝ ∶ ∶ ⁠； （2） ＝ ＝ ＝ 正弦　 sin A　 sin B　 sin C　 数学·必修第四册（B版） 目 录 　　提醒：△ABC的三边及三内角与它的外接圆半径R之间的关系：① ＝ ＝ ＝2R；②a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；③ sin A＝ ， sin B＝ ， sin C＝ . 数学·必修第四册（B版） 目 录 2. 解三角形 （1）习惯上，我们把三角形的 与 ⁠都称为三角形的 元素； （2）已知三角形的若干元素求 一般称为解三角形. 3个角　 3条边　 其他元素　 数学·必修第四册（B版） 目 录 【想一想】 1. 利用正弦定理解三角形需要哪些条件？ 提示：需要两角和一边或两边和其中一边的对角. 2. 三角形的边角中有哪些不等关系？ 提示：（1）大角对大边：若A＞B＞C，可得a＞b＞c，则 sin A＞ sin B ＞ sin C. （2）大边对大角：若 sin A＞ sin B＞ sin C，可得a＞b＞c，则A＞B＞ C. （3）两边之和大于第三边，即a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b. （4）两边之差小于第三边，即a－b＜c，b－c＜a，c－a＜b. 数学·必修第四册（B版） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）三角形面积公式S＝ ab sin C对任意三角形都适用. （　√　） （2）正弦定理只适用于锐角三角形. （　×　） 2. 在△ABC中，一定成立的等式是（　　） A. a sin A＝b sin B B. a cos A＝b cos B C. a sin B＝b sin A D. a cos B＝b cos A 解析：由正弦定理 ＝ ，得a sin B＝b sin A，故选C. √ × √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 3. 在△ABC中，已知BC＝ ， sin C＝2 sin A，则AB＝ 　2 　. 解析：由正弦定理，得AB＝ ·BC＝2BC＝2 . 4. 在△ABC中，a＝ ，b＝ ，B＝ ，则A＝ 　 　. 解析：由正弦定理，得 sin A＝ ＝ ＝ ，又A∈（0，π），a＞ b，∴A＞B，∴A＝ 或 . 2 或 数学·必修第四册（B版） 目 录 02 PART 典例研析 目 录 题型一｜已知两角及一边解三角形 【例1】（1）在△ABC中，已知a＝18，B＝60°，C＝75°，求b的值； 解：根据三角形内角和定理，得 A＝180°－（B＋C）＝180°－（60°＋75°）＝45°. 根据正弦定理，得b＝ ＝ ＝9 . 数学·必修第四册（B版） 目 录 （2）在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b. 解：法一　∵A＝45°，C＝30°，∴B＝180°－（A＋C）＝105°. 由 ＝ 得a＝ ＝ ＝10 . ∵ sin 105°＝ sin 75°＝ sin （30°＋45°）＝ sin 30° cos 45°＋ cos 30° sin 45°＝ ， ∴b＝ ＝20× ＝5 ＋5 . 数学·必修第四册（B版） 目 录 法二　设△ABC外接圆半径为R，则2R＝ ＝ ＝20. 易知B＝180°－（A＋C）＝105°，∴a＝2R sin A＝20× sin 45°＝10 ， b＝2R sin B＝20× sin 105°＝20× ＝5 ＋5 . 数学·必修第四册（B版） 目 录 通性通法 已知两角及一边解三角形的一般步骤 数学·必修第四册（B版） 目 录 【跟踪训练】 在△ABC中，已知B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长 为 ⁠. 解析：因为B＝45°，C＝60°，所以A＝75°， 故角B最小，所以b为最短边， 由正弦定理 ＝ ， 得b＝ ＝ ＝ ， 故所求的最短边长为 . ​ 数学·必修第四册（B版） 目 录 题型二｜已知两边及一边的对角解三角形 【例2】　在△ABC中，已知c＝ ，A＝45°，a＝2，解三角形. 解：因为 ＝ ， 所以 sin C＝ ＝ ＝ ， 因为C∈ ，且c＞a，所以C＞A，所以C＝60°或C＝120°. 当C＝60°时，B＝75°，b＝ ＝ ＝ ＋1； 当C＝120°时，B＝15°，b＝ ＝ ＝ －1. 所以b＝ ＋1，B＝75°，C＝60°或b＝ －1，B＝15°，C＝120°. 数学·必修第四册（B版） 目 录 【母题探究】 （变条件，变设问）若把本例中的条件“A＝45°”变为“C＝45°”， 则角A有几个值？ 解：因为 ＝ ，所以 sin A＝ ＝ ＝ . 因为c＝ ＞2＝a，所以C＞A，所以A为小于45°的锐角，且正弦值为 ，这样的角A只有一个. 数学·必修第四册（B版） 目 录 通性通法 已知两边及一边的对角解三角形的步骤 数学·必修第四册（B版） 目 录 【跟踪训练】 1. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝10，b＝ 14，B＝ ，则 sin A＝（　　） A. － B. C. － D. 解析：根据正弦定理有 ＝ ，即 ＝ ，解得 sin A＝ .故选D. √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 2. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝ ，b＝ ，a＝3，则c＝（　　） A. 或2 B. 2 或3 C. 或3 D. 3 √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 解析：　由题意及正弦定理 ＝ ，得 ＝ ，解得 sin A＝ .又 故0＜A＜ ，于是A＝ 或A＝ ，均符合题意.当A＝ 时，C＝π－A－B＝ ，由正弦定理 ＝ ，得 ＝ ，解得c＝ 2 ；当A＝ 时，C＝π－A－B＝ ＝B，此时△ABC是等腰三角形， c＝b＝ . 数学·必修第四册（B版） 目 录 题型三｜三角形面积公式及其应用 【例3】　在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2 ，求△ABC的面积. 解：法一　在△ABC中，根据正弦定理，得 ＝ ，即 ＝ ，解得 sin B＝1. 因为0°＜B＜120°，所以B＝90°，所以C＝30°，所以△ABC的面积 S△ABC＝ ·AC·BC· sin C＝2 . 数学·必修第四册（B版） 目 录 法二　在△ABC中，根据正弦定理，得 ＝ ，所以 ＝ ， 解得 sin B＝1. 因为0°＜B＜120°，所以B＝90°，所以AB＝ ＝2，所以 △ABC的面积S△ABC＝ ·AB·BC＝2 . 数学·必修第四册（B版） 目 录 通性通法 三角形面积的两种求法 （1）若已知△ABC的两边及其夹角，则S△ABC＝ ab sin C＝ ac sin B＝ bc sin A； （2）若已知两角及一边，首先利用三角形内角和定理求第三个角，然后 利用正弦定理求另一边，再利用面积公式求面积. 数学·必修第四册（B版） 目 录 【跟踪训练】 1. 已知△ABC的面积为 ，且b＝2，c＝ ，则A的大小为（　　） A. 60°或120° B. 60° C. 120° D. 30°或150° 解析：　由S△ABC＝ bc sin A，得 ＝ ×2× × sin A，解得 sin A＝ .因为A∈（0°，180°），所以A＝60°或120°.故选A. √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 2. 在△ABC中，点D在BC边上，且BD＝2，DC＝1，B＝60°，∠ADC ＝150°，求△ABC的面积. 解：在△ABD中，∠BAD＝150°－60°＝90°， ∴AB＝BD× cos 60°＝2 cos 60°＝1，BC＝BD＋DC＝3， ∴S△ABC＝ AB×BC× sin B＝ ×1×3× sin 60°＝ . 数学·必修第四册（B版） 目 录 1. 已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，则a∶b∶c＝ （　　） A. 3∶2∶1 B. ∶2∶1 C. ∶ ∶1 D. 2∶ ∶1 解析：∵A∶B∶C＝3∶2∶1，A＋B＋C＝180°，∴A＝90°，B ＝60°，C＝30°，∴a∶b∶c＝ sin A∶ sin B∶ sin C＝1∶ ∶ ＝ 2∶ ∶1. √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 2. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝8，A＝ ，则△ABC外接圆的半径为（　　） A. 4 B. 8 C. 8 D. 解析：　设R为外接圆的半径，由正弦定理可知2R＝ ＝ ＝ ＝ 8 ，所以R＝4 . √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 3. 在△ABC中，AB＝ ，AC＝1，△ABC的面积为 ，则A ＝ ⁠. 解析：因为S△ABC＝ ·AB·AC· sin A＝ ，即 × ×1× sin A＝ ，所 以 sin A＝1，由于A∈（0°，180°），所以A＝90°. 90° 数学·必修第四册（B版） 目 录 4. 在△ABC中，a＝1，b＝ ，A＝30°，则边c的长为 ⁠. 解析：由 ＝ ，得 sin B＝ ＝ . ∵a＜b，∴B＞A＝30°，∴B＝60°或B＝120°. ①当B＝60°时，C＝180°－60°－30°＝90°. 此时，c＝ ＝ ＝2. ②当B＝120°时，C＝180°－120°－30°＝30°. 此时，c＝a＝1.综上，c＝1或c＝2. 1或2 数学·必修第四册（B版） 目 录 课时作业 03 PART 目 录 1. 在△ABC中，若 ＝ ，则B的值为（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 解析：　根据正弦定理知 ＝ ，结合已知条件可得 sin B＝ cos B， 又0°＜B＜180°，所以B＝45°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 2. 在△ABC中，已知a＝ ，b＝ ，A＝60°，则B的值为（　　） A. 45°或135° B. 45° C. 135° D. 30°或150° 解析：　∵ ＝ ，∴ ＝ ，∴ sin B＝ ，又0°＜B＜ 180°，且b＜a，∴B＜A，则B的值为45°. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 3. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 sin B＝ ，A ＝120°，且b＝2，则△ABC的面积为（　　） A. B. 2 C. 3 D. 4 解析：　∵ sin B＝ ，A＝120°，∴B＝30°，∴C＝30°，又∵b＝ 2，∴c＝b＝2.∴S△ABC＝ bc sin A＝ ×2×2× ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 4. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，c cos B＝ cos C，则C＝（　　） A. B. C. D. 解析：　由c cos B＝（2a－b） cos C得 sin C cos B＝（2 sin A－ sin B） cos C＝2 sin A cos C－ sin B· cos C，则 sin C cos B＋ sin B cos C＝2 sin A cos C，所以 sin （B＋C）＝2 sin A cos C，即 sin A＝2 sin A cos C. 因为A，C 为三角形内角，所以 sin A＞0，0＜C＜π，则 cos C＝ ，所以C＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 5. 已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝ ，A ＝75°，B＝45°，则△ABC的外接圆的面积为（　　） A. B. π C. 2π D. 4π 解析：在△ABC中，A＝75°，B＝45°，∴C＝180°－A－B＝60°.设△ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理的推广，可得2R＝ ＝ ，解得R＝1，∴△ABC的外接圆的面积S＝πR2＝π，故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 6. 〔多选〕在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝ ，a＝2，c＝2 ，则角C的大小是（　　） A. B. C. D. 解析：由正弦定理可得 ＝ ，∴ sin C＝ ＝ ，而a＜c， ∴A＜C，∴ ＜C＜ ，故C＝ 或 .故选B、D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 7. 在△ABC中，若A＝105°，C＝30°，b＝1，则c＝ ⁠. 解析：由题意，知B＝180°－105°－30°＝45°.由正弦定理，得c＝ ＝ ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 8. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝ ，b＝ 2，A＋C＝3B，则角A的大小为 ⁠. 解析：∵A＋C＝3B且A＋C＋B＝180°，∴B＝45°，由正弦定理 ＝ ，得 sin A＝ ＝ .∵0°＜A＜180°，∴A＝30°或150°.当A ＝150°时，A＋B＝195°＞180°，与三角形内角和为180°矛盾，舍 去，∴A＝30°. 30° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 9. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，又知a＝1，A＝ 60°，c＝ ，则△ABC的面积为 　 　. 解析：由正弦定理得 ＝ ，即 ＝ ，解得 sin C＝ .又因为c＜ a，所以C＜A，且0°＜C＜180°，所以C＝30°，故B＝90°，所以S ＝ ac＝ ×1× ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 10. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且b＝6，a＝ 2 ，A＝30°，求ac的值. 解：由正弦定理 ＝ 得， sin B＝ ＝ ＝ . 又b＝6＞a＝2 ，故B＞A， ∴B＝60°或B＝120°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 （1）当B＝60°时， C＝180°－A－B＝180°－30°－60°＝90°. 在Rt△ABC中，C＝90°，a＝2 ，b＝6，c＝4 ， ∴ac＝2 ×4 ＝24. （2）当B＝120°时， C＝180°－A－B＝180°－30°－120°＝30°， ∴A＝C，则有a＝c＝2 . ∴ac＝2 ×2 ＝12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 11. 〔多选〕在△ABC中，若B＝ ，角B的平分线BD交AC于D，且BD ＝BC＝2，则下列说法正确的是（　　） A. AB的值是 ＋1 B. △ABC的外接圆半径是2 C. △ABC的面积是 D. ＝ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 解析：因为BD为∠ABC的平分线，B＝ ，所以∠ABD＝ ∠CBD＝ .因为BD＝BC＝2，则C＝∠BDC＝ ，则 A＝ .因为 sin C＝ sin ＝ sin （ ＋ ）＝ sin cos ＋ cos sin ＝ × ＋ × ＝ ，由正弦定理得 ＝ ＝ ＝2 ，所以AB＝2 × sin ＝2 × ＝ ＋1，S△ABC＝ AB·BC sin ∠ABC＝ ×（1＋ ）×2× ＝ ，故A、C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 若BD＝BC＝2，A＝ ，由正弦定理可知，△ABC的外接圆直径为2R＝ ＝ ＝2 ，所以△ABC的外接圆半径为 ，故B错误；若BD＝BC ＝2，由正弦定理得 ＝ ， ＝ ，因为∠ADB与∠BDC 互补，所以 sin ∠ADB＝ sin （π－∠ADB）＝ sin ∠BDC，可得 ＝ ＝ ，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 12. 已知△ABC中，AB＝ ，BC＝1， sin C＝ cos C，则 sin A ＝ 　​ 　，△ABC的面积为 　​ 　. 解析：由 sin C＝ cos C，得tan C＝ ，所以C＝ . 根据正弦定理可得 ＝ ，解得 sin A＝ . 因为AB＞BC，所以A＜C，所以A＝ . 所以B＝ ，所以△ABC为直角三角形. 所以S△ABC＝ × ×1＝ . ​ ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 13. 在△ABC中，AB＝6，BC＝5. （1）若C＝2A，求 sin A的值； 解：因为C＝2A，所以 sin C＝ sin 2A＝2 sin A cos A， 所以 cos A＝ ，在△ABC中，由正弦定理得 ＝ ，而AB＝6，BC ＝5，所以 cos A＝ ＝ .因为A∈（0，π），所以 sin A＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 （2）若△ABC为锐角三角形， cos A＝ ，求△ABC的面积. 解：在△ABC中，因为 cos A＝ ，所以 sin A＝ ＝ ＝ . 由正弦定理得 ＝ ，所以 sin C＝ sin A＝ × ＝ . 因为△ABC为锐角三角形，所以 cos C＝ ＝ ＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 所以 sin B＝ sin [π－（A＋C）]＝ sin （A＋C）＝ sin A cos C＋ cos A sin C ＝ × ＋ × ＝ ， 所以△ABC的面积S△ABC＝ ×AB×BC× sin B＝ ×6×5× ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 14. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积S△ABC＝ · ＝ ， sin B＝ cos A sin C，则边长c为（　　） A. 1 B. C. D. 2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 解析：　因为S△ABC＝ · ＝ cb cos A＝ ，又S△ABC＝ cb sin A，所以 cb cos A＝ cb sin A，即tan A＝ .因为A为三角形内角，所以 A＝30°，又 cb cos A＝ ，所以bc＝2 .由 sin B＝ cos A sin C得 sin （A＋C）＝ cos A sin C，即 sin A cos C＋ cos A sin C＝ cos A sin C，所以 sin A· cos C＝0，即 cos C＝0，所以C＝90°，因此B＝60°，故 sin B＝ ＝ ，即b＝ c.因为bc＝ c2＝2 ，所以c＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 15. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知A＝ ， b2－a2＝ c2. （1）求tan C的值； 解：由b2－a2＝ c2，A＝ 及正弦定理得 sin 2B－ ＝ sin 2C，∴－ cos 2B＝ sin 2C. 又由A＝ ，得B＋C＝ ，2B＝ π－2C， ∴－ cos 2B＝ sin 2C＝2 sin C cos C＝ sin 2C. 又∵ sin C≠0，∴tan C＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 （2）若△ABC的面积为3，求b的值. 解：由tan C＝2，C∈（0，π），得 sin C＝ ， cos C＝ . ∵ sin B＝ sin （A＋C）＝ sin ，∴ sin B＝ . 由正弦定理，得c＝ . 又A＝ ， bc sin A＝3，∴bc＝6 ，∴b＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 $