章末检测（七） 三角函数(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

章末检测（七）　三角函数 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.把－765°化成2kπ＋α（0≤α＜2π），k∈Z的形式是（　　） A.－4π－ B.－4π＋ C.－6π－ D.－6π＋ 解析：D　由题意，可得－765°＝－720°－45°＝－1 080°＋315°＝－6π＋，故选D. 2.若角α的终边经过点P（1，－2），则tan α的值为（　　） A.　 　B.－　　　C.－2　 　D.－ 解析：C　由任意角的正切的定义得tan α＝＝＝－2.故选C. 3.已知扇形OAB的周长为8 cm，圆心角∠AOB＝2 rad，则该扇形中弦长AB＝（　　） A.2 cm B.4 cm C.2sin 1 cm D.4sin 1 cm 解析：D　设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为α，由已知得解得r＝2，则弦长AB＝2rsin＝4sin 1（cm）. 4.已知cos（ －α）＝，则sin（ ＋α）＝（　　） A.－ B. C.－ D. 解析：B　sin（ ＋α）＝sin［－（ －α）］＝cos（ －α）＝. 5.如果函数y＝3sin（2x＋φ）的图象关于点中心对称，那么｜φ｜的最小值为（　　） A. B. C. D. 解析：C　由题意知2×＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝kπ－（k∈Z），由此易得｜φ｜min＝. 6.为了得到函数y＝tan的图象，只需把函数y＝tan 2x的图象上所有的点（　　） A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 解析：C　∵y＝tan＝tan 2，∴把函数y＝tan 2x的图象上所有的点向左平移个单位，即可得到函数y＝tan的图象. 7.若函数f（x）＝sin2x＋2cos x在区间上的最大值为1，则θ的值是（　　） A.0 B. C. D.－ 解析：D　由f（x）＝sin2x＋2cos x＝1－cos2x＋2cos x取到最大值1，可知cos x＝0，结合三角函数的图象易知θ＝－，故选D. 8.若函数f（x）＝sin（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则ω和φ的取值是（　　） A.ω＝1，φ＝ B.ω＝1，φ＝－ C.ω＝，φ＝ D.ω＝，φ＝－ 解析：C　由图象知，T＝4＝4π＝，所以ω＝.又当x＝时，y＝1，所以sin（×＋φ）＝1，即＋φ＝2kπ＋，（k∈Z），当k＝0时，φ＝. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.若角α是第四象限的角，则（　　） A.sin α＞0 B.cos α＞0 C.tan α＞0 D.sin αcos α＜0 解析：BD　若角α是第四象限的角，则sin α＜0， cos α＞0，tan α＜0，sin αcos α＜0，故选B、D. 10.同时满足下列三个条件的函数为（　　） ①在上是增函数；②为R上的奇函数；③最小正周期为T≥π. A.y＝tan x B.y＝｜cos x｜ C.y＝tan D.y＝sin x 解析：AD　A中y＝tan x，在上是增函数且为奇函数又是以π为最小正周期的函数，三个条件均满足；B中y＝｜cos x｜，为偶函数且在上是减函数又是以π为最小正周期的函数，不满足条件①②；C中y＝tan ，以2π为最小正周期，不满足条件③；D中y＝sin ，在上是增函数且为奇函数又以4π为最小正周期的函数，满足三个条件.故选A、D. 11.函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，φ∈（0，π））的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A.ω＝ B.φ＝ C.若f（x）在（0，m）上恰好有三个零点，则＜m≤ D.f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2 025）＝2 解析：ACD　A选项，设f（x）的最小正周期为T，由图象可知，T＝2×（4－1）＝6，即ω＝＝，A正确；B选项，由图象可知A＝2，故f（x）＝2sin（ x＋φ），将（1，2）代入解析式得2sin（ ＋φ）＝2，即sin（ ＋φ）＝1，又φ∈（0，π），故＋φ＝，解得φ＝，B错误；C选项，由B知，f（x）＝2sin（ x＋），当x∈（0，m）时，x＋∈（ ，m＋），f（x）在（0，m）上恰好有三个零点，故m＋∈（3π，4π]，解得＜m≤，C正确；D选项，由A知，f（x）的最小正周期为6，其中f（1）＝2，f（2）＝2sin＝1，f（3）＝2sin（ π＋）＝－2sin＝－1，f（4）＝2sin（ ＋）＝－2，f（5）＝2sin（ ＋）＝－1，f（6）＝2sin（ 2π＋）＝1，故f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＋f（5）＋f（6）＝0，所以f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2 025）＝337[f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＋f（5）＋f（6）]＋f（1）＋f（2）＋f（3）＝0＋2＋1－1＝2，D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.已知锐角α，β满足α＋β＝，则cos2α＋tan α·sin β的最大值为　　　　. 解析：因为锐角α，β满足α＋β＝，所以α∈（ 0，），sin α∈（0，1），从而cos2α＋tan α·sin β＝1－sin2α＋·sin（ －α）＝－sin2α＋sin α＋1＝－（ sin α－）2＋，故当sin α＝，即α＝时，原式取得最大值. 13.已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（－5）＝　　　　. 解析：由题设A＝2且＝＝6－2＝4，则ω＝，故f（x）＝2sin（ x＋φ）.又f（2）＝2sin（ ＋φ）＝2，则φ＝2kπ，k∈Z，所以f（x）＝2sin（ x＋2kπ）＝2sin（ x），则f（－5）＝2sin（ －）＝2×＝. 14.将函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，－≤φ≤）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图象，则f（x）的解析式为　：f（x）＝sin　，f＝　　. 解析：将y＝sin x的图象向左平移个单位长度可得y＝sin的图象，保持纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍可得y＝sin的图象，故f（x）＝sin，所以f＝sin＝sin＝. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系中，锐角α的终边与单位圆交于点P（ ，m），将角α的终边按逆时针方向旋转后得到角β的终边，并与单位圆交于点Q. （1）求点Q的坐标； （2）求的值. 解：（1）由P（ ，m）得cos α＝，又α∈（ 0，），所以sin α＝＝，由题可知β＝＋α，所以sin β＝sin（ α＋）＝cos α＝，cos β＝cos（ α＋）＝－sin α＝－，所以点Q的坐标为（ －，）. （2）由（1）可知tan β＝＝＝－， 所以 ＝＝ ＝＝. 16.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（ A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（ x0＋，－2）. （1）求函数y＝f（x）的解析式及x0的值； （2）求f（x）的单调递减区间； （3）先将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标缩小为原来的，再将得到的函数图象向左平移个单位长度，最后得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在区间［0，］上的值域. 解：（1）设函数f（x）的最小正周期为T，由题意可得，A＝2，T＝2×＝π＝，故ω＝2. 因为f（0）＝2sin φ＝1，｜φ｜＜，所以φ＝，f（x）＝2sin（ 2x＋）. 根据五点作图法可得，2x0＋＝，解得x0＝. （2）由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 故f（x）的单调递减区间为［＋kπ，＋kπ］，k∈Z. （3）由题意得，g（x）＝2sin［4（ x＋）＋］＝2sin（ 4x＋），当0≤x≤时，≤4x＋≤，所以≤sin（ 4x＋）≤1， 所以1≤g（x）≤2，即g（x）的值域为[1，2]. 17.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝3tan. （1）求f（x）的定义域； （2）试比较f与f的大小. 解：（1）由已知得2x－≠kπ＋（k∈Z）， 即x≠＋（k∈Z）， 所以f（x）的定义域为. （2）f＝3tan＝－3tan ＜0，f＝3tan＝3tan＝3tan＝3tan ＞0，所以f＜f. 18.（本小题满分17分）在①将函数f（x）图象向右平移个单位所得图象关于y轴对称；②函数y＝f是奇函数；③当x＝时，函数y＝f取得最大值.三个条件中任选一个，补充在题干中的横线处，然后解答问题. 已知函数f（x）＝2sin（ωx＋φ），其中ω＞0，｜φ｜＜，其图象相邻的对称中心之间的距离为，　　　 　. （1）求函数y＝f（x）的解析式； （2）求函数y＝f（x）在上的最小值，并写出取得最小值时x的值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 解：（1）因为函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）的图象相邻的对称中心之间的距离为， 所以周期＝，即T＝π，所以ω＝＝2. 若选择①， 因为函数f（x）图象向右平移个单位所得图象关于y轴对称， 所以g（x）＝2sin＝2sin（2x－＋φ）的图象关于y轴对称，所以φ－＝kπ＋，k∈Z， 因为｜φ｜＜，所以φ＝－. 所以函数y＝f（x）的解析式为f（x）＝2sin. 若选择②， 因为y＝f＝2sin＝2sin是奇函数， 所以＋φ＝kπ，k∈Z，因为｜φ｜＜，所以φ＝－.所以函数y＝f（x）的解析式为f（x）＝2sin. 若选择③， y＝f＝2sin＝2sin（2x－＋φ），由题设，当x＝时，函数y＝f取得最大值，所以2×－＋φ＝2kπ＋（k∈Z），即φ＝2kπ－（k∈Z）， 因为｜φ｜＜，所以φ＝－. 所以函数y＝f（x）的解析式为f（x）＝2sin. （2）因为f（x）＝2sin，x∈， 所以2x－∈， 所以当2x－＝－，即x＝－时，函数f（x）取得最小值，最小值为－2. 19.（本小题满分17分）对于分别定义在D1，D2上的函数f（x），g（x）以及实数k，若存在x1∈D1，x2∈D2，使得f（x1）－g（x2）＝k，则称函数f（x）与g（x）具有关系M（k）. （1）若f（x）＝cos x，x∈[0，π]；g（x）＝sin x，x∈[0，π]，判断f（x）与g（x）是否具有关系M（－2），并说明理由； （2）若f（x）＝cos x－1与g（x）＝－2sin2x＋sin x＋1具有关系M（k），求实数k的取值范围； （3）已知a＞0，h（x）为定义在R上的奇函数，且满足：①在[0，2a]上，当且仅当x＝时，h（x）取得最大值1；②对任意x∈R，有h（a＋x）＋h（a－x）＝0. 判断是否存在实数a（a＞0），使得f（x）＝sin 2πx＋h（x）与g（x）＝h（x）－cos 2πx具有关系M（4），若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由. 解：（1）f（x）与g（x）具有关系M（－2），理由如下： 当x∈[0，π]时，f（x）＝cos x∈[－1，1]，g（x）＝sin x∈[0，1]， 当x1＝π时，f（x1）＝f（π）＝－1，当x2＝时，g（x2）＝g（）＝1，此时f（π）－g（）＝－2，则f（x）与g（x）具有关系M（－2）. （2）由函数f（x）＝cos x－1∈[－2，0]， 且g（x）＝－2sin2x＋sin x＋1＝－2（sin x－）2＋， 因为sin x∈[－1，1]，所以当sin x＝－1时，g（x）min＝－2×（－1－）2＋＝－2，当sin x＝时，g（x）max＝，所以g（x）∈［－2，］， 所以[f（x1）－g（x2）]∈［－，2］， 所以k∈［－，2］， 即实数k的取值范围为［－，2］. （3）不存在实数a使得f（x）与g（x）具有关系M（4）.理由如下： 因为在[0，2a]上，当且仅当x＝时，h（x）取得最大值1，且h（x）为定义在R上的奇函数， 所以在[－2a，0]上，当且仅当x＝－时，h（x）取得最小值－1，故h（x）的值域为[－1，1]， 由对任意x∈R有h（a＋x）＋h（a－x）＝0，可得y＝h（x）关于点（a，0）对称， 又h（a＋x）＝－h（a－x）＝h（x－a），故h（x）的周期为2a，又sin 2πx∈[－1，1]，cos 2πx∈[－1，1]， 所以当h（x1）＝1时，x1＝＋2na，n∈Z，sin 2πx1＝1时，x1＝＋k，k∈Z， 若＋2na＝＋k，即a＝，k，n∈Z，此时有f（x1）＝sin 2πx1＋h（x1）＝2； 当h（x2）＝－1时，x2＝－＋2ma，m∈Z，cos 2πx2＝1时，x2＝t，t∈Z， 若－＋2ma＝t，则a＝，t，m∈Z时，有g（x2）＝h（x2）－cos 2πx2＝－2， 因为≠，所以sin 2πx1＋h（x1）＋cos 2πx2－h（x2）＜4， 所以不存在x1∈R，x2∈R使得sin 2πx1＋f（x1）＋cos 2πx2－f（x2）＝4， 故不存在实数a使得f（x）＝sin 2πx＋h（x）与g（x）＝h（x）－cos 2πx具有关系M（4）. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $