8.2.3 倍角公式(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

8.2.3　倍角公式 1.＝（　　） A.　　　B.　　　　C.1　　　D.－1 2.若tan α＝3，则＝（　　） A.2 B.3 C.4 D.6 3.设f（tan x）＝tan 2x，则f（2）的值等于（　　） A. B.－ C.－ D.4 4.〔多选〕已知sin＝，则的值可以为（　　） A. B. C.－ D.－ 5.在△ABC中，若sin Bsin C＝cos2，则△ABC是（　　） A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 6.已知α∈（ 0，），若sin（ ＋2α）＋cos（ α－）＝0，则α＝（　　） A. B. C. D. 7.（2025·厦门期末）＝　　　　　. 8.已知sin ＋cos ＝，那么sin θ＝　　　　，cos 2θ＝　　　　. 9.已知函数f（x）＝sin 2x＋2sin2x＋n在［0，］上的最大值为1＋2，则n＝　　　　. 10.已知cos＝，α∈. 求：（1）cos α－sin α的值；（2）cos的值. 11.〔多选〕已知函数f（x）＝是奇函数，则有（　　） A.函数f（x）的图象关于直线x＝对称 B.函数f（x）的图象关于点对称 C.函数f（x）是奇函数 D.函数f（x）的最小正周期为π 12.已知α，β为锐角，且1－cos 2α＝sin αcos α，tan（β－α）＝，则tan α＝　　　　，β＝　　　　. 13.已知函数f（x）＝2sin xcos x＋cos2x－sin2x＋a（x∈R）的最小值为1. （1）求a的值和f（x）的最小正周期； （2）求f（x）在[0，π]上的单调递增区间； （3）若∃x∈［，］，f（x）＋m＜0成立，求m的取值范围. 14. 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形）.如图所示，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，在其中一个黄金三角形ABC中，＝.根据这些信息，可得cos 324°＝　　　　. 15.某学习小组在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数. cos215°＋cos215°－sin 15°sin 15°； cos280°＋cos2（－50°）－sin 80°sin（－50°）； cos2170°＋cos2（－140°）－sin 170°sin（－140°）. （1）求出这个常数； （2）结合（1）的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.2.3　倍角公式 1.A　原式＝＝＝. 2.D　＝＝＝2tan α＝6. 3.B　因为f（tan x）＝，所以f（2）＝＝－.故选B. 4.BD　因为＝＝，由sin＝，得（sin θ－cos θ）＝，两边平方得sin 2θ＝，所以cos 2θ＝±.所以原式＝＝±，故选B、D. 5.B　由sin B sin C＝cos2得sin Bsin C＝， ∴2sin Bsin C＝1＋cos A， ∴2sin Bsin C＝1＋cos[π－（B＋C）]＝1－cos（B＋C）， ∴2sin Bsin C＝1－cos Bcos C＋sin Bsin C， ∴cos Bcos C＋sin Bsin C＝1，∴cos（B－C）＝1. 又∵－180°＜B－C＜180°，∴B－C＝0°， ∴B＝C，∴△ABC是等腰三角形. 6.A　因为sin（ ＋2α）＝－cos 2α，所以－cos 2α＋cos（ α－）＝0，即cos 2α＝cos（ α－），即cos2α－sin2α＝（cos α＋sin α）.又因为α∈（ 0，），所以cos α＋sin α＞0，所以cos α－sin α＝，即cos（ α＋）＝.又α∈（ 0，），所以α＋∈（ ，），所以α＋＝，所以α＝. 7.　解析：＝ ＝＝. 8.　　解析：∵sin ＋cos ＝，∴＝，即1＋2sin cos ＝，∴sin θ＝，∴cos 2θ＝1－2sin2θ＝1－2×＝. 9.1　解析： f（x）＝sin 2x＋2sin2x＋n＝sin 2x＋（1－cos 2x）＋n＝2sin（ 2x－）＋＋n，当x∈［0，］时，2x－∈［－，］，所以sin（ 2x－）∈［－，］，所以f（x）max＝2×＋＋n＝1＋2，所以n＝1. 10.解：（1）因为cos＝，α∈， 所以＝，cos α＋sin α＝，平方化简可得sin 2α＝－，又α∈， 所以sin α＞0，cos α＜0，cos α－sin α＝－ ＝－＝－. （2）cos＝cos 2α－sin 2α ＝（cos α＋sin α）（cos α－sin α）－sin 2α＝. 11.BCD　因为f（x）＝＝＝－tan x，所以函数f（x）是周期为π的奇函数，图象关于点对称，故选B、C、D. 12.　　解析：由1－cos 2α＝sin αcos α，得1－（1－2sin2α）＝sin αcos α，即2sin2α＝sin αcos α.∵α为锐角，∴sin α≠0，∴2sin α＝cos α，即tan α＝. 法一　由tan（β－α）＝＝＝，得tan β＝1.∵β为锐角，∴β＝. 法二　tan β＝tan（β－α＋α）＝＝＝1.∵β为锐角，∴β＝. 13.解：（1）f（x）＝sin 2x＋cos 2x＋a＝2sin（ 2x＋）＋a， 由题意－2＋a＝1，解得a＝3，f（x）的最小正周期T＝＝π. （2）令2x＋＝t，x∈[0，π]，则t∈［，］. 因为y＝2sin t＋a，t∈［，］的单调递增区间是［，］，［，］， 由≤2x＋≤，得0≤x≤；≤2x＋≤，得≤x≤π. 所以f（x）在[0，π]上的单调递增区间是［0，］，［，π］. （3）由题意知，[f（x）＋m]min＜0，即[f（x）]min＋m＜0. 当x∈［，］时，2x＋∈［，］， 所以当2x＋＝，即x＝时，f（x）min＝f（ ）＝2sin＋3， 所以2sin＋3＋m＜0，即m＜－4，所以m的取值范围是（－∞，－4）. 14.　解析：由题图知，A＝36°，则A＝18°，sin 18°＝×＝×＝，∴cos 36°＝1－2sin218＝1－2×＝，∴cos 324°＝cos（360°－36°）＝cos 36°＝. 15.解：（1）cos215°＋cos215°－sin 15°sin 15° ＝2cos215°－sin215°＝1＋cos 30°－（1－cos 30°）＝1＋－×＝. 同理，其他两式的值是. （2）推广：当α＋β＝30°时，cos2α＋cos2β－sin αsin β＝. 证明：cos2α＋cos2β－sin αsin β ＝cos2α＋cos2（30°－α）－ sin αsin（30°－α） ＝cos2α＋－ sin α（cos α－sin α） ＝cos2α＋cos2α＋cos αsin α＋sin2α－cos α sin α＋sin2α＝cos2α＋sin2α＝. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $