8.1.3 向量数量积的坐标运算-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册教用课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦向量数量积的坐标运算，课堂导入通过“隐形的翅膀”情境及具体向量坐标问题，连接几何与代数形式，引导学生从向量概念过渡到坐标运算，搭建学习支架。 其亮点是以数学运算和逻辑推理为核心，典例研析分题型总结通性通法，如数量积坐标运算途径、向量模的求法等，结合矩形、正方形实例培养学生数学思维与表达能力。学生能系统掌握方法，教师可高效开展教学。

8.1.3　向量数量积的坐标运算 1 1.掌握向量数量积的坐标表示及运算（数学运算）. 2.能根据两向量的坐标解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题（逻辑推理）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　“我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞飞过绝望，不去想他们拥有 美丽的太阳，我看见每天的夕阳也会有变化，我知道我一直有双隐形的翅 膀，带我飞给我希望……”，如果能为平面向量的数量积插上“翅膀”， 它又能飞多远呢？本节讲解平面向量数量积的“翅膀”——坐标表示，它 使平面向量的数量积同时具有几何形式和代数形式的“双重身份”，从而 可以使几何问题数量化，把“定性”研究推向“定量”研究. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【问题】　在平面直角坐标系中，设i，j分别是x轴和y轴方向上的单位 向量，a＝（3，2），b＝（2，1），则a·b的值为多少？a·b的值与a， b的坐标有怎样的关系？若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a·b为多 少？ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 知识点　向量数量积的坐标表示 1. 设平面向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则 （1）a·b＝ ⁠； （2）a⊥b⇔ ⁠. x1x2＋y1y2　 x1x2＋y1y2＝0　 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 三个重要公式 （1）设a＝（x，y），则a2＝x2＋y2⇔｜a｜＝ ⁠； （2）两点间的距离公式：设点A（x1，y1），B（x2，y2），则｜AB｜ ＝｜ ｜＝ ⁠； （3）向量的夹角公式：设a，b都是 向量，a＝（x1，y1），b＝ （x2，y2），则 cos ＜a，b＞＝ ＝ 　 　 . 　 　 非零　 　 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【想一想】 1. 向量数量积的坐标表示公式有什么特点？应用时应注意什么？ 提示：公式的特点是“对应坐标相乘后再求和”，在解题时要注意坐标的 顺序. 2. 已知非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），问a与b夹角θ的范围与 坐标运算的数量积的关系式是什么？ 提示：（1）当θ为锐角或零角⇔x1x2＋y1y2＞0； （2）当θ为直角⇔x1x2＋y1y2＝0； （3）当θ为钝角或平角⇔x1x2＋y1y2＜0. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和. （　√　） （2）已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a⊥b ⇔x1x2－y1y2＝0. （　×　） （3）两个非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），满足x1y2－x2y1＝ 0，则向量a，b的夹角为180°. （　×　） 2. 已知a＝（－2，4），b＝（1，2），则a·b等于（　　） A. 0 B. 10 C. 6 D. －10 √ × × √ 解析： 　由题意知，a·b＝（－2）×1＋4×2＝6. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 已知向量a＝（1，2），b＝（x，－2），且a⊥b，则实数x等于 （　　） A. －7 B. 9 解析： 　∵a＝（1，2），b＝（x，－2），且a⊥b，∴a·b＝1×x＋ 2×（－2）＝0，即x－4＝0，∴x＝4. √ C. 4 D. －4 数学·必修第三册（B 版） 目 录 4. 已知向量a＝（2，2），b＝（0，－3），则a与b的夹角为 ⁠. 解析：因为向量a＝（2，2），b＝（0，－3），则a·b＝－6，｜a｜＝ 2 ，｜b｜＝3，则 cos ＜a，b＞＝ ＝－ ，又0°≤＜a，b ＞≤180°，所以a与b的夹角为135°. 135° 数学·必修第三册（B 版） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜向量数量积的坐标运算 【例1】　（1）已知a＝（1，2），b＝（3，4），求a·b，（a－ b）·（2a＋3b）； 解： 法一　因为a＝（1，2），b＝（3，4）， 所以a·b＝1×3＋2×4＝11， （a－b）·（2a＋3b）＝2a2＋a·b－3b2＝2｜a｜2＋a·b－3｜b｜2＝2 （12＋22）＋11－3（32＋42）＝－54. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 法二　因为a＝（1，2），b＝（3，4），所以a·b＝1×3＋2×4＝11. 因为a－b＝（1，2）－（3，4）＝（－2，－2）， 2a＋3b＝2（1，2）＋3（3，4）＝（2×1＋3×3，2×2＋3×4）＝ （11，16）， 所以（a－b）·（2a＋3b）＝－2×11＋（－2）×16＝－54. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，且 ＝2 ，求 · . 解： 如图所示，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴， 建立直角坐标系. 则B（2，0），E（1，2），C（2，2），F ， 因为 ＝（－1，2）， ＝ . 所以 · ＝2－ ＝ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 平面向量数量积坐标运算的两条途径 　　进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解 题时通常有两条途径： 一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算； 二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 1. 已知向量a＝（－1，2），b＝（3，2），则a·b＝ ，a·（a －b）＝ ⁠. 解析：a·b＝（－1，2）·（3，2）＝（－1）×3＋2×2＝1，a·（a－b） ＝（－1，2）·[（－1，2）－（3，2）]＝（－1，2）·（－4，0）＝4. 1 4 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 已知在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E，F分别为BC，CD的中 点，则（ ＋ ）· ＝ ⁠. 解析：如图，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角 坐标系. 则A（0，0），B（2，0），D（0，1），所以C（2，1）. 因为E，F分别为BC，CD的中点， 所以E ，F（1，1）， 所以 ＋ ＝ ， ＝（－2，1）， 所以（ ＋ ）· ＝3×（－2）＋ ×1＝－ . － 数学·必修第三册（B 版） 目 录 题型二｜求向量的模 【例2】　（1）若a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝2，a－b＝（ ， ），则｜2a－b｜＝（　C　） A. B. C. 2 D. 2 解析： 由已知得（a－b）2＝a2－2a·b＋b2＝1－2a·b＋4＝5， ∴a·b＝0，∴（2a－b）2＝4a2－4a·b＋b2＝4－0＋4＝8，∴｜2a－b｜ ＝2 . C 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）若向量 ＝（1，－3），｜ ｜＝｜ ｜， · ＝0，则｜ ｜＝ 　　 . 解析： 法一　设 ＝（x，y），由｜ ｜＝｜ ｜，知 ＝ . ① 由题意知 · ＝x－3y＝0. ② 由①②组成方程组，解得 或 当x＝3，y＝1时， ＝ － ＝（2，4），则｜ ｜＝2 ；当x＝－3，y＝－1时， ＝ （－4，2），则｜ ｜＝2 .故｜ ｜＝2 . 2 法二　由题意知，｜ ｜就是以 ， 对应线段为邻边的正方形的对 角线长，∵｜ ｜＝ ，∴｜ ｜＝ × ＝2 . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【母题探究】 　（变条件）本例（1）中条件变为“设平面向量a＝（1，2），b＝（－ 2，y），若a∥b”，求｜2a－b｜. 解：由a∥b，得1×y－2×（－2）＝0，解得y＝－4，所以b＝（－2，－ 4），所以2a－b＝（4，8），则｜2a－b｜＝4 . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 求向量的模的两种基本策略 （1）字母表示下的运算：利用｜a｜2＝a2，将向量模的运算转化为向量 与向量的数量积问题； （2）坐标表示下的运算：若a＝（x，y），则a·a＝a2＝｜a｜2＝x2＋ y2，于是｜a｜＝ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 　已知点O（0，0），向量 ＝（－1，2），向量 ＝（2，4），且 ＝2 ，则｜ ｜＝（　　） A. B. C. D. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　设 ＝（x，y），因为向量 ＝（－1，2）， ＝（2， 4），则 ＝ － ＝（x，y）－（－1，2）＝（x＋1，y－2）， ＝ － ＝（2，4）－（x，y）＝（2－x，4－y）.因为 ＝ 2 ，所以 解得 所以 ＝（ 1， ）.故｜ ｜＝ ＝ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 题型三｜向量夹角和垂直问题 【例3】　（1）设平面向量a＝（ cos α， sin α）（0°≤α≤90°），b＝ .求证：a＋b与a－b垂直； 解： 证明：法一　∵（a＋b）·（a－b）＝（ cos α－ ， sin α＋ ）·（ cos α＋ ， sin α－ ）＝（ cos α－ ）·（ cos α＋ ）＋ · ＝ cos 2α－ ＋ sin 2α－ ＝1－ － ＝0，∴（a＋b）⊥ （a－b）. 法二　由已知可得a2＝1，b2＝1， ∴（a＋b）·（a－b）＝a2－b2＝1－1＝0， ∴（a＋b）⊥（a－b）. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）平面直角坐标系xOy中，O是原点（如图）.已知点A（16，12）， B（－5，15）.求∠OAB. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解： 由 ＝（16，12）， ＝（－5－16，15－12）＝（－21，3）， 得｜ ｜＝ ＝20， ｜ ｜＝ ＝15 . cos ∠OAB＝ cos ＜ ， ＞＝ . 其中 · ＝－ · ＝－（16，12）·（－21，3） ＝－[16×（－21）＋12×3]＝300. 故 cos ∠OAB＝ ＝ .∴∠OAB＝45°. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤 （1）利用向量的坐标求出这两个向量的数量积； （2）利用｜a｜＝ 求两向量的模； （3）代入夹角公式求 cos θ，并根据θ的范围确定θ的值. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 1. 已知向量a＝（4，0），b＝（x，3），若（a＋2b）⊥（a－b）， 则x＝（　　） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 解析： 　由a＝（4，0），b＝（x，3），a＋2b＝（4＋2x，6），a －b＝（4－x，－3），由（a＋2b）⊥（a－b）得（a＋2b）·（a－ b）＝（4＋2x）（4－x）－18＝0，解得x＝1. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 设x∈R，向量a＝（3，x），b＝（1，－1）且a⊥b，则 cos ＜a＋ b，a＞＝（　　） A. B. C. D. 解析： 　由向量a＝（3，x），b＝（1，－1）且a⊥b，得x＝3，则a ＝（3，3），a＋b＝（4，2），所以 cos ＜a＋b，a＞＝ ＝ . √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 题型四｜向量数量积的坐标运算的综合问题 【例4】　在△ABC中，BC边上的中线AD的长为2，P是△ABC所在平面 上的任意一点，则 · ＋ · 的最小值为（　　） A. 1 B. 2 C. －2 D. －1 √ 解析： 　建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D在 原点处，点A在y轴上，则A（0，2）.设点P的坐标为 （x，y），则 ＝（－x，2－y）， ＝（－x，－ y），故 · ＋ · ＝ ·（ ＋ ）＝2 · ＝2（x2＋y2－2y）＝2[x2＋（y－1）2]－2≥－2，当且仅当x＝0，y＝1时等号成立.所以 · ＋ · 的最小值为－2. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 解决向量数量积的最值或范围问题的方法技巧 （1）“图形化”技巧：利用平面向量线性运算以及数量积运算的几何意 义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的直观 特征进行判断； （2）“代数化”技巧：若已知条件中具有等腰三角形或矩形，常常建立 平面直角坐标系，通过坐标运算转化为函数的性质解决最值或范围问题. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 在如图所示的矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为线段BC上的点，则 · 的最小值为（　　） A. 2 B. C. D. 4 √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　如图所示，以点B为坐标原点，BC所在直线为x 轴，BA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A（0， 2），D（1，2）.设E（x，0）（0≤x≤1），则 ＝（x， －2）， ＝（x－1，－2），∴ · ＝（x，－2）·（x－ 1，－2）＝x2－x＋4＝ ＋ ，又0≤x≤1，故当x＝时， · 取得最小值 . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 1. 已知｜a｜＝1，b＝（0，2），且a·b＝1，则向量a与b夹角的大小为 （　　） A. B. C. D. 解析： 　因为｜a｜＝1，b＝（0，2），且a·b＝1，设a，b夹角为θ， 所以 cos θ＝ ＝ ＝ ，又θ∈[0，π]，所以θ＝ ，所以向量 a与b夹角的大小为 .故选C. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 〔多选〕已知向量a＝（1，3），b＝（2，y），（a＋b）⊥a，则 （　　） A. b＝（2，－3） B. 向量a，b的夹角为 C. ｜a＋ b｜＝ D. a在b上的投影向量是（－1，2） √ √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　对于A，因为a＝（1，3），b＝（2，y），（a＋b）⊥a， 所以（a＋b）·a＝（3，3＋y）·（1，3）＝3＋3（3＋y）＝12＋3y＝ 0⇒y＝－4，所以b＝（2，－4），故A错误；对于B，由A可得 cos ＜a， b＞＝ ＝ ＝－ ＝－ ，又＜a，b＞∈[0，π]，故 ＜a，b＞＝ ，即向量a，b的夹角为 ，故B正确；对于C，a＋ b＝ （1，3）＋ （2，－4）＝（2，1），所以｜a＋ b｜＝ ＝ ， 故C错误；对于D，a在b上的投影向量是｜a｜ cos ＜a，b＞· ＝ · ＝－ · ＝－ （2，－4）＝（－1，2），故D正确. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 已知向量a＝（1，－1），向量b＝（－1，2），则（2a＋b）·a ＝ ⁠. 解析：由向量a＝（1，－1），b＝（－1，2），得2a＋b＝（1，0）， 所以（2a＋b）·a＝（1，0）·（1，－1）＝1×1＋0×（－1）＝1. 1 数学·必修第三册（B 版） 目 录 4. 已知平面向量a＝（2，2），b＝（x，－1）. （1）若a∥b，求x； 解： 因为a∥b，所以－2－2x＝0，可得x＝－1. （2）若a⊥（a－2b），求a与b所成夹角的余弦值. 解： 依题意a－2b＝（2－2x，4）， 因为a⊥（a－2b），所以a·（a－2b）＝0， 即4－4x＋8＝0，解得x＝3， 所以b＝（3，－1）. 所以 cos ＜a，b＞＝ ＝ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 已知向量a＝（2， ），b＝（－1， ），则向量a在b上的投影向 量为（　　） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　∵b＝（－1， ），∴｜b｜＝2.又∵向量a＝（2， ）， ∴向量a在b的投影的数量为 ＝ ＝ ，所以向量a在b上 的投影向量为｜a｜ cos ＜a，b＞ ＝ · ＝ b＝ .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 已知向量a＝（2，1），b＝（1，1），若（λa＋b）⊥（2a－b）， 则λ＝（　　） A. － B. － C. D. 解析： 　因为a＝（2，1），b＝（1，1），所以λa＋b＝λ（2，1）＋ （1，1）＝（2λ＋1，λ＋1），2a－b＝2（2，1）－（1，1）＝（3，1）. 因为（λa＋b）⊥（2a－b），所以（λa＋b）·（2a－b）＝0，所以3 （2λ＋1）＋1（λ＋1）＝0，解得λ＝－ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 〔多选〕已知平面向量a＝（1， ），b＝（3， ），则下列说法 正确的是（　　） A. ｜a＋b｜＝2 B. b·（b－a）＝6 C. a与b的夹角为 D. a在b上的投影向量为 b √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　对于A，因为a＋b＝（4，2 ），所以｜a＋b｜＝ ＝2 ，故A正确；对于B，因为b－a＝（2，0），所以 b·（b－a）＝6，故B正确；对于C，因为a·b＝6，｜a｜＝2，｜b｜＝ 2 ，则 cos ＜a，b＞＝ ＝ ，且＜a，b＞∈[0，π]，所以a 与b的夹角为 ，故C错误；对于D，结合C可知a在b上的投影向量为 b ＝ b，故D正确.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 4. 设x，y∈R，向量a＝（x，1），b＝（1，y），c＝（2，－4），且 a⊥c，b∥c，则｜a＋b｜＝（　　） A. B. C. 2 D. 10 解析： 　因为a＝（x，1），b＝（1，y），c＝（2，－4），由a⊥c 得a·c＝0，即2x－4＝0，所以 x＝2.由b∥c，得1×（－4）－2y＝0，所 以 y＝－2.所以a＝（2，1），b＝（1，－2）.所以a＋b＝（3，－1）， 所以｜a＋b｜＝ ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 5. 〔多选〕 已知平面向量a＝（m，m＋2），m∈R，b＝（3，4），则 下列结论正确的是（　　） A. ｜a｜的最小值为 B. 若a与b的夹角为锐角，则m的取值范围是（ － ，＋∞） C. 一定存在一个实数m，使得｜a＋b｜＝｜a－b｜ D. 若m＝1，则b在a上的投影向量的坐标为（ ， ） √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　对于A，因为a＝（m，m＋2），m∈R，则｜a｜＝ ＝ ≥ ，当且仅当m＝－1时取等 号，所以｜a｜的最小值为 ，故A正确；对于B，若a与b的夹角为锐 角，则a·b＞0且a与b不同向，所以3m＋4（m＋2）＞0且4m≠3（m＋ 2），解得m＞－ 且m≠6，故B错误；对于C，若｜a＋b｜＝｜a－ b｜，则a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，所以a·b＝0，则3m＋4（m＋ 2）＝0，解得m＝－ ，即存在m＝－ ，使得｜a＋b｜＝｜a－b｜，故 C正确；对于D，当m＝1时，a＝（1，3），所以a·b＝1×3＋3×4＝15，又｜a｜＝ ＝ ，所以b在a上的投影向量的坐标为 · ＝ × ＝ a＝（ ， ），故D正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 6. 在矩形ABCD中，AB＝ ，BC＝2，E为BC的中点，点F在CD上， 若 · ＝ ，则 · 的值为（　　） A. B. 2 C. 0 D. 1 √ 解析： 　建立如图所示的坐标系xAy，可得A（0，0）， B（ ，0），E（ ，1），F（x，2），则 ＝ （ ，0）， ＝（x，2），于是 · ＝ x＝ ，解得x＝1，因此F（1，2）， ＝（ ，1）， ＝（1－ ，2）， · ＝ （1－ ）＋1×2＝ . 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 7. 已知平面向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），若｜a｜＝2，｜b｜ ＝3，a·b＝－6，则向量a与b的夹角为 ， 的值为 ⁠. 解析：设a，b的夹角为θ，则a·b＝｜a｜｜b｜· cos θ＝－6，∴ cos θ＝ －1，∴θ＝180°.即a，b共线且反向，∴a＝－ b，∴x1＝－ x2，y1＝ － y2，∴ ＝－ . 180° － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 8. 在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，4），B（－2，3），C（2，－ 1），若（ －t ）⊥ ，则实数t＝ ⁠. 解析：∵ ＝（－3，－1）， ＝（2，－1），∴ －t ＝（－3－ 2t，－1＋t），又（ －t ）⊥ ，∴（－3－2t）×2＋（－1＋ t）·（－1）＝0.∴t＝－1. －1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 9. 已知向量a＝（ cos θ， sin θ），向量b＝（ ，0），则｜2a－b｜的 最大值为 ⁠. 解析：2a－b＝（2 cos θ－ ，2 sin θ），｜2a－b｜＝ ＝ ＝ ，当且仅当 cos θ＝－1 时，｜2a－b｜取最大值2＋ . 2＋ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 10. 已知向量a＝（1，2），b＝（2，x）. （1）若a⊥（a－b），求｜b｜； 解：因为a＝（1，2），b＝（2，x），所以a－b＝（－1，2－x）. 由a⊥（a－b），可得a·（a－b）＝0， 即－1×1＋2（2－x）＝0，解得x＝ ， 所以b＝（ 2， ），故｜b｜＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）若向量c＝（－3，－2），a∥（b＋c），求a与b夹角的余弦值. 解： 依题意得b＋c＝（－1，x－2）.因为a∥（b＋c），所以x－2 ＋2＝0，解得x＝0，则b＝（2，0）. a·b＝2，｜a｜＝ ，｜b｜＝2， 所以 cos ＜a，b＞＝ ＝ ， 所以a与b夹角的余弦值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 11. 人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相 似度的常用方法.假设二维空间中有两个点A（x1，y1），B（x2，y2）， O为坐标原点，定义余弦相似度为 cos （A，B）＝ cos ＜ ， ＞， 余弦距离为1－ cos （A，B）.已知点A（ sin θ， cos θ），B（0，1）， 若A，B的余弦距离为 ，则锐角θ＝（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　由题意得1－ cos （A，B）＝ ，故 cos （A，B）＝ ， ＝（ sin θ， cos θ）， ＝（0，1），又 cos （A，B）＝ cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ cos θ，故 cos θ＝ ，所以锐角θ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 12. 已知向量m＝（λ＋2，1），n＝（λ＋1，2），若（m＋n）⊥（m －n），则向量m，n的夹角的余弦值为 ，m＋n在n方向上的投影 的数量为 ⁠. 解析：由题意知向量m＋n＝（2λ＋3，3），m－n＝（1，－1），因为 （m＋n）⊥（m－n），所以λ＝0.所以m＝（2，1），n＝（1，2）， cos ＜m，n＞＝ ，m＋n＝（3，3）.m＋n在n方向上的投影的数量 为｜m＋n｜ cos ＜m＋n，n＞＝ ＝ . ​ ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 13. 已知向量a＝（1，2），b＝（－3，4），c＝a＋λb，λ∈R. （1）求λ为何值时， ｜c｜最小？此时b与c的位置关系如何？ 解： 由a＝（1，2），b＝（－3，4）， 得c＝a＋λb＝（1－3λ，2＋4λ）， ｜c｜2＝c2＝（1－3λ）2＋（2＋4λ）2＝5＋10λ＋25λ2＝25 ＋4， 当λ＝－ 时，｜c｜最小，此时c＝ ，b·c＝0，所以b⊥c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）求λ为何值时， a与c的夹角最小？ 此时a与c的位置关系如何？ 解： 设向量a与c的夹角为θ，则 cos θ＝ ＝ ＝ ， 要使向量a与c的夹角最小，则 cos θ最大，由于θ∈[0， π]，所以 cos θ的 最大值为1，此时θ＝0， ＝1，解得λ＝0，c＝（1，2）. 所以当λ＝0时，a与c的夹角最小，此时a＝c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 14. 〔多选〕在△ABC中， ＝（2，3）， ＝（1，k），若△ABC是 直角三角形，则k的值可以是（　　） A. －1 B. C. D. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　在△ABC中， ＝（2，3）， ＝（1，k），①当A＝ 90°时， · ＝0，即2×1＋3k＝0，解得k＝－ .②当B＝90°时， ＝ － ＝（－1，k－3），且 · ＝0，即2×（－1）＋3×（k －3）＝0，解得k＝ .③当C＝90°时， · ＝0，即－1＋k（k－ 3）＝0，整理得k2－3k－1＝0，解得k＝ .综上知，k的取值为－ 或 或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 15. 在△ABC中，满足 ⊥ ，M是BC的中点. （1）若｜ ｜＝｜ ｜，求向量 ＋2 与向量2 ＋ 的夹角的 余弦值； 解： 设向量 ＋2 与向量2 ＋ 的夹角为θ，｜ ｜＝｜ ｜＝a.∵ ⊥ ，∴ · ＝0，∴（ ＋2 ）·（2 ＋ ） ＝2 ＋5 · ＋2 ＝4a2， ｜ ＋2 ｜＝ ＝ ＝ a， 同理可得｜2 ＋ ｜＝ a， ∴ cos θ＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）若O是线段AM上任意一点，且｜ ｜＝｜ ｜＝ ，求 · ＋ · 的最小值. 解： ∵ ⊥ ，｜ ｜＝｜ ｜＝ ，∴｜ ｜＝1. 设｜ ｜＝x（0≤x≤1），则｜ ｜＝1－x，而 ＋ ＝2 ， ∴ · ＋ · ＝ ·（ ＋ ）＝2 · ＝2｜ ｜·｜ ｜· cos π＝－2x（1－x）＝2x2－2x＝2 － ，当且仅当x＝ 时， · ＋ · 取得最小值－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 $