第8章 章末整合提升 体系构建 素养提升(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

该高中数学单元复习讲义通过“数学运算”“逻辑推理”两大核心素养模块系统梳理平面向量与三角函数知识体系，以“培优专题”形式呈现数量积运算、最值问题、三角求值等重点内容，例题覆盖2024年新高考及全国卷真题，清晰展现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“真题情境+分层探究”的练习设计，如向量垂直判定、三角函数恒等变换等题型，培养数学运算与逻辑推理素养。每个专题设“尝试解答”环节，基础题巩固方法，综合题提升能力，助力学生自主复习，也为教师实施分层教学提供精准素材。

一、数学运算 　　数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程.本章中向量数量积的运算、最值，三角函数式的求值都彰显核心素养中的数学运算. 培优一｜平面向量的数量积 【例1】　（1）（2024·新高考Ⅰ卷3题）已知向量a＝（0，1），b＝（2，x），若b⊥（b－4a），则x＝（　　） A.－2　　　B.－1　　　C.1　　　D.2 （2）已知向量a与b的夹角为120°，且｜a｜＝｜b｜＝2，则a在a－b方向上的投影的数量为（　　） A.1　　　　　　　　　B. C. D. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 培优二｜平面向量中的最值问题 【例2】　如图，在大三角形中共有10个网格点，相邻网格点间的距离均为1，从中选取三个不同的网格点A，B，C，则·的最大值与最小值的和为　　　　. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 培优三｜三角函数式的求值 【例3】　（1）（2024·全国甲卷理8题）已知＝，则tan（α＋）＝（　　） A.2＋1　 B.2－1　 C.　 D.1－ （2）（2024·新高考Ⅰ卷4题）已知cos（α＋β）＝m，tan αtan β＝2，则cos（α－β）＝（　　） A.－3m B.－ C. D.3m （3）（2024·新高考Ⅱ卷13题）已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin（α＋β）＝　　　　. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 二、逻辑推理 　　在逻辑推理核心素养的形成过程中，学生能够发现问题和提出问题；能掌握推理的基本形式，表述论证的过程；能理解数学知识之间的联系，构建知识框架；形成论据充分、条理清楚、合乎逻辑的思维品质. 培优四｜向量数量积的应用 【例4】　若三个不共线的向量，，，满足·＝·（＋）＝·＝0，则点O为△ABC的（　　） A.内心 B.外心 C.重心 　D.垂心 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 培优五｜三角函数式的化简与证明 【例5】　证明：＝tan θ. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 培优六｜三角恒等变换与三角函数的综合问题 【例6】　已知函数f（x）＝2sin xcos x－2cos2x（x∈R）. （1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间； （2）将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，然后把所得函数图象上所有点的横坐标缩小到原来的，得到g（x）的图象，求函数g（x）在［0，］上的值域. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 章末整合提升 【例1】　（1）D　（2）B　解析：（1）法一　因为b⊥（b－4a），所以b·（b－4a）＝0，所以b2－4a·b＝0即4＋x2－4x＝0，故x＝2，故选D. 法二　因为a＝（0，1），b＝（2，x），所以b－4a＝（2，x）－4（0，1）＝（2，x）－（0，4）＝（2，x－4）.因为b⊥（b－4a），所以b·（b－4a）＝0，所以2×2＋x（x－4）＝0，所以（x－2）2＝0，解得x＝2，故选D. （2）由向量的数量积公式可得a·（a－b）＝｜a｜｜a－b｜·cos＜a，a－b＞，∴a在a－b方向上的投影的数量为｜a｜cos＜a，a－b＞＝＝ .又a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞＝2×2×cos 120°＝－2，｜a｜＝｜b｜＝2，∴｜a｜cos＜a，a－b＞＝＝，故选B. 【例2】　　解析：因为·＝｜｜×｜｜cos＜，＞，所以取｜｜最大同时在上的投影的数量最大，则·取得最大值.如图1所示，当 A，C分别是最大的正三角形底边的端点，B点是C点上方且紧靠C的一点时，｜｜最大，且在向量上的投影的数量也达到最大，所以此时·取得最大值，最大值为3×（ 2＋）＝. 如图2所示，当 B，C分别是最大的正三角形的底边的端点，且 A 点是B，C之间的一点时，＜，＞＝π，此时 ·＝2×1×（－1）＝－2达到最小值.综上所述，·的最大值与最小值的和为－2＝. 【例3】　（1）B　（2）A　（3）－ 解析：（1）根据题意有＝，即1－tan α＝，所以tan α＝1－，所以tan（α＋）＝＝＝2－1，故选B. （2）因为cos（α＋β）＝m，所以cos αcos β－sin αsin β＝m，而tan αtan β＝2，即＝2，所以sin αsin β＝2cos αcos β，故cos αcos β－2cos αcos β＝m，即cos αcos β＝－m，从而cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝3cos αcos β＝－3m.故选A. （3）法一　由题意得tan（α＋β）＝＝＝－2，因为α∈（2kπ，2kπ＋），β∈（2mπ＋π，2mπ＋），k，m∈Z，则α＋β∈（（2m＋2k）π＋π，（2m＋2k）π＋2π），k，m∈Z，又因为tan（α＋β）＝－2＜0，则α＋β∈（（2m＋2k）π＋，（2m＋2k）π＋2π），k，m∈Z，则sin（α＋β）＜0，则＝－2，联立sin2（α＋β）＋cos2（α＋β）＝1，解得sin（α＋β）＝－. 法二　由法一得tan（α＋β）＜0，sin（α＋β）＜0，故α＋β为第四象限角.不妨在角α＋β的终边上选取一点P（1，－2），则r＝｜OP｜＝＝3，所以sin（α＋β）＝－. 法三　易得tan（α＋β）＝＝＝－2.又tan α＋tan β＝＋＝＝4，所以sin（α＋β）＝4cos αcos β.由α为第一象限角，β为第三象限角，得cos α＞0，cos β＜0，所以sin（α＋β）＝4cos αcos β＜0.由tan（α＋β）＝－2，结合sin2（α＋β）＋cos2（α＋β）＝1，得sin（α＋β）＝－. 【例4】　A　由题意知与＋＝（E在∠BAC的外角平分线上）垂直，所以点O在∠BAC的平分线上.同理，点O在∠ABC的平分线上.故点O为△ABC的内心. 【例5】　证明：法一　 左边＝ ＝ ＝ ＝tan θ＝右边. 法二　 左边＝ ＝ ＝ ＝tan θ＝右边. 【例6】　解：（1）f（x）＝2sin xcos x－2cos2x＝sin 2x－cos 2x－1＝2sin（ 2x－）－1， ∴f（x）的最小正周期为π.令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，则kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z）， ∴f（x）的单调递增区间为［kπ－，kπ＋］（k∈Z）. （2）f（x）的图象向左平移个单位长度得到y＝2sin［2（ x＋）－］－1＝2sin（ 2x＋）－1的图象， 再将y＝2sin（ 2x＋）－1图象上所有点的横坐标缩小到原来，得到y＝2sin（ 4x＋）－1的图象， ∴g（x）＝2sin（ 4x＋）－1， 当x∈［0，］时，4x＋∈［，］. 当4x＋∈［，］， 即x∈［0，］时，g（x）单调递增， 当4x＋∈［，］， 即x∈［，］时，g（x）单调递减， 又g（0）＝0，g（ ）＝1，g（ ）＝－2，∴g（x）在［0，］上的值域为[－2，1]. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $