7.3.1 第1课时 正弦函数的性质(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦正弦函数的性质这一核心知识点，系统梳理函数周期性的定义、正弦函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等关键内容，前承三角函数定义，后续为图象学习奠基，构建从概念到性质应用的完整学习支架。 以钱塘江潮等生活周期现象引入，培养数学抽象与直观想象，通过“想一想”问题链深化理解，结合奇偶性判断、单调性比较等题型训练提升逻辑推理与数学运算能力。课中助教师引导探究，课后练习助学生巩固知识、查漏补缺。

第一课时　正弦函数的性质 【基础落实】 知识点一 1.非零常数T　每一个　f（x＋T）＝f（x） 2.周期　所有周期中　最小的正数　最小的正数 想一想 1.提示：不一定唯一. 2.提示：不是，必须对定义域内的每一个值成立. 自我诊断 　0　解析：因为f（x）是周期为2的函数，所以f（3）＝f（3－2）＝f（1）＝0. 知识点二 1.唯一　正弦函数　 2.R　[－1，1]　奇　2π 　 想一想 1.提示：是.2kπ（k∈Z，k≠0）都是它的周期. 2.提示：不是，是实数kπ，k∈Z. 自我诊断 1.（1）×　（2）×　（3）√ 2.D　 3.A　∵x∈R，∴sin x∈[－1，1]，∴当sin x＝1时，ymin＝－1；当sin x＝－1时，ymax＝3.故选A. 4.[0，2]　（k∈Z）　解析：∵函数y＝sin x的值域为[－1，1]，∴函数y＝－sin x＋1的值域为[0，2].由函数y＝sin x在区间（k∈Z）上单调递减，知函数y＝－sin x＋1的单调递增区间为（k∈Z）. 【典例研析】 【例1】　解：（1）f（x）＝sin 2x＋x2sin x. ∵x∈R，f（－x）＝sin（－2x）＋（－x）2sin（－x） ＝－sin 2x－x2sin x＝－f（x）， ∴f（x）是奇函数. （2）在函数周期性的定义中，要求对定义域中的每一个x值都有f（x＋T）＝f（x）成立，对于个别的x0，虽说满足f（x0＋T）＝f（x0），但不能说T是函数f（x）的周期.如sin＝sin ＝1，而sin 0＝0，故sin≠sin 0，所以不是函数y＝sin x的一个周期. 跟踪训练 1.B　A选项，函数的最小正周期为2π，所以该选项错误；B选项，根据函数的图象得函数的最小正周期为π，所以该选项正确；C、D选项中的函数不存在周期，所以C、D选项都错误. 2.解：设g（x）＝f（x）－2，则g（x）＝ax3＋sin x. 则对任意x∈R，都有g（－x）＝a（－x）3＋sin（－x）＝－ax3－sin x＝－（ax3＋sin x）＝－g（x）， ∴函数g（x）是奇函数. ∴g（－b）＝－g（b），即f（－b）－2＝g（－b）＝－g（b）＝－[f（b）－2]， ∴f（－b）＝－f（b）＋4＝－3＋4＝1. 【例2】　解：（1）sin 250°＝sin（180°＋70°）＝－sin 70°， sin 260°＝sin（180°＋80°）＝－sin 80°， 因为0°＜70°＜80°＜90°，且函数y＝sin x，x∈[0°，90°]是增函数，所以sin 70°＜sin 80°， 所以－sin 70°＞－sin 80°，即sin 250°＞sin 260°. （2）sin＝－sin ＝－sin ＝－sin＝－sin ， sin＝－sin ＝－sin . 因为0＜＜＜，且函数y＝sin x，x∈是增函数， 所以sin ＜sin ，－sin＞－sin， 即sin＜sin. 跟踪训练 　C　∵cos 10°＝sin 80°，sin 168°＝sin 12°，且y＝sin x在［0，］上递增，∴sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，即sin 11°＜sin 168°＜cos 10°. 【例3】　解：y＝1－2sin2x＋sin x，令sin x＝t，则－1≤t≤1， y＝－2t2＋t＋1＝－2＋. 由二次函数y＝－2t2＋t＋1的图象可知－2≤y≤， 即函数y＝1－2sin2x＋sin x的值域为. 母题探究 　解：当sin x≥0时，｜sin x｜＝sin x；当sin x＜0时，｜sin x｜＝－sin x，∴原解析式可化为y＝由－1≤sin x≤1，可知0≤y≤2，∴函数y＝｜sin x｜＋sin x的值域为[0，2]. 跟踪训练 1.［－，0］　解析：当x∈［，π］时，f（x）＝sin x－2sin x＝－sin x∈[－1，0]，当x∈［π，］时，f（x）＝sin x＋2sin x＝3sin x∈［－，0］，所以f（x）的值域为［－，0］. 2.解：f（x）＝cos2x＋sin x＝1－sin2x＋sin x＝－＋. ∵｜x｜≤，∴－≤sin x≤， ∴当sin x＝－时，f（x）取得最小值，最小值为. 随堂检测 1.B　y＝4sin（2x－π）＝－4sin 2x是奇函数，其图象关于原点对称. 2.B　y＝9－sin x的单调递增区间与y＝sin x的单调递减区间相同. 3.B　f（x）＝（a≠0），f（－x）＝＝－f（x），f（x）为奇函数，f（2 025）＝－f（－2 025）＝－2，故选B. 4.－2　解析：当x＝2kπ－，k∈Z时，sin x取得最小值－1，所以f（x）＝sin x－1取得最小值－2. 5.［，］　解析：由2sin x－1≥0，得sin x≥，因为x∈[0，2π]，所以≤x≤，所以f（x）的定义域为［，］. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3.1　正弦函数的性质与图象 1.理解正弦函数的性质，会求正弦函数的定义域和值域、最小正周期、奇偶性、单调区间及函数的零点（数学抽象、数学运算）. 2.能正确使用“五点法”作出正弦函数的图象（逻辑推理、直观想象）. 第一课时　正弦函数的性质 我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们观察钱塘江潮的图片，思考波浪是怎样变化的？ 【问题】　（1）波浪每隔一段时间会重复出现，波浪是一种周期现象吗？ （2）你还能举出生活中存在周期现象的例子吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　函数的周期性 1.周期函数：对于函数f（x），如果存在一个　　　　　，使得对定义域内的　　　　x，都满足　　　　　　　，那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. 2.最小正周期：对于一个　　　函数f（x），如果在它的　　　　　存在一个　　　　　，那么这个　　　　就叫做它的最小正周期. 【想一想】 1.若一个函数是周期函数，它的周期是否唯一？ 2.对非零常数T，若存在x0，使f（x0＋T）＝f（x0），那么T是函数的周期吗？为什么？ 　已知函数f（x）是定义域为R的周期函数，其最小正周期为2，且当x∈[0，2]时，f（x）＝（x－1）2，则f（3）＝　　　. 知识点二　正弦函数的性质 1.正弦函数的定义：对于任意一个角x，都有　　　确定的正弦sin x与之对应，因此y＝sin x是一个函数，一般称为　　　　　　. 2.正弦函数的性质 函数 y＝sin x 定义域 　　 值域 　　 最值 当x＝＋2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； 当x＝＋2kπ（k∈Z）时，ymin＝－1 奇偶性 　　函数 周期性 最小正周期：　　 单调性 在　　　　　　（k∈Z）上递增； 在　　　　　　　（k∈Z）上递减 零点 kπ（k∈Z） 　　提醒：正弦函数单调性的说明：①正弦函数在定义域R上不是单调函数，但存在单调区间；②求解（或判断）正弦函数的单调区间（或单调性）是求值域（或最值）的关键一步；③确定含有正弦函数的较复杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法来判断. 【想一想】 1.－2π是正弦函数的周期吗？ 2.正弦函数的零点是点吗？若不是，是什么？ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）正弦函数在其定义域上是单调的.（　　） （2）由于sin＝sin ，则是正弦函数y＝sin x 的一个周期.（　　） （3）函数f（x）＝sin 3x是奇函数.（　　） 2.函数f（x）＝3＋sin x的最小正周期是（　　） A.　　　B.π　　　C.　　　D.2π 3.函数y＝1－2sin x的最小值，最大值分别是（　　） A.－1，3 B.－1，1 C.0，3 D.0，1 4.函数y＝－sin x＋1的值域为　　　　，单调递增区间为　　　　. 题型一｜正弦函数的奇偶性与周期性 【例1】　（1）判断函数f（x）＝cos＋x2sin x的奇偶性； （2）如果sin＝sin ，那么是否为函数y＝sin x的一个周期？ 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 1.判断正弦函数奇偶性的方法 2.判断正弦函数周期性的方法 【跟踪训练】 1.下列函数中，最小正周期为π的是（　　） A.y＝sin x B.y＝｜sin x｜ C.y＝x D.y＝ln x 2.已知函数f（x）＝ax3＋sin x＋2（a≠0），若f（b）＝3，求f（－b）的值. 题型二｜正弦函数的单调性及应用 【例2】　比较大小： （1）sin 250°与sin 260°； （2）sin与sin. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 1.利用正弦函数的单调性比较大小的方法 （1）同名函数：比较sin α与sin β的大小，若α，β在函数y＝sin x的同一单调区间内，则直接由单调性得大小；若α，β不在同一单调区间内，则要把它们转化到同一个单调区间来讨论； （2）异名函数：比较sin α与cos β的大小，应先把cos β转化成sin，再依据正弦函数的单调性进行比较. 2.求正弦函数与其他函数复合而成的函数的单调区间时，要注意使用复合函数的“同增异减”来判断，同时要注意函数的定义域，单调区间是在定义域范围内求解，与定义域取交集. 【跟踪训练】 　下列关系式中正确的是（　　） A.sin 11°＜cos 10°＜sin 168° B.sin 168°＜sin 11°＜cos 10° C.sin 11°＜sin 168°＜cos 10° D.sin 168°＜cos 10°＜sin 11° 题型三｜正弦函数的值域与最值问题 【例3】　求函数y＝1－2sin2x＋sin x的值域. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【母题探究】 　（变条件）本例条件变为“函数y＝｜sin x｜＋sin x”，问题不变. 通性通法 　　利用正弦函数值域求复合函数值域、最值的常用方法 （1）求解形如y＝asin x＋b的函数的最值或值域问题，利用正弦函数的有界性sin x≤1）求解，此时有－｜a｜＋b≤y≤｜a｜＋b.求三角函数取得最值时相应的自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性； （2）求解形如y＝asin2x＋bsin x＋c，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sin x，将所给三角函数转化为二次函数，再利用配方法求值域或最值即可.这里应当注意换元之后变量的范围一般会随之改变，求解过程中要注意t＝sin x的有界性. 【跟踪训练】 1.函数f（x）＝sin x－2｜sin x｜在区间［，］上的值域为　　　　. 2.设｜x｜≤，求函数f（x）＝cos2x＋sin x的最小值. 1.函数y＝4sin（2x－π）的图象关于（　　） A.x轴对称 B.原点对称 C.y轴对称 D.直线x＝对称 2.函数y＝9－sin x的单调递增区间是（　　） A.（k∈Z） B.（k∈Z） C.[2kπ，2kπ＋π]（k∈Z） D.[2kπ－π，2kπ]（k∈Z） 3.设函数f（x）＝（a≠0），若f（－2 025）＝2，则f（2 025）＝（　　） A.2 B.－2 C.2 023 D.－2 023 4.函数f（x）＝sin x－1的最小值为　　　　. 5.函数f（x）＝，x∈[0，2π]的定义域为　　　　　. 提示：完成课后作业　第七章　7.3　7.3.1　第一课时 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $