7.3.1 第2课时 正弦函数的图象(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦正弦函数的图象这一核心知识点，从简谐运动实验切入，引导学生从直观印象过渡到精确作图，通过“五点法”提炼关键作图技巧，进而探究正弦曲线的对称性及应用，构建从具体情境到抽象性质的学习支架。 资料以实验情境激发兴趣，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力，通过“五点法”作图步骤训练数学思维，结合例题与练习提升用数学语言解决问题的能力。课中助力教师引导探究，课后练习题帮助学生巩固知识、查漏补缺。

第二课时　正弦函数的图象 将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆（如图所示）.在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板.这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象.物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”.它表示了漏斗对平衡位置的位移s（纵坐标）随时间t（横坐标）变化的情况. 【问题】　（1）通过上述实验，你对正弦函数图象的直观印象是怎样的？ （2）你能比较精确地画出y＝sin x在[0，2π]上的图象吗？ （3）以上方法作图虽然精确，但太麻烦，有没有快捷画y＝sin x，x∈[0，2π]图象的方法？你认为图象上哪些点是关键点？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　正弦函数的图象 1.正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：（0，0），　　　　，（π，0），　　　　，（2π，0）. 2.正弦曲线是轴对称图形，对称轴为　　　 　；正弦曲线也是中心对称图形，且对称中心为　　　　　　. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数y＝sin x的图象关于y轴对称.（　　） （2）正弦函数的图象向左右是无限伸展的.（　　） （3）正弦函数y＝sin x的图象在x∈[2kπ，2kπ＋2π]（k∈Z）上的图象形状相同，只是位置不同.（　　） 2.下列图象中，符合y＝－sin x在[0，2π]上的图象的是（　　） 3.点M在函数y＝sin x的图象上，则m＝　　　　. 题型一｜“五点法”作正弦曲线 【例1】　用“五点法”作出下列函数的简图： （1）y＝－sin x－1（0≤x≤2π）； （2）y＝｜sin x｜，x∈R. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 　　用“五点法”作函数y＝Asin x＋B（A≠0）在[0，2π]上的简图的步骤 （1）列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 y＝Asin x＋B B A＋B B －A＋B B （2）描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：（0，B），，（π，B），，（2π，B），这里的y是通过函数式计算得到的； （3）连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，不要用线段进行连接. 注意：作图时一定要找准这五个关键点，这是“五点法”作图的关键所在. 【跟踪训练】 用“五点法”画出函数y＝2sin x在区间[0，2π]上的图象. 题型二｜正弦函数图象的简单应用 【例2】　求函数y＝log3的定义域. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 利用三角函数图象解sin x＞a的三个步骤 （1）作出直线y＝a，y＝sin x的图象； （2）确定sin x＝a的x值； （3）确定sin x＞a的解集. 注意：解三角不等式sin x＞a，如果不限定范围时，一般先利用图象求出x∈[0，2π]范围内x的取值范围，然后根据终边相同角的同一三角函数值相等，写出原不等式的解集. 【跟踪训练】 　方程｜sin x｜－lg x＝0的根的个数是（　　） A.5　　　B.4　　　　C.3　　　D.2 题型三｜正弦曲线的对称性 【例3】　求函数y＝2sin x＋1的图象的对称中心和对称轴. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 正弦函数y＝sin x的对称性 　　对称中心：点（kπ，0）（k∈Z），对称轴：直线x＝kπ＋（k∈Z），要明确两者的不同. 【跟踪训练】 　〔多选〕函数y＝sin x与y＝sin（－x）的图象关于（　　） A.x轴对称 B.y轴对称 C.直线y＝x对称 D.直线x＝对称 1.以下对于正弦函数y＝sin x的图象描述不正确的是（　　） A.在x∈[2kπ，2kπ＋2π]，k∈Z上的图象形状相同，只是位置不同 B.关于x轴对称 C.介于直线y＝1和y＝－1之间 D.与y轴仅有一个交点 2.已知a是实数，则函数f（x）＝1＋asin ax的图象不可能是（　　） 3.函数f（x）＝[x]表示不超过x的最大整数，例如，[－3.5]＝－4，[2.1]＝2，则方程[x]－sin x＝0的零点个数为（　　） A.0　　　B.1　　　C.2　　　D.3 4.y＝1＋sin x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝2的交点个数是（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 5.若关于x的方程sin x＝在［，π］上有两个实数解，求a的取值范围. 提示：完成课后作业　第七章　7.3　7.3.1　第二课时 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二课时　正弦函数的图象 【基础落实】 知识点 1.　　2.x＝＋kπ（k∈Z）　（kπ，0）（k∈Z） 自我诊断 1.（1）×　（2）√　（3）√ 2.D　把y＝sin x，x∈[0，2π]上的图象关于x轴对称，即可得到y＝－sin x，x∈[0，2π]上的图象，故选D. 3.－1　解析：由题意－m＝sin ，∴－m＝1，∴m＝－1. 【典例研析】 【例1】　解：（1）找关键的五个点，列表如下： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 －sin x 0 －1 0 1 0 －sin x－1 －1 －2 －1 0 －1 描点作图，如图： （2）找关键的五个点，列表如下： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 ｜sin x｜ 0 1 0 1 0 描点并用光滑的曲线将它们连接起来，通过平移得到y＝｜sin x｜，x∈R的图象，如图所示. 跟踪训练 　解：按五个关键点列表如下： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 2sin x 0 2 0 －2 0 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示. 【例2】　解：要使函数有意义，则sin x＞，作出y＝sin x在[0，2π]内的图象如图所示. 由图象知，在[0，2π]内使sin x＞的x的取值范围是. 故原函数的定义域为 （k∈Z）. 跟踪训练 　A　画出函数f（x）＝｜sin x｜和y＝lg x的图象， 因为｜sin x｜≤1，lg 10＝1，结合图象可得函数f（x）＝｜sin x｜与函数y＝lg x图象的交点个数是5. 【例3】　解：由正弦函数的对称性可知z＝sin x的对称中心为（kπ，0），k∈Z， 作出y＝2sin x＋1的图象如图所示. 结合正弦函数的对称性可知y＝2sin x＋1的图象的对称中心是（kπ，1）（k∈Z），对称轴是直线x＝kπ＋（k∈Z）. 跟踪训练 　AB　∵函数y＝f（x）与y＝f（－x）的图象关于y轴对称，∴函数y＝sin x与y＝sin（－x）的图象关于y轴对称.∵函数y＝f（x）与y＝－f（x）的图象关于x轴对称，y＝sin（－x）＝－sin x，∴函数y＝sin x与y＝sin（－x）的图象关于x轴对称. 随堂检测 1.B　观察y＝sin x图象可知A、C、D项正确，且关于原点中心对称，故选B. 2.D　当a＝0时，f（x）＝1，选项C符合；当0＜｜a｜＜1时，T＞2π，f（x）的最大值小于2，选项A符合；当｜a｜＞1时，T＜2π，f（x）的最大值大于2，选项B符合.排除选项A、B、C，故选D. 3.C　由题，[x]＝sin x，故－1≤x＜0时，[x]＝－1，y＝[x]与y＝sin x的图象没有交点，当x＜－1时，[x]≤－2，y＝[x]与y＝sin x的图象没有交点，当0≤x＜1时，[x]＝0，y＝[x]与y＝sin x的图象有一个交点，当1≤x＜2时，[x]＝1，y＝[x]与y＝sin x的图象有1个交点，当2≤x时，[x]≥2，y＝[x]与y＝sin x的图象没有交点，故y＝[x]与y＝sin x的图象共有2个交点，故选C. 4.B　由五点法作出函数y＝1＋sin x，x∈[0，2π]的图象（如图所示），由图可知其与直线y＝2只有1个交点. 5.解：设y1＝sin x，x∈［，π］，y2＝.y1 ＝sin x，x∈［，π］的图象如图所示. 由图象可知，当≤＜1，即－1＜a≤1－时，y1＝sin x，x∈［，π］的图象与y2＝的图象有两个交点，故a的取值范围为（－1，1－]. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $