7.3.1 第1课时 正弦函数的性质(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

7.3　三角函数的性质与图象 7.3.1　正弦函数的性质与图象 第一课时　正弦函数的性质 1.B　函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称，且f（－x）＝f（x），故f（x）为偶函数. 2.D　当0≤x≤时，0≤sin x≤1，∴3≤－2sin x＋5≤5.故选D. 3.D　y＝－sin x－7的单调递减区间与y＝sin x的单调递增区间相同. 4.D　由已知，函数f（x）既是偶函数又是周期函数，f（x）的最小正周期是π，当x∈［0，）时，f（x）＝sin x，所以f（ ）＝f（ －2π）＝f（ －）＝f（ ）＝sin＝. 5.A　法一　易知y＝sin x在R上为奇函数，∴f（0）＝0，∴a＝0. 法二　∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x），即sin（－x）－｜a｜＝－sin x＋｜a｜，－sin x－｜a｜＝－sin x＋｜a｜.∴｜a｜＝0，即a＝0. 6.AC　当a＞0时，由条件知∴当a＜0时，由条件知∴故选A、C. 7.偶函数　解析：f（－x）＝[sin（－x）]2＋1＝sin2x＋1＝f（x），所以f（x）为偶函数. 8.＞　解析：因为－＞－，且y＝sin x在内为增函数，所以sin＞sin. 9.[1，＋∞）　解析：由不等式cos2x＋2sin x－1－m≤0在［－，］上恒成立可得m≥（cos2x＋2sin x－1）max.令y＝cos2x＋2sin x－1，可得y＝－sin2x＋2sin x＝－（sin x－1）2＋1，若x∈［－，］，则sin x∈［－，1］，由二次函数性质可得y＝－（sin x－1）2＋1∈［－，1］，因此（cos2x＋2sin x－1）max＝1，所以m≥1. 10.解：当x∈时，3π－x∈， ∵当x∈时，f（x）＝1－sin x， ∴f（3π－x）＝1－sin（3π－x）＝1－sin x. 又∵f（x）是以π为周期的偶函数， ∴f（3π－x）＝f（－x）＝f（x）. ∴f（x）的解析式为f（x）＝1－sin x，x∈. 11.D　∵α，β∈，∴－α∈.∵cos α＞sin β， ∴sin＞sin β.∵y＝sin x在上是增函数，∴－α＞β，即α＋β＜. 12.ACD　对于A，根据对数函数的性质，对数中的真数大于0，即sin x＞0.解不等式sin x＞0，得2kπ＜x＜（2k＋1）π，k∈Z.因为y＝sin x的最小正周期是2π，且f（x）＝lg（sin x）的定义域是2kπ＜x＜（2k＋1）π，k∈Z，所以f（x）是周期函数，最小正周期为2π，A正确.对于B，函数f（x）＝lg（sin x）的定义域为（2kπ，（2k＋1）π），k∈Z，定义域不关于原点对称，所以f（x）不是奇函数，B错误.对于C，因为0＜sin x≤1，当x∈（2kπ，（2k＋1）π），k∈Z时，令u＝sin x，则y＝lg u在（0，1]上单调递增，当sin x＝1时，f（x）取得最大值lg 1＝0，无最小值，C正确.对于D，令t＝sin x，y＝lg t.y＝lg t在（0，＋∞）上单调递增.t＝sin x在（ 2kπ，2kπ＋）（k∈Z）上单调递增，且sin x＞0在此区间成立.根据复合函数“同增异减”的原则，函数f（x）＝lg（sin x）在（ 2kπ，2kπ＋）（k∈Z）上单调递增，D正确. 13.解：（1）∵ymax＝1－a，∴a＜0， 故ymin＝1＋a＝－3，∴a＝－4，∴y＝－4sin x＋1. （2）当＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z时，函数y＝－4sin x＋1递增， ∴y＝－4sin x＋1的递增区间为（k∈Z）. （3）∵x∈[－π，π]，（k∈Z）∩[－π，π]＝∪. ∴当x∈[－π，π]时，y＝－4sin x＋1的递增区间为，. 14.[2kπ－π，2kπ]（k∈Z）　［2kπ－，2kπ］（k∈Z）　解析：由－2sin x≥0，得sin x≤0，∴2kπ－π≤x≤2kπ（k∈Z），即函数的定义域是[2kπ－π，2kπ]（k∈Z）.∵y＝与y＝sin x的单调性相反，∴函数的单调递减区间为［2kπ－，2kπ］（k∈Z）. 15.解：（1）由题意f（x）＝2cos2x－asin x－1＝－2sin2x－asin x＋1，令t＝sin x，t∈[－1，1]， 令g（t）＝－2t2－at＋1， 当a＝1时，g（t）＝－2t2－t＋1，对称轴t＝－，所以g（－1）＝0，g（1）＝－2， g（ －）＝－2×（ －）2－（ －）＋1＝，所以g（t）∈［－2，］，故f（x）的值域为［－2，］. （2）对于方程－2t2－at＋1＝0，Δ＝a2＋8＞0，记g（t）＝－2t2－at＋1的两零点为t1＜0，t2＞0， g（－1）＝－1＋a，g（0）＝1，g（1）＝－a－1， 当g（1）＞0，即a＜－1时，则t2＞1，f（x）无零点； 当g（1）＝0，即a＝－1时，则t2＝1，f（x）有1个零点； 当g（1）＜0，即a＞－1时，则t2＜1，f（x）有2个零点. （3）由（1）（2）知，g（t）＝－2t2－at＋1有两个零点t1＜0，t2＞0， 当t1＝－1，即a＝1时，得t2＝，f（x）在（0，2kπ）（k为正整数）内零点个数为3k， 在（0，（2k＋1）π）（k为正整数）内零点个数为3k＋2，因为2 025＝3×675，所以n＝675×2＝1 350； 当t2＝1，即a＝－1时，t1＝－，f（x）在（0，2kπ）（k为正整数）内零点个数为3k， 在（0，（2k＋1）π）（k为正整数）内零点个数为3k＋1，因为2 025＝3×675，所以n＝675×2＝1 350； 当a＜－1时，则－1＜t1＜0，t2＞1，f（x）在（0，2kπ）和（0，（2k＋1）π）（k为正整数）内零点个数均为2k，此时没有满足题意的n； 当－1＜a＜1时，则－1＜t1＜0，0＜t2＜1，f（x）在（0，kπ）（k为正整数）内零点个数均为2k，此时没有满足题意的n； 当a＞1，则t1＜－1，0＜t2＜1，f（x）在（0，2kπ）和（0，（2k－1）π）（k为正整数）内零点个数均为2k，此时没有满足题意的n. 综上，n的所有可能取值为1 350. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一课时　正弦函数的性质 1.函数f（x）＝是（　　） A.奇函数　　　　　　　B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数 2.函数y＝－2sin x＋5，x∈的值域是（　　） A.[3，7] B.[5，7] C.[－7，5] D.[3，5] 3.函数y＝－sin x－7的单调递减区间是（　　） A.[2kπ，2kπ＋π]（k∈Z） B.[2kπ－π，2kπ]（k∈Z） C.（k∈Z） D.（k∈Z） 4.定义在R上的函数f（x）既是偶函数，又是周期函数，若f（x）的最小正周期为π，且当x∈［0，）时，f（x）＝sin x，则f（ ）等于（　　） A.－ B. C.－ D. 5.已知a∈R，函数f（x）＝sin x－｜a｜，x∈R为奇函数，则a等于（　　） A.0 B.1 C.－1 D.±1 6.〔多选〕已知函数f（x）＝2asin x＋a＋b的定义域是，值域为[－5，－1]，则a，b的值为（　　） A.a＝2，b＝－7 B.a＝－2，b＝2 C.a＝－2，b＝1 D.a＝1，b＝－2 7.函数f（x）＝sin2x＋1的奇偶性是　　　　. 8.sin　　　　sin（填“＞”“＜”或“＝”）. 9.不等式cos2x＋2sin x－1－m≤0在［－，］上恒成立，则实数m的取值范围是　　　　. 10.已知f（x）是以π为周期的偶函数，且x∈时，f（x）＝1－sin x，求当x∈时，f（x）的解析式. 11.已知α，β∈，且cos α＞sin β，则α＋β与的大小关系为（　　） A.α＋β≥ B.α＋β＞ C.α＋β≤ D.α＋β＜ 12.〔多选〕已知函数f（x）＝lg （sin x），则（　　） A.函数f（x）是周期函数，最小正周期为2π B.函数f（x）是奇函数 C.函数f（x）有最大值，无最小值 D.函数f（x）在（ 2kπ，2kπ＋）（k∈Z）上单调递增 13.函数y＝asin x＋1的最大值为1－a，最小值为－3. （1）求实数a的值； （2）求该函数的单调递增区间； （3）若x∈[－π，π]，求该函数的递增区间. 14.函数y＝的定义域是　　　　，单调递减区间是　　　　. 15.（2025·杭州期末）设a为常数，函数f（x）＝2cos2x－asin x－1. （1）当a＝1时，求f（x）的值域； （2）讨论f（x）在区间（0，π）上的零点的个数； （3）设n为正整数，f（x）在区间（0，nπ）上恰有2 025个零点，求所有可能的正整数n的值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $