第二十章《勾股定理》基础过关卷 2025-2026学年 人教版数学 八年级下册

第二十章 勾股定理基础过关卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在△ABC中，，，，的对边分别是a，b，c，则下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 2．一直角三角形两直角边的长度分别为6和8，则斜边的长为（   ） A．5 B．7 C．9 D．10 3．在△ABC中，，则的长为（   ） A．1 B． C． D．2 4．下列各组数是勾股数的是（   ） A．2，3，4 B．0.3，0.4，0.5 C．，2， D．5，12，13 5．下列各组数中，不能构成直角三角形三边的一组是（   ） A．，， B．3，5，4 C．1，2， D．5，12，13 6．在△ABC中，，，，则下列结论正确的是（   ） A．△ABC是直角三角形，且 B．△ABC是直角三角形，且∠B=90° C．△ABC是直角三角形，且 D．△ABC不是直角三角形 7．如图，在△ABC中，，，点是上一点，，连接，若，则的面积为（    ） A．24 B．30 C．48 D．60 8．如图，以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形，每个正方形中的数字及字母m表示所在正方形的边长，其中m的值为（    ） A．5 B．25 C．7 D．14 9．如图，在数轴上点A表示的实数是（    ） A． B． C． D． 10．一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动的距离为（   ） A．4米 B．6米 C．8米 D．15米 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．若一等腰直角三角形的直角边长为2，则它的斜边长为______． 12．请你写两个数，使得它们与8可以组成一组勾股数：__________． 13．已知一个三角形的三条边的长分别为，那么这个三角形的最大内角度数 为_________． 14．用三边长分别为3、4、5的四个直角三角形拼成如图的弦图，则中间小正方形的面积为___________． 15．如图，在的正方形网格中，点、在格点上，要找一个格点，使△ABC是等腰三角形（是其中一腰），则图中符合条件的格点有_____个． 16．如图，将矩形沿折叠，使点D落在上的F处，已知，的面积为24，则的长为___________． 三、解答题（本题共9小题，共72分．第17-18题每题6分，第19-23题每题8分，第24-25题每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知△ABC中，，为直角边，为斜边． (1)若，求； (2)若，求． 18．根据下列条件，分别判断以a，b，c为边的三角形是不是直角三角形． (1)，，． (2)，，． 19．如图，在△ABC中，，是高．若，，求的长． 20．如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何．译文：现在有一根竖直的木头，绳子系在其顶端．将绳子垂到地面时，绳子还有三尺余在地上．拉着绳子后退，离木头根部八尺时，绳子被拉直用完．问绳子的长度是多少？ 21．如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，离地面的高度为2.5米，一名学生站在处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离为1.2米，头顶离感应器的距离为1.5米，求这名学生的身高为多少米？ 22．如图所示，已知，，以点为圆心，为半径画弧交左侧数轴于点A． (1)写出数轴上点A所表示的数为______； (2)比较大小：点A所表示的数____________（填写“”或“”）； (3)在数轴上找出对应的点，（保留作图痕迹） 23．如图，在中，，，，点是外一点，连接，，且，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 24．2024年第13号台风“贝碧嘉”于9月16日17时前后经过常州，给当地造成了巨大损失．如图，一棵垂直于地面并且高9米的银杏树被台风折断，树顶A落在离树底部C的6米处，求这棵树在离地面多高处被折断． 25．勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．图1为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示证明勾股定理． (1)如图1，，，直角边分别为a，b，斜边为c，请根据图1证明勾股定理 (2)如图2，，，，，，求阴影部分的面积； (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，使现测得千米，千米，千米，求新修路的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十章 勾股定理基础过关卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在△ABC中，，，，的对边分别是a，b，c，则下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．根据勾股定理进行解答即可． 【详解】解：∵，，，的对边分别是a，b，c， ∴． 故选：B． 2．一直角三角形两直角边的长度分别为和，则斜边的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，利用勾股定理直接计算即可，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理得，斜边的长为， 故选：． 3．在△ABC中，，则的长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理． 在直角三角形中，利用勾股定理计算未知直角边的长度即可． 【详解】解：∵在△ABC中，， ∴根据勾股定理，得， ∴， 故选：A． 4．下列各组数是勾股数的是（   ） A．2，3，4 B．0.3，0.4，0.5 C．，2， D．5，12，13 【答案】D 【分析】本题考查勾股数的定义，勾股数是指能构成直角三角形三边的一组正整数，需满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A：，，，不是勾股数； B：，，不是正整数，不是勾股数； C：，不是正整数，不是勾股数； D：，，即，且均为正整数，是勾股数． 故选：D． 5．下列各组数中，不能构成直角三角形三边的一组是（   ） A．，， B．3，5，4 C．1，2， D．5，12，13 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解决本题的关键 ． 根据勾股定理的逆定理，若三边满足较短两边的平方和等于最长边的平方，则为直角三角形，否则不能构成，由此判断即可 ． 【详解】解：选项A：三边为，最大边为， 计算得：，故不能构成直角三角形； 选项B：三边为3，5，4，最大边为5， 计算得：，能构成直角三角形； 选项C：三边为，最大边为， 计算得：，能构成直角三角形； 选项D：三边为，最大边为13， 计算得：，能构成直角三角形． 故选：A． 6．在△ABC中，，，，则下列结论正确的是（   ） A．△ABC是直角三角形，且 B．△ABC是直角三角形，且∠B=90° C．△ABC是直角三角形，且 D．△ABC不是直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是计算三角形三边的平方，判断是否满足“两条较短边的平方和等于最长边的平方”，进而确定直角三角形及直角的位置． 先计算△ABC三边的平方，即，，；观察发现，根据勾股定理的逆定理，可知最长边所对的角为直角，即∠B=90°，由此判断选项． 【详解】解：A、若，则需满足，计算得，此选项不符合题意； B、若∠B=90°，则需满足，计算得，符合勾股定理的逆定理，此选项符合题意； C、若，则需满足，计算得，此选项不符合题意； D、由B的分析可知，满足勾股定理的逆定理，是直角三角形，此选项不符合题意； 故选：B． 7．如图，在△ABC中，，，点是上一点，，连接，若，则的面积为（    ） A．24 B．30 C．48 D．60 【答案】A 【分析】本题勾股定理的逆定理，涉及直角三角形面积等知识，利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形是解决问题的关键． 先由勾股定理的逆定理判断是直角三角形，且，再由直角三角形面积公式代值计算即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ，， ， 在中，，，，则，，， ， 即是直角三角形，且， 则， 在中，，，，则的面积为， 故选：A． 8．如图，以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形，每个正方形中的数字及字母m表示所在正方形的边长，其中m的值为（    ） A．5 B．25 C．7 D．14 【答案】A 【分析】根据勾股定理可知边长为4和边长为3的正方形的边长的平方和等于边长为的正方形边长的平方，据此可得答案． 本题考查了勾股定理，熟练运用勾股定理是解题关键． 【详解】解：每个正方形中的数及字母表示所在正方形的边长， 由勾股定理得：, 则（负数舍去）． 故选：A． 9．如图，在数轴上点A表示的实数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴与无理数的几何意义，解题的关键是利用勾股定理计算出线段长度，结合数轴确定点表示的实数． 【详解】解：由图可知，直角三角形的两条直角边长分别为和； 由勾股定理得，斜边长为； 数轴上点在原点右侧，且到原点的距离为， 则点表示的实数为； 故选：A． 10．一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动的距离为（   ） A．4米 B．6米 C．8米 D．15米 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中正确的使用勾股定理求的长度是解题的关键． 根据梯子长度不会变这个等量关系，利用勾股定理，即可解题． 【详解】解：由题意知米，米，米， 在直角中，斜边， 米， 已知米，则米， 在直角中， 米， 米． 故选：C． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．若一等腰直角三角形的直角边长为2，则它的斜边长为______． 【答案】 【分析】根据等腰直角三角形的性质与勾股定理求解斜边长． 【详解】解：设该等腰直角三角形的斜边长为， 根据勾股定理，可得， 整理得， 因为三角形的边长为正数， 因此． 即它的斜边长为． 12．请你写两个数，使得它们与8可以组成一组勾股数：__________． 【答案】/10，6 【分析】本题考查了勾股数的概念，勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴可以组成一组勾股数 故答案为：（答案不唯一） 13．已知一个三角形的三条边的长分别为，那么这个三角形的最大内角度数为_________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握定理是解决问题的关键．由三边长度利用勾股定理的逆定理可判定此三角形为直角三角形，则最大角可求． 【详解】解：， ∴此三角形为直角三角形， 则三角形最大内角度数为． 故答案为： ． 14．用三边长分别为3、4、5的四个直角三角形拼成如图的弦图，则中间小正方形的面积为___________． 【答案】1 【分析】本题在直角三角形背景下考查了正方形面积的计算，熟练掌握面积公式是解题的关键．根据题意和题目中的数据，可以计算出小正方形的边长，即可得到小正方形的面积． 【详解】解：由图可知小正方形边长为：， 小正方形面积为：， 故答案为：1． 15．如图，在的正方形网格中，点、在格点上，要找一个格点，使△ABC是等腰三角形（是其中一腰），则图中符合条件的格点有_____个． 【答案】5/五 【分析】本题考查了等腰三角形的定义；利用等腰三角形的定义和网格的特征找到其中一个端点为A或B且与相等且另一个端点为格点的线段即可，解决本题的关键是根据题意画出符合实际条件的图形. 【详解】如图，共有5个格点符合要求， 故答案为：5． 16．如图，将矩形沿折叠，使点D落在上的F处，已知，的面积为24，则的长为___________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查折叠性质、勾股定理，根据矩形的性质结合三角形的面积求出的长，勾股定理求出的长，进而得到的长，则可求出，设，则，在中，由勾股定理得，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴的面积， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴ 故答案为：． 三、解答题（本题共9小题，共72分．第17-18题每题6分，第19-23题每题8分，第24-25题每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知△ABC中，，为直角边，为斜边． (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （）利用勾股定理直接计算即可； （）利用勾股定理直接计算即可； 【详解】（1）解：∵为直角边，为斜边，， ∴； （2）解：∵为直角边，为斜边，， ∴． 18．根据下列条件，分别判断以a，b，c为边的三角形是不是直角三角形． (1)，，． (2)，，． 【答案】(1)直角三角形 (2)不是直角三角形 【分析】（1）直接利用勾股定理的逆定理判定即可； （2）直接利用勾股定理的逆定理判定即可． 【详解】（1）∵， ∴以7，24，25为边的三角形是直角三角形． （2）∵， 也就是较小两边的平方和不等于较大边的平方， ∴a，b，c中任何两边的平方和都不等于第三边的平方， ∴以，1，为边的三角形不是直角三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题关键是牢记“如果一个三角形的两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形”． 19．如图，在△ABC中，，是高．若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了利用勾股定理解三角形；先证明是等腰直角三角形，求出，再在中利用勾股定理即可求出. 【详解】解：， ． 是△ABC的高， ， ． 在中，． ． ． ． 在中，． ． 20．如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何．译文：现在有一根竖直的木头，绳子系在其顶端．将绳子垂到地面时，绳子还有三尺余在地上．拉着绳子后退，离木头根部八尺时，绳子被拉直用完．问绳子的长度是多少？ 【答案】尺 【分析】根据题意得，绳索，木桩形成直角三角形，根据勾股定理，即可求出绳索长． 本题考查勾股定理的知识，解题的关键是理解题意，运用勾股定理解决实际问题． 【详解】解：设绳索长为x尺，则木桩高为尺， ∴在中，，， ∴根据勾股定理，得， 解得． ∴绳索长为尺． 21．如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，离地面的高度为2.5米，一名学生站在处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离为1.2米，头顶离感应器的距离为1.5米，求这名学生的身高为多少米？ 【答案】这名学生的身高为1.6米 【分析】本题考查了勾股定理的应用．过点D作于E，得到，米，由勾股定理得出，进而得到米，即可得出答案． 【详解】解：过点D作于E，如图所示： 则四边形是矩形， ∴，米， 在中，米， 由勾股定理得 （米）， ∴（米）， ∴米． 故这名学生的身高为1.6米． 22．如图所示，已知，，以点为圆心，为半径画弧交左侧数轴于点A． (1)写出数轴上点A所表示的数为______； (2)比较大小：点A所表示的数____________（填写“”或“”）； (3)在数轴上找出对应的点，（保留作图痕迹） 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了实数和数轴，勾股定理，实数大小比较，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）根据勾股定理求出，然后得出点A表示的数即可； （2）先求出，，根据，得出即可； （3）过点D作，在上截取，连接，以点O为圆心，为半径画弧，交数轴于点G，则点G即为所求作的点． 【详解】（1）解：在中，根据勾股定理得： ， ∴， ∴点A所表示的数为， 故答案为：； （2）解：∵，， 又∵， ∴， 故答案为：； （3）解：如图，点G表示的数为． ∵，，， ∴， ∴． 23．如图，在中，，，，点是外一点，连接，，且，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，以及直角三角形面积的计算，熟练运用勾股定理和逆定理判定直角三角形是解题的关键． （1）利用勾股定理，在直角三角形中，结合已知的斜边和直角边长度，直接计算出的长； （2）先通过勾股定理的逆定理判定为直角三角形，再将四边形的面积拆分为两个直角三角形面积之和，代入数据计算即可． 【详解】（1）解：在中，，，，由勾股定理 的长为； （2）解：在中， ，， ， 又， ， 是直角三角形． ． 24．2024年第13号台风“贝碧嘉”于9月16日17时前后经过常州，给当地造成了巨大损失．如图，一棵垂直于地面并且高9米的银杏树被台风折断，树顶A落在离树底部C的6米处，求这棵树在离地面多高处被折断． 【答案】这棵树在离地面米高处被折断 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据图示知大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，标注相应点后，则有，，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设离地面高度x米处折断，则，， ∵ ∴， ∴    ． ∴ 答：这棵树在离地面2.5米高处被折断． 25．勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．图1为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示证明勾股定理． (1)如图1，，，直角边分别为a，b，斜边为c，请根据图1证明勾股定理 (2)如图2，，，，，，求阴影部分的面积； (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，使现测得千米，千米，千米，求新修路的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)24 (3)1.2 【分析】（1）根据三角形全等以及可得，再由三角形面积公式可分别求解出、与的面积，再由梯形面积公式求解出梯形的面积，由此可证勾股定理； （2）根据勾股定理可求解的长度，再由勾股定理逆定理可得为90度，分别计算与的面积即可求解阴影面积； （3）设，在中由勾股定理表示，在中由勾股定理表示，列式求解x的值，再回代求即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ，即， ， ， ，即； （2）解：，，， 有勾股定理得，， ，， ， ， ， 答：阴影部分面积为24； （3）解：设千米，则千米， ， ， 在中，， 在中，， ，即， 整理得，， 解得，， 千米， （千米）， 答：新修路的长为1.2千米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $