专题01 圆中辅助线添加（5考点解题技巧，专项训练）（安徽专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第六章圆 专题01 圆中辅助线添动加(5考点跟题技巧，专项训练) 目录 刷考点精准巩固，扫清盲区 提能力聚焦过程，优化策略 测综合跨界融合，挑战创新 刷 考点 考点一： 见弦作垂径，平分弦与弧 解|题技巧 题目出现弦长、弦中点、求弦心距/半径类条件，过圆心作弦的垂线，巧用垂径定理构造直角三角形，结 合勾股定理计算 1.(2025安徽阜阳三模)如图，AB是口0的直径，点E在弦AC上，且OE平分∠AEB,过点B作 BD∥OE,交AC的延长线于点D,延长BE交口O于点F. F D B (1)求证：AC=BF. (2)若☐0的半径为2,0E=1,求AD的长 【详解】(1)证明：如图：作0M⊥BF于点M,ON⊥AC于点N,则AC=2AW,BF=2BM 1/76 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :OE平分∠AEB, 0N=0M, :0A=0B, .RtAAON≌RtABOM(HL), :AN BM, :AC=BF. (2):RtAAON≌Rt△BOM, ·∠A=∠ABE, .AE =BE. :OE平分∠AEB, :OE⊥AB, :BD∥OE,AO=BO, :BD⊥AB, AO AE BO DE' :AE=DE :BD=20E=2. :AB=2A0=4, :在R△ABD中，AD=V22+42=2N. 2.(2025安徽毫州模拟预测)如图，AB是⊙0的弦，BC与⊙0相切于点B,AC与O0交于点D,连接 BD,OD,已知∠A=45°，∠ABD=30° 4 D 0 E (1)求∠C的度数； (2)求证：BE=√2DE. 【详解】(1)解：如图，连接OB, D B 1八 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :BC是⊙O的切线， .OB⊥BC, :∠A=45°，BD=BD .∠B0D=2∠A=90°， .B0⊥0D, .0D∥BC,∠B0D=90 又：0B=0D,∠B0D=90 .∠0DB=45° OD∥BC, ∠DBC=∠ODB=45 :∠ABD=30°， ∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°+45°=75° ∠C=180°-∠A-∠ABC=180°-45°-75°=60°； (2)证明：如图，过点E作EF⊥BD于点F, B 由(1)可得∠EDF=45° EF-ED :∠EBF=30°， .BE =2EF .BE=√2ED 3.(2025安微合肥模拟预测)如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，BC是O0的直径，D为AC的 中点，过点D作⊙O的切线交BA的延长线于点E. B (1)求证：DE⊥AB; 3/76 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)若AB=4AE=4,求⊙0的半径， 【详解】(1)证明：如图，连接OD, :DE为OO的切线， OD⊥DE. :D为AC的中点， ∠ABD=∠CBD. :0B=0D, ∠BDO=∠CBD. ∠BDO=∠ABD, AB∥OD OD⊥DE, DE⊥AB; E A B (2)解：如图，过点D作DF⊥BC于点F, :DF⊥BC,DE⊥AB, .LBED=LBFD=90° :∠BED=LBFD,LEBD=∠FBD,BD=BD, △BDE≌△BDF(AAS), :BE BF DE DF. :D为AC的中点， :AD CD, :AD =CD. :在RIAADE和Rt△CDF中，AD=CD,DE=DF, ·RtA ADES≌RtACDF(HL, .AE=CF :AB=4AE=4, .AE=1, 4/76 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :BC BF CF BE AE AB+AEAE=4+1+1=6, 00的半径为)BC=3 4.(2025安徽芜湖三模)如图，己知直线PA交⊙0于A,B两点，AC是⊙0的直径，作∠PAC的平分 线交OO于点D,过D作DE⊥PA,垂足为E, D PE A B (1)求证：DE为O0的切线； (2)若DE=4,BE=3AE,求OA的长. 【详解】(1)解：如图所示，连接D0. :D0=A0, .∠1=∠2， :AD平分∠PAC, .∠3=∠2， ∠3=∠1， .DOll BE, .∠ODE+∠DEF=180°， DE⊥PA, ∠DEF=90°， ∠0DE=180°-∠DEF=90°， OD⊥DE, DE为⊙O的切线. C D 2 PE A B F (2)过点0作0F⊥AB, :10FE=90°，4F=24B. 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠0DE=∠DEF=90°， :四边形ODEF是矩形 :.OF=DE=4,EF=DO=A0, BE =3AE, AE=4B, 2 AE=AF= EF=29 1 D= 2 sin∠A0F=F-1 0A2 ∠A0F=30°. 有u40r中，40o-g:=分-6 5.(2025·安徽滁州一模)如图，AB是半⊙0的直径，CD∥AB,点E,F分别在半径OD和弦CD上， 且OE=CF,连接AE,OF. D E B (1)求证：AE=0F; (2)若∠D0F=90°，AB=10,CD=8,求DE的长 【详解】(1)证明：连接0C,如图， :CD∥AB, ∠D=∠AOD, :0C=0D, ∠C=LD, :ZAOD ZC, 在△A0E和△OCF中， OE=CF ∠AOE=∠C, AO=OC .△A0E≌△OC℉， .AE=OF; 6/76 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)解：过0点作0H⊥CD于H点， 如图，则CH=DH=CD=4, :∠D0F=90°， ∴.∠DH0=∠DOF, :∠ODH=LFD0, △D0H△DF0, DO:DF=DH:DO, 即5：DF=4:5,解得DF=25 41 CF=CD-DF=8-25_7 44' 0E 4 OD=14B=5, 713 .DE=OD-OE=5-= 44 B 考点二：见直径，构直角，圆周角为九十度 解」题技巧 题干出现直径，立即连接直径端点与圆上另一点，构造直径所对的圆周角，直接得到直角，转化为直角 三角形求解。 1.(2025·安微合肥三模)如图，四边形ABCD内接于O0,对角线AC是O0的直径，BD平分∠ABC, 连接BO并延长交⊙O于点E,连接DE并延长交BA延长线于点F. 7/76 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B (1)求证：AF=BC; (2)若BC=2,求EF的长. 【详解】(1)证明：：AC是⊙0的直径， ∠ABC=∠ADC=90°， 又BD平分∠ABC, :∠ABD=∠CBD=45°， :AD CD, :AD =CD, :BE是OO的直径， ∠BDF=90°=∠ADC, .∠ADF=∠CDB, :四边形ABCD内接于OO, ∠FAD=180°-∠BAD=∠BCD, △DAF≌△OCB(ASA, :AF=BC; (2)解：连接AE,由(1)知AF=BC=2,∠ADF=∠CDB, B .AE CB,AE=CB=2, :BE是OO的直径， ∠EAF=90°， 在RtoAEF中，由勾股定理得EF=√2？+22=2√2， 2.(2025安徽宣城三模)如图，ABC内接于O0,AD⊥BC于点D,CE⊥AB于点E,交AD于点F, 8/76 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 交00于点G,连接AG. G A ■ B H D (1)求证：AF=AG. 2若0H1BC于点H,求O的值， AF 【详解】(1)证明：AD1BC于点D,CE⊥AB于点E, ∠B+∠BAD=90°，∠AFE+∠BAD=90°， ∠B=∠AFE, :∠B=LG, ·∠G=LAFE, ∴AF=AG. (2)解：如图，作直径BM,连接CM, .∠BCM=90°， G :OH⊥BC, ..OH CM, BH BO CH OM =1, .MC=20H, :AD⊥BC,MC⊥BC, AD∥CM, ·LAFE=LMCG, 由(1)知∠G=∠AFE, 9/76 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G=∠MCG, AC=MG, :AG=MC, .AG MC, 又：AF=AG, AF =MC, C :0H2 1 AF 3.(2025安微芜湖三模)如图，ABC内接于00，AD上BC于D,交⊙0于另一点E,OB交DE于F, 己知AD=DF,BC=BE. A B D E (1)求证：AC=EF. (2)若AC=2,BC=3,求OB的长 【详解】(1)证明：如图，连接CE B D C E ·AD⊥BC,AD=DF, :AB BF, .∠BAF=LBFA :BC=BE, ∠BEC=∠BCE=LBAF=∠BFA :∠BAC+∠BEC=180°，∠BFE+∠BFA=180°， :ZBFE ZBAC, 10/76品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第六章圆 专题01 圆中辅助线添动加(5考点解题技虹巧，专项训练) 目录 刷考点精准巩固，扫清盲区 提能力聚焦过程，优化策略 测综合跨界融合，挑战创新 考点 考点一：见弦作垂径，平分弦与弧 解|题技巧 题目出现弦长、弦中点、求弦心距/半径类条件，过圆心作弦的垂线，巧用垂径定理构造直角三角形，结 合勾股定理计算 1.(2025安徽阜阳三模)如图，AB是口0的直径，点E在弦AC上，且OE平分∠AEB,过点B作 BD∥OE,交AC的延长线于点D,延长BE交口O于点F. D (1)求证：AC=BF. (2)若☐0的半径为2,0E=1,求AD的长 2.(2025安徽毫州模拟预测)如图，AB是00的弦，BC与Q0相切于点B,AC与O0交于点D,连接 1/28 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BD,OD,已知∠A=45°，∠ABD=30° A D E B (1)求∠C的度数； (2)求证：BE=√2DE. 3.(2025·安徽合肥模拟预测)如图，四边形ABCD是O0的内接四边形，BC是⊙0的直径，D为AC的 中点，过点D作OO的切线交BA的延长线于点E. E A D 0 (1)求证：DE⊥AB; (2)若AB=4AE=4,求⊙0的半径. 2/28 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(2025·安徽芜湖.三模)如图，已知直线PA交⊙0于A,B两点，AC是⊙0的直径，作∠PAC的平分 线交OO于点D,过D作DE⊥PA,垂足为E. D ▣ PEA (1)求证：DE为⊙0的切线； (2)若DE=4,BE=3AE,求OA的长. 5.(2025安徽滁州一模)如图，AB是半O0的直径，CD∥AB,点E,F分别在半径OD和弦CD上， 且OE=CF,连接AE,OF. D E B (1)求证：AE=0F; (2)若∠D0F=90°，AB=10,CD=8,求DE的长 3/28 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 考点二：见直径，构直角，圆周角为九十度 解题技|巧 题干出现直径，立即连接直径端点与圆上另一点，构造直径所对的圆周角，直接得到直角，转化为直角 三角形求解。 1.(2025安徽合肥三模)如图，四边形ABCD内接于⊙0，对角线AC是O0的直径，BD平分∠ABC, 连接BO并延长交OO于点E,连接DE并延长交BA延长线于点F. (1)求证：AF=BC; (2)若BC=2,求EF的长. 2.(2025·安徽宣城三模)如图，ABC内接于O0,AD1BC于点D,CE⊥AB于点E,交AD于点F, 交⊙0于点G,连接AG. G H D C (1)求证：AF=AG 2)若0H1BC于点H,求 的值 AF 4/28 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.(2025·安微芜湖三模)如图，ABC内接于O0,AD⊥BC于D,交O0于另一点E,OB交DE于F, 己知AD=DF,BC=BE. B E (1)求证：AC=EF. (2)若AC=2,BC=3,求OB的长. 4.(2025安微安庆模拟预测)如图，AB是O0的直径，BC是⊙0的切线，连接AC交O0于点D,点E 在OO上，BD=DE,连接BE交AC于点F,连接AE. D E F (1)求证：BC=BF; (2)若EF=2,BC=6,求⊙0的半径. 5/28 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 考点三：见切线，连半径，垂直关系马上寻 解|题|技|巧 己知切线，连接圆心与切点，半径垂直切线；证明切线时，有交点连半径证垂直，无交点作垂线证半径。 1.(2025·安徽合肥·二模)如图，AB为O0的直径，CD与O0相切于点C,交BA的延长线于点D,E为 OO上另一点，且AE∥CD,AE与BC相交于点M. M (1)求证：BC平分∠ABE; (2)若CM=1,MB=2,求⊙0半径长. 2.(2025·安徽铜陵三模)如图，点E是Rt△ABC斜边AB上的点，以BE为直径的O0与AC相切于D, 交BC于点F,连接DE,BD,EF, B F C (1)求证：BD平分∠ABC; (2)若DE=25,CD=4,求00的半径 6/28 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.(2025安徽宣城二模)如图，在O0中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD,垂足为M,AB=10, CD=6,在AB的延长线上取一点N,连接CN,使∠DCN=2LA. D (1)求证：CN是⊙0的切线： (2)求MN的长. 4.(2025·安微合肥三模)如图，AB=BC,以BC为直径作⊙0交AB于点D,交AC于点E,连接OE并 延长交OO的切线CF于点F,连接DF, D B (1)求证：DF是O0的切线： (2)若FC=6,FE=2,求00的半径. 7/28 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5. (2025·安微蚌埠.三模)如图，AB是O0的直径，点C,D在⊙0上，且∠CAD=∠BAD过点D作AC的 垂线，交AC的延长线于点E,交AB的延长线于点F,G为AB下方的半圆弧的中点，DG交AB于点H, 连接DB,GB. C◇ ǒ (1)求证：EF是O0的切线： (2)求证：∠DGB=∠BDF; (3)己知A0=10,BH=6,求GH的长， 考点四：同弧对角等，圆周圆心互转化 解题技巧 求角度、证角相等时，找同弧/等弧所对的圆周角、圆心角，利用“同弧所对圆周角相等”“圆心角是圆 周角2倍”转化角度关系。 1. (2025安徽合肥.一模)如图，A,B,C,D,E均在00上，0B⊥0C,若LA+∠D=150°，则 LABE+∠DCE=() B 8/28 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.105 B.100° C.95° D.90° 2.(2025·安微合肥.二模)如图，四边形ABCD内接于⊙0，过A、C分别作⊙0的切线，交于点E,若 ∠ABC=125°，则∠E的度数为 0. B C E 3.(2025安徽池州.三模)如图，AB是O0的直径，C为O0上一点，D为AC的中点，连接BD,AC相 交于点E,过点A作OO的切线交BD的延长线于点F. D E (1)求证：FD=DE; (2)若AB=2√5，BE=2,求BC长. 4.(2025·安微模拟预测)如图，△ABC内接于O0,BD是⊙0的切线，连接CD交O0于点E,交AB于 点F,DB=DF,连接AE. D E B (1)求证：AE=AC; (2)若AC=CF,求证：AB=BC. 9/28 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5.(2025安徽池州模拟预测)如图，⊙0过。ABCD的顶点A,C,D,交边BC于点E,延长BA交O0于 点F,连接CP. F M (1)求证：∠DAF=∠CFB; (2)连接EF,连接DO并延长交EF于点M,求证：DM⊥EF. 6.(2025·安微合肥三模)如图①，己知AB为00的弦，0C为O0的半径，AC=BC,0C与AB交于点 D,连接AC,OB,过A点作O0的切线交OC的延长线于点E. 图① 图② (1)求证：∠B0C=2∠CAE; (2)如图②，连接BC并延长交切线AE于点M,若AM=ME=√5，求OB的长. 10/28