3.2 频率的稳定性（第1课时 非等可能事件频率的稳定性）（教学设计）数学新教材北师大版七年级下册

3.2 频率的稳定性（第1课时：非等可能事件频率的稳定性） （教学设计） 1.教学内容 本节课为北师大版初中数学七年级下册第三章《概率初步》，第二节《频率的稳定性》第1课时，本节课主要内容包括：通过掷图钉试验，理解频率的概念；经历猜测、试验、收集数据、分析结果的过程，感受在试验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性；了解频率稳定性的意义，能用频率估计事件发生的可能性大小. 2.内容解析 本节课是第三章“概率初步”的核心内容，是在学生学习了“感受可能性”，对确定事件和随机事件有了初步认识的基础上进行的.从知识体系看，本节课实现了从定性描述（可能性大小）到定量分析（频率稳定性）的跨越，是概率学习的转折点。教材选择掷图钉这一非等可能事件作为研究对象，意在纠正学生“一次试验出现两种结果，那么这两种结果发生的可能性一定相同”的错误观念.从思想方法层面看，本节课集中体现了“随机观念”“统计思想”和“归纳思想”。通过大量重复试验，让学生亲身体验频率的波动性与稳定性，理解概率是频率的稳定值这一核心思想。同时，本节课也为后续学习等可能事件的概率及概率计算奠定基础. 基于以上分析，本节课的教学重点为：通过试验理解当试验次数较大时，事件发生的频率具有稳定性. 1. 教学目标 （1）理解频率的概念，知道频率的计算方法；通过试验感受在试验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性；能用频率估计事件发生的可能性大小. （2）经历“猜测—试验—收集数据—分析结果—得出结论”的完整探究过程，体会统计思想；通过绘制折线统计图，培养数据分析能力. （3）在小组合作试验中，培养合作交流意识和科学探究精神；通过数学史介绍（伯努利），感受数学文化的魅力；树立用数据说话的理性精神. 2.目标分析 （1）强调概念的准确理解和基本技能的掌握.学生需要能够正确计算频率，理解频率稳定性的含义. （2）侧重于过程体验和方法习得.通过“做数学”的过程，让学生经历科学探究的完整路径，培养数据分析观念. （3）通过试验活动和数学史介绍，让学生在动手操作中感受数学的趣味性和严谨性，培养实事求是的科学态度. 学生在小学已经体验过事件发生的等可能性及游戏规则的公平性，会求简单事件发生的可能性.通过上一节课的学习，学生已经了解了随机事件发生的可能性有大有小，具备了一定的基础.但学生可能存在以下迷思概念：①认为一次试验出现两种结果，那么这两种结果发生的可能性一定相同；②认为频率就是概率，不理解频率的随机波动性；③当试验次数较少时，容易对结果产生错误判断。七年级学生活泼好动，对“做数学”有浓厚的兴趣，具备一定的合作学习经验，但数据处理能力和抽象思维能力仍需教师引导. 基于以上分析，确定本节课的教学难点是：大量重复试验得到频率稳定值的分析，以及对频率与概率关系的初步感知. 创设情景，引入新课 情境创设：小明和小丽想用掷图钉来决定谁去参加夏令营。小明说：“掷一枚图钉，落地后如果是钉尖朝上，我就去；如果是钉尖朝下，小丽就去。”小丽认为这个办法不公平。你同意谁的观点？为什么？ 学生猜测：学生可能凭直觉认为两种结果可能性不同，也可能认为各占一半. 追问：直觉不一定可靠，我们怎样才能验证自己的猜测？ 引导学生想到做试验 引出课题：今天我们就通过试验来研究这个问题——频率的稳定性. （设计意图：从生活情境出发，引发认知冲突，激发学生通过试验验证猜想的需求，自然导入新课.） 探究点1：分组试验，获取数据 介绍频率定义：在n次重复试验中，不确定事件A发生了m次，则比值m/n称为事件A发生的频率。 任务1——小组试验 两人一组，一人掷图钉，一人记录. 每组做20次掷图钉游戏，记录钉尖朝上、朝下的次数. 计算钉尖朝上的频率（钉尖朝上次数/试验总次数）. 填入教材P140表格. 任务2——全班汇总. 各组汇报试验结果. 教师将全班数据累计填入汇总表（试验总次数20、40、80、120……400） 引导学生观察：各组数据是否一致？为什么有差异？ 教师点拨：试验次数较少时，频率波动较大，甚至与猜测有矛盾，这是正常现象。要得到可靠结论，需要增加试验次数. （设计意图：通过亲身试验，让学生体验随机现象的不确定性；通过数据汇总，初步感受随着次数增加，数据呈现的规律性.） 探究点2：绘制图表，探究规律 任务3——绘制折线统计图 根据全班汇总数据，在教材P141的坐标系中描点 画出钉尖朝上频率随试验次数变化的折线统计图 观察思考： 随着试验次数的增加，钉尖朝上的频率有什么变化趋势？ 频率是在一个常数附近摆动，还是毫无规律？ 摆动幅度有什么变化？ 小组讨论：学生交流观察结果. 归纳结论：在试验次数很大时，钉尖朝上的频率都会在一个常数附近摆动，即钉尖朝上的频率具有稳定性. （设计意图：通过绘制折线统计图，将抽象数据可视化，帮助学生直观发现频率的稳定性规律，突破本节课难点.） 探究点3：数学史话，深化认识 介绍数学家试验：出示历史上数学家掷硬币的试验数据（如布丰、皮尔逊等） 试验者 投掷次数 正面出现次数 正面频率 布丰 4040 2048 0.5069 皮尔逊 12000 6019 0.5016 思考：这些数据支持我们发现的规律吗？ 介绍伯努利：频率的稳定性是由瑞士数学家雅各布·伯努利最早阐明的，他还提出了“大数定律”，这是概率论的重要基石. （设计意图：通过数学史介绍，让学生了解知识的产生背景，增强学习兴趣，同时用更大样本的数据验证发现的规律，增强说服力.） 典型例题 1.问题：某射击运动员在同一条件下进行射击，结果如下表： 射击总次数n 10 20 50 100 200 500 1000 击中靶心次数m 9 16 41 88 168 429 861 击中靶心频率m/n （1）完成上表 （2）观察频率变化，有什么规律？ （3）估计该运动员击中靶心的可能性有多大？ 学生独立完成，教师巡视指导. （设计意图：通过射击问题的练习，巩固频率稳定性的理解，初步学会用频率估计可能性大小.） 课堂练习：课本随堂练习 参考答案：目的是让学生利用已收集到的数据，再次经历汇总数据、绘制折线统计图、分析试验结果的过程，最后得到类似的结论：在试验次数很大时，盖口向下的频率也会在一个常数附近摆动，即盖口向下的频率也一样具有稳定性. 问题1：小凡做了5次掷图钉试验，其中有3次钉尖朝上。据此他认为钉尖朝上的可能性比钉尖朝下的可能性大。你同意他的说法吗？ 学生讨论：5次试验次数太少，频率不稳定，不能代表普遍规律. 问题2：小明和小丽一起做了1000次掷图钉试验，其中有640次钉尖朝上。据此他们认为钉尖朝上的可能性比钉尖朝下的可能性大。你同意吗？ 学生讨论：1000次试验次数较大，频率相对稳定，可以作为估计依据. （设计意图：通过对比辨析，让学生理解试验次数对频率稳定性的影响，初步体会用频率估计可能性的思想.） 1．（2025•江西）校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废． （1）若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是 . A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 【解答】解：（1）由题意可得， 若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是随机事件， 故答案为：B. 2．（2025•湖北）在下列事件中，不可能事件是（　　） A．投掷一枚硬币，正面向上 B．从只有红球的袋子中摸出黄球 C．任意画一个圆，它是轴对称图形 D．射击运动员射击一次，命中靶心 【解答】解：A．投掷一枚硬币，正面向上，是随机事件，故该项不符合题意； B．从只有红球的袋子中摸出黄球，是不可能事件，故该项符合题意； C．任意画一个圆，它是轴对称图形，是必然事件，故该项不符合题意； D．射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故该项不符合题意； 故选：B． （设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 知识总结：（1）频率的稳定性：在试验次数很大时，事件发生的频率都会在一个常数附近摆动.（2）重要结论：试验次数越多，频率越稳定，越能反映事件发生的可能性大小. 方法总结：（1）探究路径：猜测→试验→收集数据→分析数据→得出结论.（2）统计思想：用数据说话，用频率估计可能性. 易错提醒：（1）不能用少量试验的频率代表普遍规律，试验次数太少时结论不可靠.（2）忽略条件：频率的稳定性是在“大量重复试验”的条件下成立的. (设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：教材习题3.2第1、2题. 探究性作业：教材习题3.2第4题. （设计意图：对本节课的知识进行巩固训练，为后续探究铺垫 ） 主板书 3.2 频率的稳定性（第1课时：非等可能事件频率的稳定性） 探究点1：分组试验，获取数据 探究点2：绘制图表，探究规律 探究点3：数学史话，深化认识 课堂小结 副板书 典型例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $