7.1.1 角的推广(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“角的推广”核心知识点，系统梳理从初中0°-360°角到任意角（正角、负角、零角）的概念延伸，构建终边相同的角的集合表示及象限角的定义与集合表示的知识体系。 通过“小明调整闹钟”情境导入培养数学抽象，结合图示与分类表格发展直观想象，题型设计强化数学运算。课中助力教师引导学生从具体到抽象，课后跟踪训练与练习题帮助学生查漏补缺，巩固知识。

7.1.1　角的推广 课标要求 1.了解任意角的概念，能区分各类角（数学抽象）. 2.掌握终边相同的角的含义及其表示方法（数学运算）. 3.理解象限角的概念并能用集合表示各类象限角（直观想象）. 　　周日早晨，小明起床后发现自己的闹钟指针停在5：00这一时刻，他立即更换了电池，调整到了正常时间6：30，并开始正常的学习. 【问题】　小明在调整闹钟时间时，时针与分针各转过了多少度？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　角的概念的推广 1.角的概念 一条　射线　绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的　始边　和　终边　. 2.角的表示 如图所示： （1）始边：射线OA； （2）终边：射线OB； （3）顶点：射线的端点O； （4）记法：图中的角α也可记为“　α　”或“　∠AOB　”. 3.角的分类 名称 定义 图示 正角 按照　逆时针　方向旋转而成的角 负角 按照　顺时针　方向旋转而成的角 零角 一条射线　没有　旋转而成的角 由于角是旋转生成的，所以也常称为　转角　. 4.角的加减运算的一个几何意义（β＞0°） （1）α＋β：把角α的终边　逆时针　方向旋转角β，如图①； 　　　　　　　图①　　　　　　图② （2）α－β：把角α的终边　顺时针　方向旋转角β，如图②. 　　提醒：对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字：①要明确旋转方向；②要明确旋转角度的大小；③要明确射线未作任何旋转时的位置. 【想一想】 1.角的三要素是什么？ 提示：角的三要素是顶点、始边、终边. 2.用几何意义表示角的加、减时，按逆时针、顺时针旋转的是角的哪条边？ 提示：在表示α±β时第二次旋转的是角α的终边. 　经过1个小时，时针转过的角度是　－30°　. 知识点二　象限角 1.象限角 角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上，这时，角的终边在第几象限，就把这个角称为　第几象限角　.如果终边在　坐标轴　上，就认为这个角不属于任何象限. 2.终边相同的角 （1）所有与α终边相同的角连同角α在内组成一个集合，这个集合可记为S＝　{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}　； （2）所有与角α终边相同的角，连同角α在内都可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下几点： ①k是整数，这个条件不能漏掉； ②α是任意角； ③k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋（－30°），k∈Z； ④终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍，相等的角终边一定相同. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）终边相同的角一定相等.（　×　） （2）钝角为第二象限角.（　√　） （3）第一象限的角一定是锐角.（　×　） （4）第二象限角大于第一象限角.（　×　） 2.〔多选〕给出下列四个选项，其中正确的选项是（　　） A.－75°角是第四象限的角 B.225°角是第三象限的角 C.475°角是第二象限的角 D.－315°角是第四象限的角 解析：ABC　因为－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－360°＜－315°＜－270°，所以A、B、C是正确的. 3.将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为　　－25°　　，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数为　　395°　　. 题型一｜有关角的概念问题 【例1】　下列命题正确的是（　　） A.终边与始边重合的角是零角 B.终边和始边都相同的两个角一定相等 C.在90°≤β＜180°范围内的角β不一定是钝角 D.小于90°的角是锐角 解析：C　终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，故A不正确；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，故B不正确；由于在90°≤β＜180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，故D不正确，故选C. 通性通法 理解与角的概念有关问题的关键 　　关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可. 【跟踪训练】 1.射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝（　　） A.150°　　B.－150°　　　C.390°　　D.－390° 解析：B　各角和的旋转量等于各角旋转量的和.所以120°＋（－270°）＝－150°，故选B. 2.若将时钟拨快30 min，则分针转过的角度为　－180°　；若时钟从3时走到8时，则时针转过的角度为　－150°　. 解析：若将时钟拨快30 min，则分针转过的角度为－×360°＝－180°.若时钟从3时走到8时，则时针转过的角度为－×360°＝－150°. 题型二｜终边相同的角的表示 【例2】　已知α＝－1 120°. （1）把α写成β＋k·360°（k∈Z）的形式，其中0°≤β＜360°； 解：（1）用－1 120°除以360°，得商为－4，余数为320°， ∴α＝320°＋（－4）×360°. （2）写出与角α终边相同的角θ的集合S，并求出S中满足不等式－720°≤θ ≤0°的元素. 解：（2）法一　与角α＝－1 120°终边相同的角θ的集合S＝{θ｜θ＝320°＋k·360°，k∈Z}. 则由－720°≤320°＋k·360°≤0°，得－≤k≤－，k∈Z，∴k＝－2或－1. 当k＝－2时，θ＝－2×360°＋320°＝－400°； 当k＝－1时，θ＝－1×360°＋320°＝－40°. 故在－720°～0°之间的角θ＝－400°或－40°. 法二　与角α＝－1 120°终边相同的角θ的集合S＝{θ｜θ＝－1 120°＋k·360°，k∈Z}. 则由－720°≤－1 120°＋k·360°≤0，得≤k≤，k∈Z，∴k＝2或3. 当k＝2时，θ＝－1 120°＋2×360°＝－400°； 当k＝3时，θ＝－1 120°＋3×360°＝－40°. 故在－720°～0°之间的角θ＝－400°或－40°. 通性通法 1.求终边落在直线上的角的集合的步骤 （1）写出在0°～360°范围内相应的角； （2）由终边相同的角的表示方法写出角的集合； （3）根据条件能合并的一定要合并，使结果简洁. 2.与终边相同的角的有关结论 （1）终边相同的角之间相差360°的整数倍； （2）终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍； （3）终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍. 【跟踪训练】 1.与角－2 026°6'终边相同的角是（　　） A.－406°6' B.－226°6' C.313°54' D.673°54' 解析：B　－2 026°6'＝－5×360°－226°6'，故选B. 2.若角α与角β的终边相同，则角β－α的终边在（　　） A.x轴的非负半轴上 B.y轴的非负半轴上 C.x轴的非正半轴上 D.y轴的非正半轴上 解析：A　由题意得β＝α＋k·360°，k∈Z，故β－α＝k·360°，k∈Z，则角β－α的终边在x轴的非负半轴上. 题型三｜象限角与区域角的表示 【例3】　（1）如图所示，终边落在阴影部分（包括边界）的角α的集合为　{α｜－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}　　； 解析：终边落在OA位置上的角的集合为{γ｜γ＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{γ｜γ＝135°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{β｜β＝－30°＋k·360°，k∈Z}.由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合可表示为{α｜－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}. （2）已知α是第二象限角，求角所在的象限. （2）解：法一　∵α是第二象限角， ∴k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°（k∈Z）. ∴·360°＋45°＜＜·360°＋90°（k∈Z）. 当k为偶数时，令k＝2n（n∈Z），得 n·360°＋45°＜＜n·360°＋90°，n∈Z， 这表明是第一象限角； 当k为奇数时，令k＝2n＋1（n∈Z），得 n·360°＋225°＜＜n·360°＋270°，n∈Z， 这表明是第三象限角. ∴为第一或第三象限角. 法二　如图，先将各象限分成2等份，再从x轴正半轴上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有二的区域即为的终边所在的区域，故为第一或第三象限角. 【母题探究】 1.（变条件，变设问）若将本例（2）中的“第二象限角”改为“第三象限角”，求角2α的终边的位置. 解：∵α是第三象限角， ∴k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°（k∈Z）， ∴k·720°＋360°＜2α＜k·720°＋540°（k∈Z）， ∴角2α的终边在第一或第二象限或在y轴的正半轴上. 2.（变条件）若将本例（2）中的“第二象限角”改为“第一象限角”，如何求解？ 解：∵k·360°＜α＜k·360°＋90°（k∈Z）， ∴k·180°＜＜k·180°＋45°（k∈Z）. 当k＝2n（n∈Z）时，n·360°＜＜n·360°＋45°， ∴是第一象限角. 当k＝2n＋1（n∈Z）时，n·360°＋180°＜＜n·360°＋225°， ∴是第三象限角.∴是第一或第三象限角. 通性通法 1.表示区间角的三个步骤 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界； 第二步：按由小到大的顺序分别标出起始和终止边界对应的相应范围内的角α和β，写出最简区间{x｜α＜x＜β}，其中β－α＜360°； 第三步：扇形区域起始、终止边界对应角α，β再加上k·360°（k∈Z），即得区间角集合.对于对顶区域，始边、终边再加上k·180°（k∈Z）即得区间角集合. 2.解决角终边所在象限的问题，要先确定α的范围，进一步确定出nα或的范围，再根据k与n的关系进行讨论. 【跟踪训练】 1.已知α是第二象限角，则180°－α是（　　） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 解析：A　由α是第二象限角可得，90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°，k∈Z.所以180°－（180°＋k·360°）＜180°－α＜180°－（90°＋k·360°），k∈Z.－k·360°＜180°－α＜90°－k·360°，k∈Z，所以180°－α是第一象限角. 2.写出图中终边在阴影部分的角的集合（包括边界）. 解：（1）先表示出一个周期内满足条件的不等式45°≤α≤120°，再加360°的整数倍，得{α｜45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}. （2）从135°角的终边开始逆时针旋转到与－45°终边相同的角应为135°＋180°＝315°，所以{α｜135°＋k·360°≤α≤315°＋k·360°，k∈Z}. 1.若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α终边所在的象限是（　　） A.第一、三象限 B.第一、二象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限 解析：A　由题意知α＝k·180°＋45°，k∈Z.当k＝2n＋1，n∈Z时，α＝2n·180°＋180°＋45°＝n·360°＋225°，n∈Z，其终边在第三象限；当k＝2n，n∈Z时，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，n∈Z，其终边在第一象限.综上，α终边所在的象限是第一或第三象限. 2.如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（　　） A.{α｜120°≤α≤330°} B.{α｜－30°≤α≤120°} C.{α｜k·360°＋120°≤α≤k·360°＋330°，k∈Z} D.{α｜k·360°－30°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z} 解析：D　330°角的终边与－30°角的终边相同，因此终边落在阴影部分（包括边界）的一个区间角为{α｜－30°≤α≤120°}，在此区间角的两端分别加上“k·360°”，右端注明“k∈Z”即可得到终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合. 3.〔多选〕已知集合A＝{θ｜θ为锐角}，B＝{θ｜θ为小于90°的角}，C＝{θ｜θ为第一象限角}，D＝{θ｜θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是（　　） A.A＝B B.B⊇C C.A⊆C D.A＝D 解析：CD　集合A中锐角θ满足0°＜θ＜90°；集合B中θ＜90°，可以为负角；集合C中θ满足k·360°＜θ＜k·360°＋90°，k∈Z；集合D中θ满足0°＜θ＜90°.故A⊆C，A＝D. 4.已知0°≤α＜360°，且α与600°角终边相同，则α＝　　240°　　，它是第　　三　　象限角. 解析：因为600°＝360°＋240°，所以240°角与600°角终边相同，且180°＜240°＜270°，故α＝240°，它是第三象限角. 5.在四个角－20°，－400°，2 400°，600°中，第四象限角的个数是　2　. 解析：－20°是第四象限角；－400°＝－360°－40°是第四象限角；2 400°＝6×360°＋240°是第三象限角；600°＝360°＋240°是第三象限角，故第四象限角有2个. 1.〔多选〕在下列四个角中，属于第二象限角的是（　　） A.160°　　B.480°　　　C.－960°　　D.1 530° 解析：ABC　160°显然在第二象限；480°＝120°＋360°是第二象限角；－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；1 530°＝4×360°＋90°不是第二象限角. 2.与－463°终边相同的角可以表示为（　　） A.k·360°＋463°（k∈Z） B.k·360°＋103°（k∈Z） C.k·360°＋257°（k∈Z） D.k·360°－257°（k∈Z） 解析：C　因为－463°＝－2×360°＋257°，所以与－463°终边相同的角可以表示为k·360°＋257°（k∈Z）. 3.已知集合M＝{x｜x＝k·90°＋45°，k∈Z}，集合N＝{x｜x＝k·45°＋90°，k∈Z}，则有（　　） A.M＝N B.N⫋M C.M⫋N D.M∩N＝∅ 解析：C　由于k·90°（k∈Z）表示终边在x轴或y轴上的角，所以k·90°＋45°（k∈Z）表示终边落在y＝x或y＝－x上的角（如图①）. 又由于k·45°＋90°（k∈Z）表示终边落在x轴、y轴、直线y＝±x上8个位置的角（如图②），因而M⫋N，故选C. 4.若角α与65°角的终边相同，角β与－115°角的终边相同，则α与β之间的关系是（　　） A.α＋β＝－50° B.α－β＝180° C.α＋β＝k·360°＋180°（k∈Z） D.α－β＝k·360°＋180°（k∈Z） 解析：D　由题意可知，α＝k1·360°＋65°（k1∈Z），β＝k2·360°－115°（k2∈Z），所以α＋β＝（k1＋k2）·360°－50°，α－β＝（k1－k2）·360°＋180°，记k＝k1－k2∈Z，故α－β＝k·360°＋180°（k∈Z）. 5.〔多选〕下列命题正确的是（　　） A.第一象限角一定不是负角 B.若β＝α＋k·360°（k∈Z），则α与β的终边相同 C.α＝45°＋k·180°（k∈Z），则α的终边落在直线y＝x上 D.终边在x轴上的角的集合是{α｜α＝k·180°，k∈Z} 解析：BCD　对于A，－330°是第一象限角，它是负角，故A错误；对于B，β＝α＋k·360°（k∈Z），则α与β的终边相同，满足终边相同的角的定义，B正确；对于C，α＝45°＋k·180°（k∈Z），则α的终边落在直线y＝x上，C正确；对于D，终边在x轴上的角的集合是{α｜α＝k·180°，k∈Z}，D正确. 6.角α与角β的终边互为反向延长线，则（　　） A.α＝－β B.α＝180°＋β C.α＝k·360°＋β（k∈Z） D.α＝k·360°＋180°＋β（k∈Z） 解析：D　∵角α与角β的终边互为反向延长线，∴α－β＝k·360°＋180°（k∈Z），∴α＝k＋360°＋180°＋β（k∈Z）. 7.与2 000°角终边相同的角中，最小的正角为　200°　　，最大的负角为　－160°　　　. 解析：2 000°＝5×360°＋200°＝6×360°－160°，所以与2 000°角终边相同的角中，最小的正角为200°，最大的负角为－160°. 8.已知点P（0，－1）在角α的终边上，则所有角α组成的集合S＝　　{α｜α＝270°＋k·360°，k∈Z}　　. 解析：∵点P（0，－1）在y轴的负半轴上，在0°～360°内满足条件的角为270°，∴所有角α组成的集合S＝{α｜α＝270°＋k·360°，k∈Z}. 9.已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第　　一或三　象限角. 解析：由题意知k·360°＜2α＜180°＋k·360°（k∈Z），故k·180°＜α＜90°＋k·180°（k∈Z），按照k的奇偶进行讨论.当k＝2n（n∈Z）时，n·360°＜α＜90°＋n·360°（n∈Z），∴α是第一象限角；当k＝2n＋1（n∈Z）时，180°＋n·360°＜α＜270°＋n·360°（n∈Z），∴α是第三象限角.故α是第一象限角或第三象限角. 10.如图所示： （1）分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合； （2）写出终边落在阴影部分的角的集合. 解：（1）终边落在OA位置上的角的集合为{α｜α＝30°＋k·360°，k∈Z}， 终边落在OB位置上的角的集合为{β｜β＝105°＋k·360°，k∈Z}. （2）由（1）及题图知，阴影部分的角的集合为{θ｜30°＋k·360°≤θ＜105°＋k·360°，k∈Z}. 11.〔多选〕如果α是第三象限角，那么可能是哪个象限的角（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：ACD　因为α是第三象限的角，则α∈（k·360°＋180°，k·360°＋270°），k∈Z，所以∈（k·120°＋60°，k·120°＋90°），k∈Z，按照k＝3n，k＝3n＋1，k＝3n＋2（n∈Z）进行讨论可知可以是第一、第三、第四象限角. 12.角α，β的终边关于y＝x对称，若α＝30°，则β＝　60°＋k·360°，k∈Z　　. 解析：因为30°与60°的终边关于y＝x对称，所以β的终边与60°角的终边相同.所以β＝60°＋k·360°，k∈Z. 13.已知角的集合M＝{α｜α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题： （1）集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？ （2）写出集合M中的第二象限角β的一般表达式. 解：（1）令－360°＜30°＋k·90°＜360°，得－＜k＜，又∵k∈Z，∴k＝－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，∴集合M中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°. （2）∵集合M中的第二象限角与120°角的终边相同， ∴β＝120°＋k·360°，k∈Z. 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $