7.1.1 角的推广-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册教用课件（人教B版）

该高中数学课件围绕“角的推广”展开，涵盖任意角的概念、终边相同的角的表示及象限角等核心知识点，通过“闹钟调整时间”情境导入，衔接初中静态角知识，搭建从生活实例到数学抽象的学习支架。 其亮点在于以数学抽象、数学运算和直观想象为核心，情境问题激发探究，典例研析结合通性通法与跟踪训练，如终边相同角的集合表示及象限角判断，培养学生逻辑推理与空间想象能力，为教师提供分层教学资源，提升课堂效率。

7.1.1　角的推广 1 1.了解任意角的概念，能区分各类角（数学抽象）. 2.掌握终边相同的角的含义及其表示方法（数学运算）. 3.理解象限角的概念并能用集合表示各类象限角（直观想象）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　周日早晨，小明起床后发现自己的闹钟指针停在5：00这一时刻，他 立即更换了电池，调整到了正常时间6：30，并开始正常的学习. 【问题】　小明在调整闹钟时间时，时针与分针各转过了多少度？ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 知识点一　角的概念的推广 1. 角的概念 一条 绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射 线分别称为角的 和 ⁠. 射线　 始边　 终边　 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 角的表示 如图所示： （1）始边：射线OA； （2）终边：射线OB； （3）顶点：射线的端点O； （4）记法：图中的角α也可记为“ ”或“ ⁠”. α　 ∠AOB　 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 角的分类 名称 定义 图示 正角 按照 ⁠方向旋转而成的角 负角 按照 ⁠方向旋转而成的角 零角 一条射线 ⁠旋转而成的角 由于角是旋转生成的，所以也常称为 ⁠. 逆时针　 顺时针　 没有　 转角　 数学·必修第三册（B 版） 目 录 4. 角的加减运算的一个几何意义（β＞0°） （1）α＋β：把角α的终边 方向旋转角β，如图①； 　　　　　　　图①　　　　　　图② （2）α－β：把角α的终边 方向旋转角β，如图②. 　　提醒：对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字：①要明确旋转方 向；②要明确旋转角度的大小；③要明确射线未作任何旋转时的位置. 逆时针　 顺时针　 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【想一想】 1. 角的三要素是什么？ 提示：角的三要素是顶点、始边、终边. 2. 用几何意义表示角的加、减时，按逆时针、顺时针旋转的是角的哪 条边？ 提示：在表示α±β时第二次旋转的是角α的终边. 　经过1个小时，时针转过的角度是 ⁠. －30° 数学·必修第三册（B 版） 目 录 知识点二　象限角 1. 象限角 角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上，这时，角的终 边在第几象限，就把这个角称为 .如果终边在 ⁠ 上，就认为这个角不属于任何象限. 2. 终边相同的角 （1）所有与α终边相同的角连同角α在内组成一个集合，这个集合可记为S ＝ ⁠； 第几象限角　 坐标轴　 {β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}　 数学·必修第三册（B 版） 目 录 ①k是整数，这个条件不能漏掉； ②α是任意角； ③k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋（－ 30°），k∈Z； ④终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整 数倍，相等的角终边一定相同. （2）所有与角α终边相同的角，连同角α在内都可以用式子k·360°＋α， k∈Z表示，在运用时需注意以下几点： 数学·必修第三册（B 版） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）终边相同的角一定相等. （　×　） （2）钝角为第二象限角. （　√　） （3）第一象限的角一定是锐角. （　×　） （4）第二象限角大于第一象限角. （　×　） × √ × × 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 〔多选〕给出下列四个选项，其中正确的选项是（　　） A. －75°角是第四象限的角 B. 225°角是第三象限的角 C. 475°角是第二象限的角 D. －315°角是第四象限的角 √ √ √ 解析： 　因为－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，360° ＋90°＜475°＜360°＋180°，－360°＜－315°＜－270°，所以A、 B、C是正确的. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为 ⁠ ，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数为 ⁠. －25° 395° 数学·必修第三册（B 版） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜有关角的概念问题 【例1】　下列命题正确的是（　　） A. 终边与始边重合的角是零角 B. 终边和始边都相同的两个角一定相等 C. 在90°≤β＜180°范围内的角β不一定是钝角 D. 小于90°的角是锐角 √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，故A不正确； 终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°， 故B不正确；由于在90°≤β＜180°范围内的角β包含90°角，所以不一定 是钝角，C正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，故D不正确， 故选C. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 理解与角的概念有关问题的关键 　　关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概 念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正 确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一 个反例即可. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 1. 射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋 转270°到达OC位置，则∠AOC＝（　　） A. 150° B. －150° C. 390° D. －390° 解析： 　各角和的旋转量等于各角旋转量的和.所以120°＋（－270°） ＝－150°，故选B. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 若将时钟拨快30 min，则分针转过的角度为 ；若时钟从3时 走到8时，则时针转过的角度为 ⁠. 解析：若将时钟拨快30 min，则分针转过的角度为－ ×360°＝－180°. 若时钟从3时走到8时，则时针转过的角度为－ ×360°＝－150°. －180° －150° 数学·必修第三册（B 版） 目 录 题型二｜终边相同的角的表示 【例2】　已知α＝－1 120°. （1）把α写成β＋k·360°（k∈Z）的形式，其中0°≤β＜360°； 解： 用－1 120°除以360°，得商为－4，余数为320°， ∴α＝320°＋（－4）×360°. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）写出与角α终边相同的角θ的集合S，并求出S中满足不等式－ 720°≤θ ≤0°的元素. 解： 法一　与角α＝－1 120°终边相同的角θ的集合S＝{θ｜θ＝ 320°＋k·360°，k∈Z}. 则由－720°≤320°＋k·360°≤0°，得－ ≤k≤－ ，k∈Z，∴k＝ －2或－1. 当k＝－2时，θ＝－2×360°＋320°＝－400°； 当k＝－1时，θ＝－1×360°＋320°＝－40°. 故在－720°～0°之间的角θ＝－400°或－40°. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 法二　与角α＝－1 120°终边相同的角θ的集合S＝{θ｜θ＝－1 120°＋ k·360°，k∈Z}. 则由－720°≤－1 120°＋k·360°≤0，得 ≤k≤ ，k∈Z，∴k＝2 或3. 当k＝2时，θ＝－1 120°＋2×360°＝－400°； 当k＝3时，θ＝－1 120°＋3×360°＝－40°. 故在－720°～0°之间的角θ＝－400°或－40°. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 1. 求终边落在直线上的角的集合的步骤 （1）写出在0°～360°范围内相应的角； （2）由终边相同的角的表示方法写出角的集合； （3）根据条件能合并的一定要合并，使结果简洁. 2. 与终边相同的角的有关结论 （1）终边相同的角之间相差360°的整数倍； （2）终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍； （3）终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 1. 与角－2 026°6'终边相同的角是（　　） A. －406°6' B. －226°6' C. 313°54' D. 673°54' 解析： 　－2 026°6'＝－5×360°－226°6'，故选B. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 若角α与角β的终边相同，则角β－α的终边在（　　） A. x轴的非负半轴上 B. y轴的非负半轴上 C. x轴的非正半轴上 D. y轴的非正半轴上 解析： 　由题意得β＝α＋k·360°，k∈Z，故β－α＝k·360°，k∈Z，则 角β－α的终边在x轴的非负半轴上. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 题型三｜象限角与区域角的表示 【例3】　（1）如图所示，终边落在阴影部分（包括边界）的角α的集合 为 ⁠； {α｜－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z} 解析：终边落在OA位置上的角的集合为{γ｜γ＝90°＋45°＋k·360°， k∈Z}＝{γ｜γ＝135°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集 合为{β｜β＝－30°＋k·360°，k∈Z}.由题图可知，终边落在阴影部分的 角的集合可表示为{α｜－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）已知α是第二象限角，求角 所在的象限. 解：法一　∵α是第二象限角， ∴k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°（k∈Z）. ∴ ·360°＋45°＜ ＜ ·360°＋90°（k∈Z）. 当k为偶数时，令k＝2n（n∈Z），得 n·360°＋45°＜ ＜n·360°＋90°，n∈Z， 这表明 是第一象限角； 当k为奇数时，令k＝2n＋1（n∈Z），得 数学·必修第三册（B 版） 目 录 n·360°＋225°＜ ＜n·360°＋270°，n∈Z， 这表明 是第三象限角. ∴ 为第一或第三象限角. 法二　如图，先将各象限分成2等份，再从x轴正半轴上 方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有二的 区域即为 的终边所在的区域，故 为第一或第三象限角. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【母题探究】 1. （变条件，变设问）若将本例（2）中的“第二象限角”改为“第三象 限角”，求角2α的终边的位置. 解：∵α是第三象限角， ∴k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°（k∈Z）， ∴k·720°＋360°＜2α＜k·720°＋540°（k∈Z）， ∴角2α的终边在第一或第二象限或在y轴的正半轴上. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. （变条件）若将本例（2）中的“第二象限角”改为“第一象限角”， 如何求解？ 解：∵k·360°＜α＜k·360°＋90°（k∈Z）， ∴k·180°＜ ＜k·180°＋45°（k∈Z）. 当k＝2n（n∈Z）时，n·360°＜ ＜n·360°＋45°， ∴ 是第一象限角. 当k＝2n＋1（n∈Z）时，n·360°＋180°＜ ＜n·360°＋225°， ∴ 是第三象限角.∴ 是第一或第三象限角. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 1. 表示区间角的三个步骤 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界； 第二步：按由小到大的顺序分别标出起始和终止边界对应的相应范围内的 角α和β，写出最简区间{x｜α＜x＜β}，其中β－α＜360°； 第三步：扇形区域起始、终止边界对应角α，β再加上k·360°（k∈Z）， 即得区间角集合.对于对顶区域，始边、终边再加上k·180°（k∈Z）即得 区间角集合. 2. 解决角 终边所在象限的问题，要先确定α的范围，进一步确定出nα或 的范围，再根据k与n的关系进行讨论. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 1. 已知α是第二象限角，则180°－α是（　　） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 解析： 　由α是第二象限角可得，90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°， k∈Z. 所以180°－（180°＋k·360°）＜180°－α＜180°－（90°＋ k·360°），k∈Z. －k·360°＜180°－α＜90°－k·360°，k∈Z，所以 180°－α是第一象限角. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 写出图中终边在阴影部分的角的集合（包括边界）. 解：（1）先表示出一个周期内满足条件的不等式45°≤α≤120°，再加 360°的整数倍，得{α｜45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}. （2）从135°角的终边开始逆时针旋转到与－45°终边相同的角应为 135°＋180°＝315°，所以{α｜135°＋k·360°≤α≤315°＋k·360°， k∈Z}. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 1. 若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α终边所在的象限是（　　） A. 第一、三象限 B. 第一、二象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 解析： 　由题意知α＝k·180°＋45°，k∈Z. 当k＝2n＋1，n∈Z时，α ＝2n·180°＋180°＋45°＝n·360°＋225°，n∈Z，其终边在第三象 限；当k＝2n，n∈Z时，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，n∈Z， 其终边在第一象限.综上，α终边所在的象限是第一或第三象限. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（　　） A. {α｜120°≤α≤330°} B. {α｜－30°≤α≤120°} C. {α｜k·360°＋120°≤α≤k·360°＋330°，k∈Z} D. {α｜k·360°－30°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z} 解析： 　330°角的终边与－30°角的终边相同，因此终边落在阴影部分 （包括边界）的一个区间角为{α｜－30°≤α≤120°}，在此区间角的两 端分别加上“k·360°”，右端注明“k∈Z”即可得到终边落在阴影部分 （包括边界）的角的集合. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 〔多选〕已知集合A＝{θ｜θ为锐角}，B＝{θ｜θ为小于90°的角}，C ＝{θ｜θ为第一象限角}，D＝{θ｜θ为小于90°的正角}，则下列等式中成 立的是（　　） A. A＝B B. B⊇C C. A⊆C D. A＝D 解析： 　集合A中锐角θ满足0°＜θ＜90°；集合B中θ＜90°，可以为 负角；集合C中θ满足k·360°＜θ＜k·360°＋90°，k∈Z；集合D中θ满 足0°＜θ＜90°.故A⊆C，A＝D. √ √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 4. 已知0°≤α＜360°，且α与600°角终边相同，则α＝ ⁠， 它是第 象限角. 解析：因为600°＝360°＋240°，所以240°角与600°角终边相同，且 180°＜240°＜270°，故α＝240°，它是第三象限角. 5. 在四个角－20°，－400°，2 400°，600°中，第四象限角的个数 是 ⁠. 解析：－20°是第四象限角；－400°＝－360°－40°是第四象限角；2 400°＝6×360°＋240°是第三象限角；600°＝360°＋240°是第三象 限角，故第四象限角有2个. 240° 三 2 数学·必修第三册（B 版） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 〔多选〕在下列四个角中，属于第二象限角的是（　　） A. 160° B. 480° C. －960° D. 1 530° 解析： 　160°显然在第二象限；480°＝120°＋360°是第二象限 角；－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；1 530°＝4×360°＋ 90°不是第二象限角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ √ √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 与－463°终边相同的角可以表示为（　　） A. k·360°＋463°（k∈Z） B. k·360°＋103°（k∈Z） C. k·360°＋257°（k∈Z） D. k·360°－257°（k∈Z） 解析： 　因为－463°＝－2×360°＋257°，所以与－463°终边相同的 角可以表示为k·360°＋257°（k∈Z）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 已知集合M＝{x｜x＝k·90°＋45°，k∈Z}，集合N＝{x｜x＝ k·45°＋90°，k∈Z}，则有（　　） A. M＝N B. N⫋M C. M⫋N D. M∩N＝∅ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析： 　由于k·90°（k∈Z）表示终边 在x轴或y轴上的角，所以k·90°＋45° （k∈Z）表示终边落在y＝x或y＝－x上 的角（如图①）. 又由于k·45°＋90°（k∈Z）表示终边落在x轴、y轴、直线y＝±x上8 个位置的角（如图②），因而M⫋N，故选C. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 4. 若角α与65°角的终边相同，角β与－115°角的终边相同，则α与β之间 的关系是（　　） A. α＋β＝－50° B. α－β＝180° C. α＋β＝k·360°＋180°（k∈Z） D. α－β＝k·360°＋180°（k∈Z） 解析： 　由题意可知，α＝k1·360°＋65°（k1∈Z），β＝k2·360°－ 115°（k2∈Z），所以α＋β＝（k1＋k2）·360°－50°，α－β＝（k1－ k2）·360°＋180°，记k＝k1－k2∈Z，故α－β＝k·360°＋180° （k∈Z）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 5. 〔多选〕下列命题正确的是（　　） A. 第一象限角一定不是负角 B. 若β＝α＋k·360°（k∈Z），则α与β的终边相同 C. α＝45°＋k·180°（k∈Z），则α的终边落在直线y＝x上 D. 终边在x轴上的角的集合是{α｜α＝k·180°，k∈Z} 解析： 　对于A，－330°是第一象限角，它是负角，故A错误；对于 B，β＝α＋k·360°（k∈Z），则α与β的终边相同，满足终边相同的角的 定义，B正确；对于C，α＝45°＋k·180°（k∈Z），则α的终边落在直线 y＝x上，C正确；对于D，终边在x轴上的角的集合是{α｜α＝k·180°， k∈Z}，D正确. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 6. 角α与角β的终边互为反向延长线，则（　　） A. α＝－β B. α＝180°＋β C. α＝k·360°＋β（k∈Z） D. α＝k·360°＋180°＋β（k∈Z） 解析： 　∵角α与角β的终边互为反向延长线，∴α－β＝k·360°＋180° （k∈Z），∴α＝k＋360°＋180°＋β（k∈Z）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 7. 与2 000°角终边相同的角中，最小的正角为 ，最大的负角 为 ⁠. 解析：2 000°＝5×360°＋200°＝6×360°－160°，所以与2 000°角 终边相同的角中，最小的正角为200°，最大的负角为－160°. 200° －160° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 8. 已知点P（0，－1）在角α的终边上，则所有角α组成的集合S ＝ ⁠. 解析：∵点P（0，－1）在y轴的负半轴上，在0°～360°内满足条件的 角为270°，∴所有角α组成的集合S＝{α｜α＝270°＋k·360°，k∈Z}. {α｜α＝270°＋k·360°，k∈Z} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 9. 已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第 象限角. 解析：由题意知k·360°＜2α＜180°＋k·360°（k∈Z），故k·180°＜α ＜90°＋k·180°（k∈Z），按照k的奇偶进行讨论.当k＝2n（n∈Z） 时，n·360°＜α＜90°＋n·360°（n∈Z），∴α是第一象限角；当k＝ 2n＋1（n∈Z）时，180°＋n·360°＜α＜270°＋n·360°（n∈Z）， ∴α是第三象限角.故α是第一象限角或第三象限角. 一或三 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 10. 如图所示： （1）分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合； 解： 终边落在OA位置上的角的集合为{α｜α＝30° ＋k·360°，k∈Z}， 终边落在OB位置上的角的集合为{β｜β＝105°＋ k·360°，k∈Z}. （2）写出终边落在阴影部分的角的集合. 解： 由（1）及题图知，阴影部分的角的集合为{θ｜30°＋k·360°≤θ＜105°＋k·360°，k∈Z}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 11. 〔多选〕如果α是第三象限角，那么 可能是哪个象限的角（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析： 　因为α是第三象限的角，则α∈（k·360°＋180°，k·360° ＋270°），k∈Z，所以 ∈（k·120°＋60°，k·120°＋90°）， k∈Z，按照k＝3n，k＝3n＋1，k＝3n＋2（n∈Z）进行讨论可知 可以 是第一、第三、第四象限角. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 12. 角α，β的终边关于y＝x对称，若α＝30°，则β＝ ⁠ ⁠. 解析：因为30°与60°的终边关于y＝x对称，所以β的终边与60°角的终 边相同.所以β＝60°＋k·360°，k∈Z. 60°＋ k·360°， k∈Z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 13. 已知角的集合M＝{α｜α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题： （1）集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？ 解： 令－360°＜30°＋k·90°＜360°，得－ ＜k＜ ，又 ∵k∈Z，∴k＝－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，∴集合M中大于－ 360°且小于360°的角共有8个，分别是－330°，－240°，－150°，－ 60°，30°，120°，210°，300°. （2）写出集合M中的第二象限角β的一般表达式. 解： ∵集合M中的第二象限角与120°角的终边相同， ∴β＝120°＋k·360°，k∈Z. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 $