7.3.1 第2课时 正弦函数的图象-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册教用课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦正弦函数的图象，通过简易单摆实验情境导入，引导学生从沙摆轨迹直观感知正弦曲线，结合问题链逐步过渡到精确作图，构建从直观到抽象的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实情境，通过“五点法”作图步骤化教学培养数学思维，分层设计典例与练习强化数学语言表达。例如用实验引出图象，通过列表描点规范作图，帮助学生发展直观想象与逻辑推理能力，为教师提供系统教学资源提升效率。

第二课时　正弦函数的图象 1 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 2 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架 子上，就做成了一个简易单摆（如图所示）.在漏斗下方 放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把 漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速 拉动纸板.这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象.物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”.它表示了漏斗对平衡位置的位移s（纵坐标）随时间t（横坐标）变化的情况. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【问题】　（1）通过上述实验，你对正弦函数图象的直观印象是怎样 的？ （2）你能比较精确地画出y＝ sin x在[0，2π]上的图象吗？ （3）以上方法作图虽然精确，但太麻烦，有没有快捷画y＝ sin x， x∈[0，2π]图象的方法？你认为图象上哪些点是关键点？ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 知识点　正弦函数的图象 1. 正弦函数y＝ sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：（0， 0）， 　 　，（π，0）， 　 　，（2π，0）. 2. 正弦曲线是轴对称图形，对称轴为 ；正弦曲线 也是中心对称图形，且对称中心为 ⁠. 　 　 x＝ ＋kπ（k∈Z）　 （kπ，0）（k∈Z）　 数学·必修第三册（B 版） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数y＝ sin x的图象关于y轴对称. （　×　） （2）正弦函数的图象向左右是无限伸展的. （　√　） （3）正弦函数y＝ sin x的图象在x∈[2kπ，2kπ＋2π]（k∈Z）上的图象 形状相同，只是位置不同. （　√　） × √ √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 下列图象中，符合y＝－ sin x在[0，2π]上的图象的是（　　） 解析： 　把y＝ sin x，x∈[0，2π]上的图象关于x轴对称，即可得到y＝ － sin x，x∈[0，2π]上的图象，故选D. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 点M 在函数y＝ sin x的图象上，则m＝ ⁠. 解析：由题意－m＝ sin ，∴－m＝1，∴m＝－1. －1 数学·必修第三册（B 版） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜“五点法”作正弦曲线 【例1】　用“五点法”作出下列函数的简图： （1）y＝－ sin x－1（0≤x≤2π）； 解： 找关键的五个点，列表如下： x 0 ​ π ​ 2π sin x 0 1 0 －1 0 － sin x 0 －1 0 1 0 － sin x－1 －1 －2 －1 0 －1 描点作图，如图： 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解：找关键的五个点，列表如下： x 0 ​ π ​ 2π sin x 0 1 0 －1 0 ｜ sin x｜ 0 1 0 1 0 描点并用光滑的曲线将它们连接起 来，通过平移得到y＝｜ sin x｜， x∈R的图象，如图所示. （2）y＝｜ sin x｜，x∈R. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 用“五点法”作函数y＝A sin x＋B（A≠0）在[0，2π]上的简图的步骤 （1）列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 y＝A sin x＋B B A＋B B －A＋B B （2）描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：（0，B）， ，（π，B）， ，（2π，B），这里的y是通过 函数式计算得到的； 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （3）连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，不要用线段进行 连接. 注意：作图时一定要找准这五个关键点，这是“五点法”作图的关键 所在. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 用“五点法”画出函数y＝2 sin x在区间[0，2π]上的图象. 解：按五个关键点列表如下： x 0 ​ π ​ 2π sin x 0 1 0 －1 0 2 sin x 0 2 0 －2 0 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 题型二｜正弦函数图象的简单应用 【例2】　求函数y＝log3 的定义域. 解：要使函数有意义，则 sin x＞ ，作出 y＝ sin x在[0，2π]内的图象如图所示. 由图象知，在[0，2π]内使 sin x＞ 的x的取值范围是 . 故原函数的定义域为 （k∈Z）. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 利用三角函数图象解 sin x＞a的三个步骤 （1）作出直线y＝a，y＝ sin x的图象； （2）确定 sin x＝a的x值； （3）确定 sin x＞a的解集. 注意：解三角不等式 sin x＞a，如果不限定范围时，一般先利用图象求出 x∈[0，2π]范围内x的取值范围，然后根据终边相同角的同一三角函数值 相等，写出原不等式的解集. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 　方程｜ sin x｜－lg x＝0的根的个数是（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 解析： 　画出函数f（x）＝｜ sin x｜和y ＝lg x的图象， 因为｜ sin x｜≤1，lg 10＝1，结合图象可 得函数f（x）＝｜ sin x｜与函数y＝lg x图象的交点个数是5. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 题型三｜正弦曲线的对称性 【例3】　求函数y＝2 sin x＋1的图象的对称中心和对称轴. 解：由正弦函数的对称性可知z＝ sin x的对 称中心为（kπ，0），k∈Z， 作出y＝2 sin x＋1的图象如图所示. 结合正弦函数的对称性可知y＝2 sin x＋1的 图象的对称中心是（kπ，1）（k∈Z）， 对称轴是直线x＝kπ＋ （k∈Z）. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 正弦函数y＝ sin x的对称性 　　对称中心：点（kπ，0）（k∈Z），对称轴：直线x＝kπ＋ （k∈Z），要明确两者的不同. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 　〔多选〕函数y＝ sin x与y＝ sin （－x）的图象关于（　　） A. x轴对称 B. y轴对称 C. 直线y＝x对称 D. 直线x＝ 对称 解析： 　∵函数y＝f（x）与y＝f（－x）的图象关于y轴对称，∴函 数y＝ sin x与y＝ sin （－x）的图象关于y轴对称.∵函数y＝f（x）与y ＝－f（x）的图象关于x轴对称，y＝ sin （－x）＝－ sin x，∴函数y＝ sin x与y＝ sin （－x）的图象关于x轴对称. √ √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 1. 以下对于正弦函数y＝ sin x的图象描述不正确的是（　　） A. 在x∈[2kπ，2kπ＋2π]，k∈Z上的图象形状相同，只是位置不同 B. 关于x轴对称 C. 介于直线y＝1和y＝－1之间 D. 与y轴仅有一个交点 解析： 　观察y＝ sin x图象可知A、C、D项正确，且关于原点中心对 称，故选B. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 已知a是实数，则函数f（x）＝1＋a sin ax的图象不可能是（　　） √ 解析： 　当a＝0时，f（x）＝1，选项C符合；当0＜｜a｜＜1时，T＞2π，f（x）的最大值小于2，选项A符合；当｜a｜＞1时，T＜2π，f（x）的最大值大于2，选项B符合.排除选项A、B、C，故选D. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 函数f（x）＝[x]表示不超过x的最大整数，例如，[－3.5]＝－4， [2.1]＝2，则方程[x]－ sin x＝0的零点个数为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解析： 　由题，[x]＝ sin x，故－1≤x＜0时，[x]＝－1，y＝[x]与y＝ sin x的图象没有交点，当x＜－1时，[x]≤－2，y＝[x]与y＝ sin x的图象 没有交点，当0≤x＜1时，[x]＝0，y＝[x]与y＝ sin x的图象有一个交 点，当1≤x＜2时，[x]＝1，y＝[x]与y＝ sin x的图象有1个交点，当2≤x 时，[x]≥2，y＝[x]与y＝ sin x的图象没有交点，故y＝[x]与y＝ sin x的 图象共有2个交点，故选C. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 4. y＝1＋ sin x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝2的交点个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解析： 　由五点法作出函数y＝1＋ sin x，x∈[0， 2π]的图象（如图所示），由图可知其与直线y＝2只 有1个交点. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 5. 若关于x的方程 sin x＝ 在［ ，π］上有两个实数解，求a的取值 范围. 解：设y1＝ sin x，x∈［ ，π］，y2＝ .y1＝ sin x， x∈［ ，π］的图象如图所示. 由图象可知，当 ≤ ＜1，即－1＜a≤1－ 时，y1＝ sin x，x∈［ ，π］的图象与y2＝ 的图象有两个交点，故a的取值范围为（－1，1－ ]. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 用“五点法”作y＝2 sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是 （　　） A. 0， ，π， π，2π B. 0， ， ， π，π C. 0，π，2π，3π，4π D. 0， ， ， ， π 解析： 由五点作图法，令2x＝0， ，π， π，2π，解得x＝0， ， ， π，π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 〔多选〕下列函数图象相同的是（　　） A. y＝ sin x与y＝ sin （π－x） B. y＝ sin 与y＝ sin C. y＝ sin x与y＝ sin （－x） D. y＝ sin （2π＋x）与y＝ sin x 解析： 　根据诱导公式，y＝ sin （π－x）＝ sin x，故A符合；y＝ sin （2π＋x）＝ sin x，故D符合. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 与图中曲线（部分）对应的函数解析式是（　　） A. y＝｜ sin x｜ B. y＝ sin ｜x｜ C. y＝－ sin ｜x｜ D. y＝－｜ sin x｜ 解析： 　注意图象所对应的函数值的正负，可排除选项A、D. 当x∈ （0，π）时， sin ｜x｜＞0，而图中显然小于零，因此排除选项B. 故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 4. 已知函数f（x）＝ sin x＋ sin ｜x｜，则（　　） A. f（x）是周期函数 B. f（x）在区间［ ， ］上单调递减 C. f（x）的图象关于直线x＝ 对称 D. f（x）的图象关于点（π，0）对称 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　由题意可知，f（x）＝ sin x＋ sin ｜x｜＝ 作出函数f（x）的图象，如图所示， 由图象可知，当x≥0时，f（x）是周期函数，当x＜0时，f（x）＝0是常数函数，故f（x）不是周期函数，故A错误；f（x）在区间［ ， ］上单调递减，故B正确；f（x）的图象不关于直线x＝ 对称，故C错误； f（x）的图象不关于点（π，0）对称，故D错误.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 5. 〔多选〕函数y＝ sin （π－x）－1的图象（　　） A. 关于直线x＝ 对称 B. 关于直线x＝π对称 C. 关于原点对称 D. 关于点（π，－1）对称 解析： 由三角函数的诱导公式得y＝ sin （π－x）－1＝ sin x－1，所 以函数y＝ sin （π－x）－1的图象关于直线x＝ 对称，关于点（π，－ 1）对称. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 6. 〔多选〕已知函数y＝f（x）是定义在R上且周期为π的偶函数，当x∈ ［0， ］时，f（x）＝2 sin x，则下列结论正确的有（　　） A. f（ － ）＝ B. f（ ）＝1 C. 当x∈［－ ，0）时，f（x）＝－2 sin x D. 当x∈［ ，3π）时，f（x）＝－2 cos x √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　已知函数y＝f（x）是偶函数，则f（－x）＝f（x），所以f （ － ）＝f（ ）.又因为当x∈［0， ］时，f（x）＝2 sin x，那么f （ ）＝2 sin ＝2× ＝ ，所以f（ － ）＝ ，A正确.由于函数周 期为π，则f（ ）＝f（ －2π）＝f（ － ）.因为函数是偶函数，所以 f（ － ）＝f（ ）.当x∈［0， ］时，f（x）＝2 sin x，那么f（ ）＝ 2 sin ＝2× ＝ ≠1，B错误.当x∈［－ ，0）时，－x∈（ 0， ］. 因为函数是偶函数，所以f（x）＝f（－x），已知当x∈［0， ］时， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 f（x）＝2 sin x，那么f（x）＝f（－x）＝2 sin （－x）＝－2 sin x， C正确.当x∈［ ，3π）时，x－3π∈［－ ，0）.因为函数周期为π，所 以f（x）＝f（x－3π）.由前面C选项可知当x∈［－ ，0）时，f（x） ＝－2 sin x，那么f（x）＝f（x－3π）＝－2 sin （x－3π）＝－2 sin （x －π）＝2 sin x≠－2 cos x，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 7. 如果关于x的方程 sin x＝a在［ ，π］上有两个不同的解，则实数a的 取值范围是 ⁠. 解析：画出y＝ sin x，x∈［ ，π］的图象，如图所示. 当 ≤a＜1时，直线y＝a与y＝ sin x，x∈［ ，π］的 图象交于两点，故 ≤a＜1. ［ ，1） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 8. 在[0，2π]内，不等式 sin x＜－ 的解集是 　​ 　. 解析：画出y＝ sin x，x∈[0，2π]的图象如下： 因为 sin ＝ ，所以 sin ＝－ ， sin ＝－ . 即在[0，2π]内，满足 sin x＝－ 的是x＝ 或x＝ . 可知不等式 sin x＜－ 的解集是 . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 9. 设a，b，c依次是方程x＋ sin x＝1，x＋ sin x＝2，x＋ sin x＝2的 根，并且0＜x＜ ，则a，b，c的大小关系是 ⁠. 解析： 因为a＋ sin a＝1，a＝1－ sin a，0＜a＜ ，所以0＜a＜1.因为b ＋ sin b＝2，b＝2－ sin b，0＜b＜ ，所以1＜b＜ ，a＜b.因为当0＜x ＜ 时，函数y＝x＋ sin x与函数y＝x＋ sin x都是单调递增函数，结合两 者图象（图略）可得，前者的图象在后者的上方，所以b＜c.综上所述， a＜b＜c. a＜b＜c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 10. 用“五点法”作出函数y＝1－2 sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下 列问题： （1）观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间： ①y＞1；②y＜1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解：按五个关键点列表 x －π － 0 ​ π sin x 0 －1 0 1 0 1－2 sin x 1 3 1 －1 1 描点连线得： （1）由图象可知函数y＝1－2 sin x在y＝1上方的部分y＞1，在y＝1下方的部分y＜1，所以当x∈（－π，0）时，y＞1，当x∈（0，π）时，y＜1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）若直线y＝a与y＝1－2 sin x有两个交点，求a的取值范围； 解：如图，当直线y＝a与y＝1－2 sin x有 两个交点时，1＜a＜3或－1＜a＜1， 所以a的取值范围是{a｜1＜a＜3或－1＜a ＜1}. （3）求函数y＝1－2 sin x的最大值，最小值及相应的自变量的值. 解：由图象可知ymax＝3，此时x＝－ ；ymin＝－1，此时x＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 11. 〔多选〕设函数f（x）＝ sin x，则下列结论正确的是（　　） A. f（x）的一个周期为－2π B. f（x）的图象关于直线x＝0对称 C. f（x）的图象关于点 对称 D. f（x）在区间 上单调递增 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　函数f（x）＝ sin x的最小正周期为2π；对称轴方程为x＝kπ ＋ ，k∈Z；对称中心为（kπ，0），k∈Z；单调增区间为［2kπ－ ， 2kπ＋ ］，k∈Z. 则A正确，B错误，C错误，D正确.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 12. 已知函数f（x）＝（mx－1）2－ sin x－m在［0， ］上只有一个零 点，则正实数m的取值范围为（　　） A. （0，1] B. （0，1]∪［ ，＋∞） C. （0，1]∪［ ，＋∞） D. （0，1]∪［ ，＋∞） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　由f（x）＝0，得（mx－1）2＝ sin x＋m，在同一坐标系内作 出函数g（x）＝（mx－1）2＝m2（ x－ ）2与函数h（x）＝ sin x＋m 的大致图象，当0＜m≤1时， ≥1，如图，当x∈［0， ］时，y＝g （x）与y＝h（x）的图象有一个交点，符合题意；当m＞1时，0＜ ＜ 1，如图， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 当x∈［0， ］时，要使y＝g（x）与y＝h（x）的图象有一个交点，当且仅当g（ ）≥h（ ），即（ －1）2≥ sin ＋m，而m＞0，解得m≥ .综上，正实数m的取值范围为（0，1]∪［ ，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 13. （1）利用 sin （3π－x）＝ sin x，证明正弦曲线关于x＝ 对称； 证明： 令f（x）＝ sin x，f（3π－x）＝ sin （3π－x）＝ sin x， ∴f（3π－x）＝f（x），令t＝ －x，则x＝ －t， ∴f ＝f ， 即f ＝f ，∴f（x）＝ sin x关于x＝ 对称. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）利用 sin （2π－x）＝－ sin x，证明正弦曲线关于点（π，0）对称. 证明： 令f（x）＝ sin x.∴f（2π－x）＝ sin （2π－x）＝－ sin x， ∴f（2π－x）＝－f（x），令t＝π－x，则x＝π－t， ∴f[2π－（π－t）]＝－f（π－t），即f（π＋t）＝－f（π－t）， ∴f（x）＝ sin x关于点（π，0）对称. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 14. 已知函数y＝2 sin x 的图象与直线y＝2围成一个封闭的平 面图形，那么此封闭图形的面积为（　　） A. 4 B. 8 C. 4π D. 2π 解析： 　数形结合，如图所示，y＝2 sin x， x∈ 的图象与直线y＝2围成的封闭平 面图形的面积相当于由x＝ ，x＝ ，y＝0， y＝2围成的矩形面积，即S＝ ×2＝4π. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 15. 已知函数f（x）＝ sin x－2｜ sin x｜，x∈[0，2π]. （1）作出函数f（x）的图象，并写出f（x）的单调区间； 解： f（x）＝ 图象如图，由图象可知f（x）的递增区间为 ［ ，π］，［ ，2π］； f（x）的递减区间为 ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）讨论g（x）＝ sin x－2｜ sin x｜－k，x∈[0，2π]的零点个数，并 求此时k的取值范围. 解： 由图象可知： 当k＞0或k＜－3时，直线y＝k与函数f（x）有0个交点，故g（x）没有零点；当k＝－3时，直线y＝k与函数f（x）有1个交点，故g（x）有1个零点；当－3＜k＜－1时，直线y＝k与函数f（x）有2个交点，故g（x）有2个零点；当k＝0或k＝－1时，直线y＝k与函数f（x）有3个交点，故g（x）有3个零点；当－1＜k＜0时，直线y＝k与函数f（x）有4个交点，故g（x）有4个零点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 $