8.2.2 第1课时 两角和与差的正弦(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

8.2.2　两角和与差的正弦、正切 第一课时　两角和与差的正弦 1.C　cos 105°cos 45°＋cos 15°sin 45°＝cos（90°＋15°）cos 45°＋cos 15°sin 45°＝－sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°＝sin 45°cos 15°－cos 45°sin 15°＝sin（45°－15°）＝sin 30°＝. 2.CD　∵cos（－15°）＝cos 15°＝cos（45°－30°）＝cos 45°·cos 30°＋sin 45°·sin 30°＝，故A错.∵cos 15°sin 105°－sin 15°cos 105°＝sin 105°cos 15°－cos 105°·sin 15°＝sin（105°－15°）＝sin 90°＝1，故B错.C、D正确. 3.A　原式＝sin θ＋sin θcos ＋cos θsin ＋sin θcos ＋cos θsin ＝sin θ－sin θ＋cos θ－sin θ－cos θ＝0. 4.D　f（x）＝sin，∵f（x）是奇函数，∴f（0）＝sin＝0，∴θ＝kπ＋，k∈Z.∵f（x）在上是减函数，∴k为奇数.当k＝1时，θ＝π. 5.C　由＜β＜π，cos β＝－得sin β＝.又0＜α＜＜β＜π，所以＜α＋β ＜，所以cos（α＋β）＝－＝－＝－.所以sin α＝sin[（α＋β）－β]＝sin（α＋β）cos β－cos（α＋β）sin β＝×＋×＝，故选C. 6.BCD　f（x）＝sin x＋cos x＝2（ sin x＋cos x）＝2sin（ x＋），g（x）＝sin x－cos x＝2（ sin x－cos x）＝2sin（ x－），令x＋＝kπ＋，k∈Z，可得x＝kπ＋，k∈Z，所以函数f（x）的对称轴方程为x＝kπ＋，k∈Z，令x－＝kπ＋，k∈Z，可得x＝kπ＋，k∈Z，所以函数g（x）的对称轴方程为x＝kπ＋，k∈Z，函数f（x）与g（x）的图象的对称轴不相同，A错误；函数f（x）的最小正周期为2π，函数g（x）的最小正周期为2π，f（x）与g（x）有相同的最小正周期，B正确；将f（x）图象向右平移个单位，可得函数y＝2sin（ x－＋）＝2sin（ x－）的图象，C正确；令f（x）＝g（x）可得2sin（ x＋）＝2sin（ x－），所以sin（ x－＋）＝sin（ x－），所以tan（ x－）＝1，又x∈（0，π），所以x－＝，故x＝，D正确. 7.　　解析：因为cos θ＝，所以sin θ＝＝，所以sin＝sin θcos＋cos θsin＝×＝；sin（θ－）＝sin θcos－cos θsin＝×－×＝. 8.[2，6]　解析：∵sin x＋cos x＝4－m，∴sin x＋cos x＝，∴sin sin x＋cos cos x＝，∴cos＝， ∵≤1，∴≤1，∴2≤m≤6. 9.等腰三角形　解析：因为2cos Bsin A＝sin C，所以2cos Bsin A＝sin（A＋B）＝sin Acos B＋cos Asin B，所以cos Bsin A－cos Asin B＝0⇒sin（A－B）＝0.因为角A，B，C为△ABC的内角，所以A＝B. 10.解：因为 ＜α－β＜π，cos（α－β）＝－， 所以sin（α－β）＝. 因为＜α＋β＜2π，sin（α＋β）＝－， 所以cos（α＋β）＝. 所以cos 2β＝cos [（α＋β）－（α－β）]＝cos（α＋β）cos（α－β）＋sin（α＋β）sin（α－β）＝×＋×＝－1. 因为＜α－β＜π，＜α＋β＜2π， 所以＜2β＜，2β＝π，所以β＝. 11.C　∵sin（α－β）＝，∴sin αcos β－cos αsin β＝.∵tan α＝3tan β，∴＝，∴sin αcos β＝3cos αsin β，∴sin αcos β＝，cos αsin β＝，∴sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β＝1.∵α，β∈（ 0，），∴α＋β∈（0，π），故α＋β＝. 12.1　－1　解析：因为f（x）＝sin（x＋2φ）－2sin φcos（x＋φ）＝sin[（x＋φ）＋φ]－2sin φcos（x＋φ）＝sin（x＋φ）cos φ－sin φ·cos（x＋φ）＝sin x，所以函数f（x）的最大值为1，最小值为－1. 13.解：（1）因为tan α＝， 即 解得或又α∈（ 0，），所以 则sin（ α－）＝sin αcos－cos αsin＝×－×＝－. （2）因为α∈（ 0，），β∈（ ，π），所以α－β∈（－π，0）， 又cos（α－β）＝，所以α－β∈（ －，0），所以sin（α－β）＝－＝－， 所以sin β＝sin[α－（α－β）]＝sin αcos（α－β）－cos αsin（α－β）＝×－×（ －）＝. 14.C　sin β＝sin[α－（α－β）]＝sin αcos（α－β）－cos αsin（α－β），由已知cos α＝，cos（α－β）＝，0＜β＜α＜，可知sin α＝，sin（α－β）＝，代入上式得sin β＝×－×＝＝，所以β＝. 15.解：由题意得f（x）＝a·b＝sin x－cos x＋1＝2sin＋1. （1）f（x）的最小正周期T＝2π， 令x－＝kπ（k∈Z），则x＝kπ＋（k∈Z）， 又f＝2sin（kπ）＋1＝1， 因此函数f（x）的对称中心为，k∈Z. （2）f＝2sin＋1＝2sin α＋1＝⇒sin α＝. ∵α∈，∴cos α＝. ∵α∈，β∈（0，π），∴α＋β∈. 又sin（α＋β）＝－＜0，∴α＋β∈， ∴cos（α＋β）＝－， ∴sin（2α＋β）＝sin[（α＋β）＋α]＝sin（α＋β）cos α＋cos（α＋β）sin α＝－×＋×＝－. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一课时　两角和与差的正弦 1.cos 105°cos 45°＋cos 15°sin 45°＝（　　） A.－　　　B.－　　　C.　　　D. 2.〔多选〕下列四个选项，化简正确的是（　　） A.cos（－15°）＝ B.cos 15°sin 105°－sin 15°cos 105°＝sin（15°－105°）＝－1 C.cos（α－35°）cos（α＋25°）＋sin（α－35°）sin（α＋25°）＝cos[（α－35°）－（α＋25°）]＝cos（－60°）＝cos 60°＝ D.sin（x＋y）sin（y－x）－cos（x＋y）cos（x－y）＝－[cos（x＋y）cos（x－y）＋sin（x＋y）sin（x－y）]＝－cos[（x＋y）－（x－y）] 3.sin θ＋sin＋sin的值为（　　） A.0 B. C.1 D.2 4.已知f（x）＝sin（3x＋θ）－cos（3x＋θ）是奇函数，且在上是减函数，则θ的一个值是（　　） A. B.π C.π D.π 5.若0＜α＜＜β＜π，且cos β＝－，sin（α＋β）＝，则sin α的值是（　　） A. B. C. D. 6.〔多选〕对于函数f（x）＝sin x＋cos x，g（x）＝sin x－cos x，则（　　） A.f（x）与g（x）的图象有相同的对称轴 B.f（x）与g（x）有相同的最小正周期 C.将f（x）图象向右平移个单位，可得到g（x）图象 D.f（x）图象与g（x）图象在（0，π）上只有一个交点 7.已知cos θ＝，则sin的值为　　　　，sin的值为　　　　. 8.若sin x＋cos x＝4－m，则实数m的取值范围为　　　　. 9.已知△ABC的内角为A，B，C.若2cos Bsin A＝sin C，则△ABC的形状一定是　　　　. 10.已知cos（α－β）＝－，sin（α＋β）＝－，＜α－β＜π，＜α＋β＜2π，求β的值. 11.已知α，β∈（ 0，），sin（α－β）＝，tan α＝3tan β，则α＋β＝（　　） A. B. C. D. 12.函数f（x）＝sin（x＋2φ）－2sin φ cos（x＋φ）的最大值为　　　　，最小值为　　　　. 13.已知α∈（ 0，），β∈（ ，π），tan α＝，cos（α－β）＝. （1）求sin（ α－）； （2）求sin β. 14.已知cos α＝，cos（α－β）＝，且0＜β＜α＜，那么β＝（　　） A. B. C. D. 15.已知向量a＝（sin x，cos x－1），b＝（，－1），设f（x）＝a·b. （1）求函数f（x）的最小正周期和对称中心； （2）已知α为锐角，β∈（0，π），f＝，sin（α＋β）＝－，求sin（2α＋β）的值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $