7.1.2 弧度制及其与角度制的换算-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册教用课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦弧度制概念、角度与弧度互化及扇形弧长面积公式，通过印度正弦表制作与欧拉弧度制提出的历史情境导入，结合30°弧度换算问题，衔接角度制知识，搭建对比学习支架。 其亮点在于以数学抽象构建弧度制定义，通过典例研析（概念辨析、互化计算、扇形公式应用）培养数学运算能力，如扇环面积计算实例。助力学生深化理解，提升推理能力，为教师提供分层教学资源，提高课堂效率。

7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 1 1.了解弧度制的概念，能进行角度与弧度之间的互化（数学抽象）. 2.理解弧度制下扇形的弧长与面积公式（数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 目录 拓视野　扇形的弧长公式的应用 03 课时作业 04 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 公元6世纪，印度人在制作正弦表时，曾用同一单位度量半 径和圆周，孕育着最早的弧度制概念.欧拉是明确提出弧度 制思想的数学家.1748年，在他的一部划时代著作《无穷小 分析概论》中，提出把圆的半径作为弧长的度量单位，使一 个圆周角等于2π弧度，1弧度等于周角的 .这一思想将线 段与弧的度量统一起来，大大简化了三角公式及计算. 【问题】　按照上述定义30°是多少弧度？ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 知识点一　弧度制 1. 度量角的两种制度 角度 制 定义 用度作单位来度量角的制度 1度的角 1度的角等于周角的 ，记作1° 弧度 制 定义 以弧度为单位来度量角的制度 1弧度的角 长度等于 的圆弧所对的圆心角为1弧度的 角.记作1 rad（rad可省略不写） 在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对的圆心角为 α rad，则α＝ （l＝αr）. 　 半径长　 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 弧度制与角度制的换算 （1）弧度制与角度制的互化（换算） 180°＝ rad； 设一个角的角度数为n，弧度数为α，则 ＝ . （2）特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧 度 0 π π π π π 2π π　 数学·必修第三册（B 版） 目 录 　　提醒：角度制和弧度制的比较：①弧度制与角度制是以不同单位来度 量角的单位制；②1弧度的角与1度的角所指含义不同，大小更不同；③无 论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角，角的大小都是一个与“半 径”大小无关的值；④用“度”作为单位度量角时，“度”（或“°”） 不能省略，而用“弧度”作为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”通常 省略不写. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【想一想】 1. 在大小不同的圆中，长为1的弧所对的圆心角相等吗？为什么？ 提示：不相等.这是因为长为1的弧是指弧的长度为1，在大小不同的圆 中，由于半径不同，所以圆心角也不同. 2. 某同学表示与30°角终边相同的角的集合时写成S＝{α｜α＝2kπ＋ 30°，k∈Z}，这种表示正确吗？为什么？ 提示：这种表示不正确，同一个式子中，角度、弧度不能混用，否则会产 生混乱，正确的表示方法应为 或{α｜α＝k·360° ＋30°，k∈Z}. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位. （　√　） （2）用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关. （　×　） （3）1弧度的角等于1度的角. （　×　） （4）直角的弧度数为 . （　√　） √ × × √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 360°化为弧度数是（　D　） A. B. π C. D. 2π D 数学·必修第三册（B 版） 目 录 知识点二　扇形的弧长及面积公式 　设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角的弧度数，n为圆心角的角 度数，则扇形的弧长：l＝ ＝ ；扇形的面积：S＝ 　 lr　＝ 　 ⁠. 　　提醒：扇形面积公式的再理解：①在应用公式l＝αr和S＝ lr＝ αr2 时，要注意α的单位是弧度；②弧度制下的扇形面积公式S＝ lr，与三角 形面积公式S＝ ah（h是三角形底边a上的高）有类似的形式. αr　 lr　 αr2　 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【想一想】 　圆心角所对的弧长与半径的比值，与半径的大小有关吗？ 提示：只与α的大小有关，也就是说，这个比值随α的确定而唯一确定. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 1. 已知扇形的周长为6 cm，半径是2 cm，则扇形的圆心角的弧度数是 （　　） A. 4 B. 1 C. 1或4 D. 2 解析： 　设扇形的圆心角为α rad，半径为R cm，则 解得α ＝1. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 圆心角为 弧度，半径为6的扇形的面积为 ⁠. 解析：扇形的面积为 ×62× ＝6π. 6π 数学·必修第三册（B 版） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜弧度制的概念 【例1】　下列说法中正确的是（　　） A. 1弧度是1度的圆心角所对的弧 B. 1弧度是长度为半径长的弧 C. 1弧度是1度的弧与1度的角之和 D. 1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量 单位 √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　利用弧度的定义及角度的定义判断. 选项 结论 理由 A 错误 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度 的角，弧度是角的一种度量单位，而不是长 度的度量单位 B 错误 C 错误 D 正确 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 弧度制与角度制的区别与联系 区 别 ①单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位； ②定义不同 联 系 不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 　时钟的分针在从1时到3时20分这段时间里转过的弧度数为（　　） A. π B. － π C. π D. － π 解析： 　显然分针在从1时到3时20分这段时间里，顺时针转过了 周，转 过的弧度数为 ×2π＝－ π. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 题型二｜角度与弧度的换算 【例2】　（1）将α1＝510°，α2＝－750°用弧度表示出来，并指出它们 各自终边所在的象限； 解： ∵1°＝ rad， ∴α1＝510°＝510× ＝ ＝2π＋ ； α2＝－750°＝－750× ＝－ ＝－4π－ . ∴角α1的终边在第二象限，角α2的终边在第四象限. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）将β1＝ ，β2＝－ 用角度表示出来，并在（－360°，360°）内 找出与它们各自终边相同的所有的角. 解： β1＝ ＝ ＝144°. 设θ1＝k·360°＋144°（k∈Z）， ∵－360°＜θ1＜360°，∴－360°＜k·360°＋144°＜360°， ∴k＝－1或k＝0. ∴在（－360°，360°）内与角β1终边相同的角是－216°. β2＝－ ＝ ＝－330°. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 设θ2＝k·360°－330°（k∈Z）， ∵－360°＜θ2＜360°，∴－360°＜k·360°－330°＜360°， ∴k＝0或k＝1. ∴在（－360°，360°）内与角β2终边相同的角是30°. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 角度制与弧度制转换中的注意点 （1）在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键.由它 可以得：度数× ＝弧度数，弧度数× °＝度数； （2）特殊角的弧度数与度数对应值今后常用，应该熟记； （3）在同一个式子中，角度与弧度不能混合用，必须保持单位统一，如α ＝2kπ＋30°，k∈Z是不正确的写法； （4）判断角α终边所在的象限时，若α∉[－2π，2π]，应首先把α表示成α＝ 2kπ＋β，β∈[－2π，2π]的形式，然后利用角β终边所在的象限来确定角α 终边所在的象限. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 1. 把下列弧度化为角度. （1） ＝ ⁠； 解析： ＝ ＝690°. （2）－ ＝ ⁠. 解析： － ＝－ ＝－390°. 690° －390° 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 将α＝－800°改写成β＋2kπ（k∈Z，0≤β＜2π）的形式，并指出α是第 几象限角. 解：∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝ π， ∴α＝－800°＝ ＋（－3）×2π. ∵α与角 终边相同，∴α是第四象限角. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 题型三｜扇形的弧长公式及面积公式 【例3】　已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为 .求： （1）这个圆心角所对的弧长； 解： 因为扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为 ，所以半径r＝ ＝ ， 所以这个圆心角所对的弧长l＝ × ＝ . （2）这个扇形的面积. 解： 由（1）得扇形的面积S＝ × × ＝ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【母题探究】 1. （变条件）本例条件变为“圆的半径为10，圆心角为60°”，完成本例 问题（1）. 解：设圆心角为α，则α＝60°＝ rad.又r＝10，∴l＝αr＝ . 2. （变条件）本例条件变为“扇形的圆心角是 ，弧长为π”，完成本例 问题（2）. 解：设扇形的圆心角的度数为n，由l＝αr，∴r＝3，∴S＝ lr＝ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 关于弧度制下扇形问题的解决方法 （1）三个公式：｜α｜＝ ，S＝ lr＝ αr2，要恰当选择公式，建立未知 量、已知量间的关系，通过解方程（组）求值； （2）弧长、面积的最值：利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长（面 积），利用函数知识求最值，一般利用二次函数的最值求解. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 1. 已知某扇形的弧长和面积都为1，则该扇形圆心角的弧度数为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 解析： 　设扇形的半径为r，圆心角为α，根据扇形的面积公式S＝ lr， 得1＝ ×1×r，∴r＝2.又扇形的弧长公式l＝r·α，∴α＝ ＝ . √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 现有某工艺厂生产的一款优美的扇环形扇子，如图 所示，其扇环面是由画有精美图案的油布构成，扇子 对应的扇环外环的弧长为48 cm，内环的弧长为16 cm， 油布径长（外环半径与内环半径之差）为24 cm，则该扇子的油布面积大约为（油布与扇子骨架皱折部分忽略不计）（　　） A. 1 024 cm2 B. 768 cm2 C. 640 cm2 D. 512 cm2 √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　设扇子对应的扇形的圆心角为α（α＞0），内环的半径为r cm， 外环的半径为R cm，则R－r＝24 cm.因为扇环外环的弧长为48 cm，内环 的弧长为16 cm，所以 则α（R＋r）＝64 cm，所以该扇子 的油布面积为S＝ α（R2－r2）＝ α（R＋r）（R－r）＝ ×64×24＝ 768 cm2. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 03 PART 拓视野　扇形的弧长公式的应用 能力提升 目 录 如图，点P，Q从点A（4，0）同时出发，沿圆周运动，点P按逆时针方 向每秒钟转 ，点Q按顺时针方向每秒钟转 . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 1. 点P，Q第一次相遇时用了多少秒？ 提示：设点P，Q第一次相遇所用的时间是t s，则t· ＋t· ＝2π，解 得t＝4，∴第一次相遇时用了4 s. 2. 点P，Q第一次相遇时各自走过的弧长是多少？ 提示：第一次相遇时，点P运动到角 的终边与圆相交的位置，点Q运动 到角－ 的终边与圆相交的位置，∴点P走过的弧长为 ·4＝ ，点Q 走过的弧长为 ×4＝ . 【问题探究】 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【迁移应用】 　若点Q也按逆时针方向转，则点P，Q第一次相遇时用了多少秒？ 解：设点P，Q第一次相遇的时间为t s，则t· －t· ＝2π，解得t＝12 s. 所以第一次相遇时用了12 s. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 1. 〔多选〕下列各式正确的是（　　） A. －210°＝－ B. 405°＝ C. 335°＝ D. 705°＝ 解析： 　对于A，－210°＝－210× ＝－ ，正确；对于B， 405°＝405× ＝ ，正确；对于C，335°＝335× ＝ ，错误； 对于D，705°＝705× ＝ ，正确. √ √ √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 若α＝－5，则角α的终边在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析： 　因0＜2π－5＜ ，则角2π－5为第一象限角，α＝－5的终边与角 2π－5的终边相同，故角α的终边在第一象限. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 将－1 485°化成2kπ＋α（0≤α＜2π，k∈Z）的形式为 ⁠ ⁠. 解析：由－1 485°＝－5×360°＋315°，所以－1 485°可以表示为－ 10π＋ π. －10π＋ π 数学·必修第三册（B 版） 目 录 4. 已知一扇形的圆心角为α（α为正角），周长为C，面积为S，所在圆的 半径为r. （1）若α＝36°，r＝10 cm，求扇形的弧长； 解： α＝36°＝36× ＝ π，扇形的弧长l＝αr＝ π×10＝2π（cm）. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）若C＝4 cm，求S的最大值及此时扇形的半径和圆心角. 解： 设扇形的弧长为l，半径为r，则2r＋l＝4， ∴l＝4－2r（0＜r＜2），则S＝ lr＝ （4－2r）r＝－r2＋2r＝－（r －1）2＋1， 当r＝1时，Smax＝1 cm2，此时l＝4－2×1＝2 cm，α＝ ＝2， ∴S的最大值是1 cm2，此时扇形的半径是1 cm，圆心角是2 rad. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 04 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 下列角与－ 的终边相同的是（　　） A. － B. C. D. － 解析： 　法一　由于－ ＝－4π＋ ，所以－ 与 的终边相同， 与 的终边相同的角的集合为 ，令k＝1，α＝ ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 法二　因为－ － ＝－ ，－ － ＝－ ，－ － ＝－ 6π，－ － ＝－ ，只要两个角的差为周角的整数倍，那么其终 边相同，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 已知点P在圆O上先按顺时针方向旋转 弧度，再按逆时针方向旋转 弧度，则OP转过的角等于（　　） A. － B. － C. D. √ 解析： 　∵按顺时针方向旋转转过的角为负角，按逆时针方向旋转转过 的角为正角，∴OP转过的角为－ ＋ ＝－ .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 与角－ 的终边相同的角的表达式为（　　） A. 2kπ＋ （k∈Z） B. k·360°－ （k∈Z） C. k·360°－210°（k∈Z） D. kπ＋ （k∈Z） 解析： 　与角－ 的终边相同的角的表达式为2kπ－ （k∈Z），或 k·360°－210°（k∈Z）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第三册（B 版） 目 录 4. 圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧 度数为（　　） A. B. C. D. 2 解析： 如图，设圆的半径为R，则圆的内接正三角形的边 长为 R，所以圆弧长度为 R的圆心角的弧度数α＝ ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第三册（B 版） 目 录 5. 把－ π表示成θ＋2kπ（k∈Z）的形式，使｜θ｜最小的θ值是（　　） A. － B. － C. D. 解析： 　∵－ ＝－2π－ ，∴－ 与－ 是终边相同的角，且此时 ＝ 是最小的. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第三册（B 版） 目 录 6. 《九章算术》是我国古代数学的杰出代表作.其中《方田》 章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝ （弦 ×矢＋矢2）.弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为 ，半径为4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（　　） A. 6 m2 B. 9 m2 C. 12 m2 D. 15 m2 √ 解析： 　根据题设，弦＝2×4 sin ＝4 m，矢＝4－4 cos ＝2 m，故 弧田面积＝ ×（弦×矢＋矢2）＝ ×（4 ×2＋22）＝4 ＋2≈9 m2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第三册（B 版） 目 录 7. －105°化为弧度为 　－ π　， π化为角度为 ⁠. 解析：－105°＝－105× ＝－ π， π＝ π× ＝600°. － π 600° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第三册（B 版） 目 录 8. 弧长为3π，圆心角为135°的扇形的半径为 ，面积为 ⁠. 解析：因为135°＝ ＝ ，所以扇形的半径为 ＝4，面积为 ×3π×4＝6π. 4 6π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第三册（B 版） 目 录 9. 若角α的终边与角 π的终边相同，则在[0，2π]上，终边与角 的终边相 同的角是 ⁠. 解析：由题意，得α＝ ＋2kπ，∴ ＝ ＋ （k∈Z）.令k＝0，1， 2，3，得 ＝ ， ， ， . ， ， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第三册（B 版） 目 录 10. 已知角α＝1 200°. （1）将α改写成β＋2kπ（k∈Z，0≤β＜2π）的形式，并指出α是第几象限 的角； 解： 因为α＝1 200°＝1 200× ＝ ＝3×2π＋ ，又 ＜ ＜ π，所以角α与 的终边相同，所以角α是第二象限的角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）在区间[－4π，π]上找出与α终边相同的角. 解： 因为与角α终边相同的角（含角α在内）为2kπ＋ ，k∈Z，所 以由－4π≤2kπ＋ ≤π，得－ ≤k≤ . 因为k∈Z，所以k＝－2或k＝－1或k＝0. 故在区间[－4π，π]上与角α终边相同的角是－ ，－ ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第三册（B 版） 目 录 11. 如图，在Rt△PBO中，∠PBO＝ ， 是以O为圆心，OB为半径的 圆落在△PBO内部的部分（其中A在PO上），若△PBO的面积与扇形 OAB的面积之比为5∶3，记∠AOB＝α，则 ＝ 　​ 　. ​ 解析：由题意得S△PBO＝ OB·OBtan α，S扇形OAB＝ α·OB2， 所以 ＝ ＝ ⇒ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第三册（B 版） 目 录 12. 某时针的秒针端点A到中心O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋 转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合.设秒针端点A转过的路 程为d cm，所形成的扇形面积为S cm2，分别求d与S关于时间t（s）的函 数，其中t∈[0，60]. 解：∵秒针的旋转方向为顺时针， ∴t s后秒针端点A转过的角α＝－ rad， ∴秒针端点A转过的路程为d＝｜α｜·r＝ （cm）， ∴形成的扇形面积为S＝ ｜α｜·r2＝ （cm2）， ∴d＝ （t∈[0，60]），S＝ （t∈[0，60]）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第三册（B 版） 目 录 $