精品解析：天津市嘉诚中学2025-2026学年高一第二学期寒假学情调研数学试题

天津市嘉诚中学2025—2026学年度第二学期寒假学情调研 高一年级数学试卷 （考试时长：100分钟 试卷满分：100分） 第Ⅰ卷（选择题 共27分） 一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设、，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 4. 若两个正实数，满足，且存在这样，使不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 或 5. 若，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 6. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的部分图像大致为（ ） A. B. C D. 8. 已知函数，则下列结论 ①若，则在上是单调递增 ②若，则正整数ω的最小值为2 ③若，函数的图象向右平移个单位长度得到的图象．则为奇函数 ④若在上有且仅有3个零点，则 其中判断正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 已知函数，则函数的零点个数是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 第Ⅱ卷（非选择题 共73分） 二、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 函数的定义域是________. 11. 若角的终边经过点，则的值为_____. 12. 幂函数为偶函数，且在上是减函数，则___________. 13. 砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形截去同心扇形所得图形，已知，，，则该扇环形砖雕的面积为________. 14. 函数在区间上是减函数，则实数的范围是______． 15. 已知，若方程有四个根，且，则 的取值范围是________. 三、解答题：（本题共5小题，共49分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算下列各式的值： （1）； （2）． 17. 已知 （1）化简并求的值； （2）若且，求的值； （3）已知，求的值． 18 已知. （1）求函数在上的单调递减区间； （2）求函数在上的值域； （3）求不等式在上解集. 19. 已知函数，． （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）求在上的最小值和最大值． 20. 已知定义在R上的函数 （1）若不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）设，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市嘉诚中学2025—2026学年度第二学期寒假学情调研 高一年级数学试卷 （考试时长：100分钟 试卷满分：100分） 第Ⅰ卷（选择题 共27分） 一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求，再结合交集的定义求结论. 【详解】因为集合， 所以， 所以. 故选：A. 2. 设、，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，不妨取，，此时，不成立， 即“”“”； 若，则，所以，，即， 即“”“”. 所以，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断函数的单调性，结合函数零点存在性定理判断选项. 【详解】∵函数在上均是增函数， ∴函数在上是增函数， ∵，，∴， ∴函数区间上有唯一零点. 故选：B． 4. 若两个正实数，满足，且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式可得的最小值，进而可得，解不等式即可. 【详解】由已知正实数，满足， 则，当且仅当时等号成立， 所以， 解得：或， 故选：A. 5. 若，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于AC选项，因为，则，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为，A对C错； 对于BD选项，因为，则， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，但，故等号不成立， 所以，即没有最小值，BD都错. 故选：A. 6. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，分别与1，2比较即可得出的大小关系. 【详解】，，， 所以 故选：A. 7. 函数的部分图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性排除C；当时，可排除A，D，从而可得答案. 【详解】函数的定义域为， ∵， ∴是奇函数，图象关于原点对称，故排除C； ∵当时，，故排除A，D. 故选：B. 8. 已知函数，则下列结论 ①若，则在上是单调递增 ②若，则正整数ω的最小值为2 ③若，函数的图象向右平移个单位长度得到的图象．则为奇函数 ④若在上有且仅有3个零点，则 其中判断正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】化简函数f(x)的表达式，根据正弦函数的性质与图像再逐一分析各个选项中的条件，计算判断作答. 【详解】依题意，， 对于①，， 当时，有，则在上单调递增， 所以在上单调递增，故正确； 对于②，因，则是函数图像的一条对称轴，，整理得， 而，即有，，故正确； 对于③，，， 依题意，函数， 这个函数不是奇函数，其图像关于原点不对称，故不正确； 对于④，当时，， 依题意，，解得，故正确. 故选：C 9. 已知函数，则函数的零点个数是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先利用零点和根的关系得到或，然后再利用函数的零点和函数交点的关系求零点的个数即可. 【详解】函数的零点， 即方程和的根，函数的图象，如下图所示： 由图可得方程和的根，共有4个根，即函数有4个零点． 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题 共73分） 二、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 函数的定义域是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据偶次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，对数的真数大于0求解即可. 【详解】由题意，解得， 所以函数的定义域是. 故答案为：. 11. 若角的终边经过点，则的值为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】由三角函数定义求出的值，结合弦化切可得所求代数式的值. 【详解】由题意可得， 所以，. 故答案为：. 12. 幂函数为偶函数，且在上是减函数，则___________. 【答案】3或4 【解析】 【分析】根据幂函数定义结合偶函数、单调性求解， 【详解】由题意，， 又，，而，所以或1， 所以或4． 故答案为：3或4． 13. 砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形截去同心扇形所得图形，已知，，，则该扇环形砖雕的面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合扇形的面积公式，准确计算，即可求解. 【详解】因为扇形的院校为， 又因为，， 所以，该扇环形砖雕的面积为. 故答案为：. 14. 函数在区间上是减函数，则实数的范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数复合函数区间单调性，结合二次函数、对数函数的性质列不等式组求参数范围. 【详解】对于开口向上，对称轴为，而在定义域内单调递增， 由在区间上是减函数，则，可得. 故答案为： 15. 已知，若方程有四个根，且，则 的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】作出函数和函数的图象，将方程根的问题，转化为图象交点问题，进而得出与，与的关系，从而得出结果. 【详解】解：因为方程有四个根， 故函数的图象与函数的图象有四个交点， 它们横坐标分别为， 如图所示， 当时，，且， 故， 当时，，且， 所以，解得， 因为函数的图象与函数的图象有四个交点， 由图可得，，故， 所以， 令，， 在单调递增， 所以，， 故 的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题：（本题共5小题，共49分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由指数幂的运算求解即可； （2）由对数的运算性质求解即可. 【小问1详解】 【小问2详解】 . 17. 已知 （1）化简并求的值； （2）若且，求的值； （3）已知，求的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式化简可得解析式及函数值； （2）根据诱导公式化简可得，结合同角三角函数关系式可得，进而可得，即可得解； （3）结合诱导公式，整体代入可得解. 【小问1详解】 由诱导公式可知， 则； 【小问2详解】 由（1）得， 即， 则， 解得， 又，则，， 所以， 则， 所以； 【小问3详解】 由已知（1）得，所以， 即， 所以. 18. 已知. （1）求函数在上的单调递减区间； （2）求函数在上的值域； （3）求不等式在上的解集. 【答案】（1），； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）（2）根据正弦函数的性质求单调减区间、值域； （3）根据正弦型函数的区间单调性解不等式求解集. 小问1详解】 由，结合正弦函数的单调性， 则且，可得，， 所以函数单调递减区间为，； 【小问2详解】 由题设，则，所以； 【小问3详解】 由题设，且， 所以，可得. 所以不等式解集为. 19. 已知函数，． （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）求在上的最小值和最大值． 【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）最小值和最大值． 【解析】 【详解】试题分析：（1）由已知利用两角和与差的三角函数公式及倍角公式将的解析式化为一个复合角的三角函数式，再利用正弦型函数的最小正周期计算公式，即可求得函数的最小正周期；（2）由（1）得函数，分析它在闭区间上的单调性，可知函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，由此即可求得函数在闭区间上的最大值和最小值．也可以利用整体思想求函数在闭区间上的最大值和最小值． 由已知，有 的最小正周期． （2）∵在区间上是减函数，在区间上是增函数，，，∴函数在闭区间上的最大值为，最小值为． 考点：1．两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式；2．三角函数的周期性和单调性． 20. 已知定义在R上的函数 （1）若不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）设，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据解析式可得函数在R上单调递增，解不等式可得在R上恒成立，分离参数利用基本不等式即可求出实数a取值范围； （2）根据题意可知需满足在上的最小值不限于在上的最小值，对参数进行分类讨论解不等式即可求得结果. 【小问1详解】 由函数和都为R上的单调递增函数可知， 函数在R上单调递增， 由可得不等式恒成立， 即，可得对于恒成立，所以; 又，当且仅当，即时等号成立； 所以， 即可得实数a取值范围是. 【小问2详解】 对任意的可得， 依题意可知即可，且关于对称， 若时，即，则，解得，所以可得； 若，即，则，解得，可得； 若，即，则，解得，所以可得； 综上可知，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $