第三节 万有引力定律的应用（分层作业）物理沪科版必修第二册

第三节 万有引力定律的应用 素养提升练 创新拓展练 素养提升练 1．2025年11月25日12时11分，神舟二十二号飞船成功发射，并和空间站天和核心舱对接。为了成功完成对接，下列方案可行的是（　　） A．神舟二十二号飞船先到空间站轨道上同方向运动，在合适位置加速 B．神舟二十二号飞船先到略高于空间站轨道的圆轨道上同方向运动，在合适位置加速 C．神舟二十二号飞船先到略低于空间站轨道的圆轨道上同方向运动，在合适位置减速 D．神舟二十二号飞船先到略低于空间站轨道的圆轨道上同方向运动，在合适位置加速 2．2025年6月26日，神舟二十号航天员顺利完成了空间站舱外设备巡检等任务。已知空间站在轨高度390km。则航天员（　　） A．调整姿态时，可以视为质点 B．与空间站相对静止时，受到的合力为零 C．与空间站一起运动时的速度大于第一宇宙速度 D．与空间站一起运动的周期小于地球的自转周期 3．地球的第一、第二、第三宇宙速度分别为v1、v2、v3，则关于v1、v2、v3大小关系正确的是（　　） A． B． C． D． 4．卫星在地面附近轨道绕地球做匀速圆周运动所必需的运行速度是（　　） A． B． C． D． 5．如图所示，在地面附近以7.9km/s的速度发射一颗卫星，卫星的轨道可能是（　　） A．a B．b C．c D．d 6．2026年1月19日，我国在海南商业航天发射场使用长征十二号运载火箭，成功将卫星互联网低轨19组卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。若预定轨道是距地面高度为（为系数，为地球半径）的圆，在时间内，卫星转过的圈数为，引力常量为，不考虑地球（视为球体）的自转，则地球的质量为（　　） A． B． C． D． 7．如图所示，椭圆轨道I是实践—I科学卫星的轨道，其轨道的近地点离地高度为，远地点离地高度为。圆轨道是乾坤一号卫星的轨道，其轨道离地高度为，为两轨道的切点，已知地球半径为，下列说法正确的是（    ） A．实践-I科学卫星和乾坤一号卫星的运行周期之比为 B．在点，实践-I科学卫星的加速度更大 C．乾坤一号卫星想从轨道II变到轨道I，需要在点减速 D．实践-I科学卫星在远地点的速度大小大于乾坤一号卫星的运行速度大小 8．有、、、四颗地球卫星，还未发射，在地球赤道上随地球一起转动，在近地轨道上转动，是地球静止卫星，是高空探测卫星，各卫星排列位置如图所示，则卫星的线速度___________（填“>”“<”或“=”）卫星的线速度，卫星的线速度___________（填“>”“<”或“=”）c卫星的线速度。 9．如图，人造卫星A、B在同一平面上绕地球做匀速圆周运动，则两卫星周期_______，线速度_______，相同时间内两卫星与地心的连线扫过的面积_______（均选填“>”“=”或“<”）。 10．如图所示，卫星A、B均绕地球做匀速圆周运动，轨道半径rA<rB，则线速度vA________vB（选填“>”“=”或“<”），角速度ωA_______ωB（选填“>”“=”或“<”），周期TA________TB（选填“>”“=”或“<”）。 11．如图所示，已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，万有引力常量为G。 (1)求地球质量M； (2)一颗卫星在距地表高度也为R的轨道绕地球中心做圆周运动，求卫星在轨道上稳定运行的速度v。 12．如图所示，A、B两颗卫星和赤道平面共面，沿相同方向环绕地球做匀速圆周运动，A卫星的轨道半径是B卫星的4倍。已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，A运动的周期为T。 (1)求卫星B环绕地球运动的周期； (2)求在0~时间内观察到A、B两颗卫星相距最近的次数。 创新拓展练 13．如图所示，天舟九号货运飞船与空间站对接前，会仅在引力作用下在一条近地点为P点、远地点为Q点的椭圆转移轨道上运行。已知椭圆轨道上P、Q两点之间的距离为地球半径的倍，天舟九号货运飞船沿此椭圆轨道运动的周期为，万有引力常量为，地球可视为质量分布均匀的球体，则地球的密度为（　　） A． B． C． D． 14．2025年10月31日23时44分，搭载神舟二十一号载人飞船的长征二号F遥二十一运载火箭在甘肃酒泉卫星发射中心成功点火发射，顺利将张陆、武飞、张洪章三名航天员送入太空。标志着我国载人航天事业取得进一步的发展。假设发射成功后的神舟二十一号飞船在距离地球表面h高度的圆形轨道上运行，地球半径为R质量为M，地球表面附近的重力加速度为g，下列说法不正确的是（　　） A．神舟二十一号飞船内的三名宇航员不受重力，处于完全失重状态 B．神舟二十一号飞船运行速度为 C．神舟二十一号飞船运行周期为 D．未来神舟二十一号要返回地球，需要首先采取减速制动的方式进行 15．2025年8月9日凌晨0点31分，捷龙三号遥六运载火箭搭乘“东方航天港”号发射船在山东日照近海海域点火升空。将吉利星座04组卫星送入600公里高度、倾角为50°的LEO轨道，发射任务取得圆满成功。已知我国空间站运行在离地约400公里的圆轨道上，同步卫星运行在离地约36000公里的圆轨道上，地球可看成质量分布均匀的球体，则下列说法正确的是（　　） A．吉利星座04组卫星运行轨道圆心不在地心 B．吉利星座04组卫星发射速度大于在轨运行速度 C．吉利星座04组卫星运行周期比地球自转周期大 D．吉利星座04组卫星运行线速度比我国空间站在轨运行线速度大 16．2025年10月17日，我国成功发射千帆极轨18组卫星，标志着我国低轨卫星互联网建设取得重要进展。该卫星组在近地圆轨道上运行，其中某颗卫星与同质量的地球同步卫星相比（　　） A．动能较小 B．万有引力小 C．周期较小 D．加速度较大 17．已知地球的质量为M，地球的半径为R，月球的质量为m，月球的半径为r，“嫦娥六号”绕月球运行的速度（近似认为绕月球的表面运行）是地球第一宇宙速度的______倍。 18．天宫空间站总质量为，在距地面为的近圆形轨道上运行，已知地球半径为，地球表面重力加速度为，则空间站绕地球转动的周期为______。以无穷远处为零势能面，空间站的机械能为______。（提示：引力势能的表达式为，式中G为万有引力恒量，为地球质量，为物体质量，为物体到地心的距离） 19．经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的直径远小于两颗星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。如图所示，两颗星球，组成的双星系统，在相互之间万有引力的作用下，绕连线上的O点做匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为L，公转周期均为T，万有引力常量为G，、做圆周运动的轨道半径之比为。则可知、做圆周运动的线速度大小之比为______，两天体的质量之和等于______。 20．模型建构是物理学研究中常用的思想方法，它可以帮助人们抓住主要矛盾、忽略次要因素，更好的揭示和理解物理现象背后的规律。 (1)在研究地球-月球系统时，有两种常见的模型，第一种是认为地球静止不动，月球绕地球做匀速圆周运动；第二种是把地球-月球系统看成一个双星系统，它们围绕二者连线上的某个定点以相同的周期运动。若已知地球的质量为，月球的质量为，二者相距，引力常量为。忽略太阳及其它星球对于地球、月球的作用力，请分析求解： （a）根据第一个模型，求月球绕地球转动的周期。 （b）根据第二个模型，求月球做圆周运动的周期。 (2)如下图所示，行星绕太阳做椭圆运动，太阳在椭圆轨道的一个焦点上，近日点到太阳中心的距离为，已知太阳质量为，行星质量为，万有引力常量为，行星通过点处的速率为，求点的曲率半径（点附近的曲线运动可看作圆周运动，该圆周的半径叫曲率半径。） 21．如图所示，A、B是绕地球做圆周运动的两颗卫星，已知其轨道半径分别为r1、r2，A的运行周期为T1，地球半径为R，万有引力常量为G，求： (1)B卫星的周期T2； (2)地球的密度ρ。 22．火星为太阳系里四颗类地行星之一，把火星和地球均看作质量分布均匀的球体，忽略火星和地球的自转。已知火星和地球绕太阳公转半径之比为，火星与地球质量之比为，火星的半径与地球的半径之比为，求： (1)火星与地球表面重力加速度之比； (2)火星与地球公转周期之比； (3)火星与地球的第一宇宙速度之比。 23．如图所示，在某星球的赤道平面内有一探测卫星a沿着圆轨道绕该星球转动，绕行方向与该星球自转方向相同，卫星通过发射激光与星球赤道上一固定的观测站P保持通信，已知该星球半径为R、自转周期为T，卫星轨道半径为，周期为，万有引力常量为G。求： (1)该星球赤道表面上的重力加速度大小； (2)该星球的第一宇宙速度； (3)某次通信过程中卫星a正好位于观测站P点的正上方，此次通信过程还能持续的时间。 24．牛顿著名的“月-地检验”证明了万有引力定律的普适性。某人在地球上观察月球的运动，已知月球的轨道半径r，地球半径R，地球的自转角速度ω0，表面附近的加速度为g，引力常量为G，月球公转和地球自转方向相同。求 (1)地球的质量M； (2)相邻两次观察到月球的时间间隔t。 25．2025年4月27日，天链二号05星搭载长征三号乙运载火箭成功发射，该卫星是静止轨道同步卫星，其轨道半径为kR（R为地球半径，k为已知常量）。已知引力常量为G，地球的自转周期为。 (1)求地球两极的重力加速度大小g； (2)求地球的密度ρ； (3)同一轨道上需部署三颗卫星（轨道平面仍为赤道平面），可实现地球赤道上任意两点间的无线电通信，求该轨道上卫星运行的最小周期T。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三节 万有引力定律的应用 素养提升练 创新拓展练 素养提升练 1．2025年11月25日12时11分，神舟二十二号飞船成功发射，并和空间站天和核心舱对接。为了成功完成对接，下列方案可行的是（　　） A．神舟二十二号飞船先到空间站轨道上同方向运动，在合适位置加速 B．神舟二十二号飞船先到略高于空间站轨道的圆轨道上同方向运动，在合适位置加速 C．神舟二十二号飞船先到略低于空间站轨道的圆轨道上同方向运动，在合适位置减速 D．神舟二十二号飞船先到略低于空间站轨道的圆轨道上同方向运动，在合适位置加速 【答案】D 【详解】A．飞船在空间站轨道上同方向运动时，若加速，飞船速度增大，飞船将进入更高的轨道，无法完成对接，故A错误。 B．飞船在略高于空间站轨道的圆轨道上运动时，若加速，飞船速度增大，飞船将进入更高的轨道，飞船与空间站轨道间距更大，无法完成对接，故B错误。 C．飞船在略低于空间站轨道的圆轨道上运动时，若减速，飞船速度减小，飞船将进入更低的轨道，飞船与空间站轨道间距更大，无法完成对接，故C错误。 D．飞船在略低于空间站轨道的圆轨道上同方向运动，若在合适位置加速，飞船速度增大，飞船将进入更高的轨道，即飞船能够到达空间站轨道的圆轨道上，完成对接，故D正确。 故选D。 2．2025年6月26日，神舟二十号航天员顺利完成了空间站舱外设备巡检等任务。已知空间站在轨高度390km。则航天员（　　） A．调整姿态时，可以视为质点 B．与空间站相对静止时，受到的合力为零 C．与空间站一起运动时的速度大于第一宇宙速度 D．与空间站一起运动的周期小于地球的自转周期 【答案】D 【详解】A．航天员在调整姿态时，身体各部分的运动状态不同，形状和大小对姿态调整的研究不可忽略，不能看成质点，A错误； B．航天员与空间站相对静止时，仍然绕地球做圆周运动，受到的合力不为零，B错误； C．依题意，空间站在轨高度390km，其轨道半径大于地球半径，由得，知航天员与空间站一起运动时的速度小于第一宇宙速度，C错误； D．地球的自转周期与地球同步卫星的周期相同，其轨道半径为，依题意可知，由得，知航天员与空间站一起运动的周期小于地球同步卫星的周期，即小于地球的自转周期，D正确。 故选D。 3．地球的第一、第二、第三宇宙速度分别为v1、v2、v3，则关于v1、v2、v3大小关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】第一宇宙速度是飞行器在近地圆轨道上运行的速度，也是发射飞行器的最小速度，且有 第二宇宙速度是飞行器脱离地球引力场的最小发射速度，且有 第三宇宙速度是飞行器脱离太阳系的最小发射速度，且有 可知 故选A。 4．卫星在地面附近轨道绕地球做匀速圆周运动所必需的运行速度是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动所需的速度称为第一宇宙速度，其值为 7.9 km/s。 故选 B。 5．如图所示，在地面附近以7.9km/s的速度发射一颗卫星，卫星的轨道可能是（　　） A．a B．b C．c D．d 【答案】A 【详解】在地面附近以7.9km/s的速度发射一颗卫星，卫星将在地面附近绕地球做匀速圆周运动，所以卫星的轨道可能是。 故选A。 6．2026年1月19日，我国在海南商业航天发射场使用长征十二号运载火箭，成功将卫星互联网低轨19组卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。若预定轨道是距地面高度为（为系数，为地球半径）的圆，在时间内，卫星转过的圈数为，引力常量为，不考虑地球（视为球体）的自转，则地球的质量为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，满足公式 1. 轨道半径：卫星距地面高度为，因此轨道半径 2. 角速度：时间内卫星转圈，周期，因此角速度 3. 联立上述公式消去，解得地球质量 故选B。 7．如图所示，椭圆轨道I是实践—I科学卫星的轨道，其轨道的近地点离地高度为，远地点离地高度为。圆轨道是乾坤一号卫星的轨道，其轨道离地高度为，为两轨道的切点，已知地球半径为，下列说法正确的是（    ） A．实践-I科学卫星和乾坤一号卫星的运行周期之比为 B．在点，实践-I科学卫星的加速度更大 C．乾坤一号卫星想从轨道II变到轨道I，需要在点减速 D．实践-I科学卫星在远地点的速度大小大于乾坤一号卫星的运行速度大小 【答案】A 【详解】A．根据开普勒第三定律有 解得，故A正确； B．对卫星，根据牛顿第二定律有 因为在P点，两卫星到地心的距离r相同，故在点两个卫星加速度相同，故B错误； C．从圆轨道II变到椭圆轨道I（远地点更高），需要在P点加速（做离心运动），故C错误； D．根据 可知，乾坤一号卫星的运行速度大于实践-I科学卫星在远地点所对应圆轨道的速度，而实践-I科学卫星进入远地点所对应圆轨道需要在远地点加速，所以实践-I科学卫星在远地点的速度小于对应圆轨道的速度，也小于乾坤一号卫星的运行速度，故D错误。 故选A。 8．有、、、四颗地球卫星，还未发射，在地球赤道上随地球一起转动，在近地轨道上转动，是地球静止卫星，是高空探测卫星，各卫星排列位置如图所示，则卫星的线速度___________（填“>”“<”或“=”）卫星的线速度，卫星的线速度___________（填“>”“<”或“=”）c卫星的线速度。 【答案】 < > 【详解】[1] 是地球静止卫星，则角速度与a的角速度相等，根据可知，卫星的线速度<卫星的线速度； [2]根据万有引力提供向心力，有 可得 可知b的线速度大于c的线速度。 9．如图，人造卫星A、B在同一平面上绕地球做匀速圆周运动，则两卫星周期_______，线速度_______，相同时间内两卫星与地心的连线扫过的面积_______（均选填“>”“=”或“<”）。 【答案】 < > < 【详解】[1]根据万有引力提供向心力有 解得 由题知，故； [2]根据万有引力提供向心力有 解得 由题知，故； [3]在时间t内卫星与地心连线在相同时间内扫过的面积大小 又 联立解得 由题知，故。 10．如图所示，卫星A、B均绕地球做匀速圆周运动，轨道半径rA<rB，则线速度vA________vB（选填“>”“=”或“<”），角速度ωA_______ωB（选填“>”“=”或“<”），周期TA________TB（选填“>”“=”或“<”）。 【答案】 > > < 【详解】[1][2][3]由万有引力提供向心力 可得，， 其中轨道半径 则，， 11．如图所示，已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，万有引力常量为G。 (1)求地球质量M； (2)一颗卫星在距地表高度也为R的轨道绕地球中心做圆周运动，求卫星在轨道上稳定运行的速度v。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在地球表面，物体的万有引力等于物体的重力，则有 解得地球的质量为 （2）万有引力提供圆周运动的向心力，则有 解得卫星的速度为 12．如图所示，A、B两颗卫星和赤道平面共面，沿相同方向环绕地球做匀速圆周运动，A卫星的轨道半径是B卫星的4倍。已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，A运动的周期为T。 (1)求卫星B环绕地球运动的周期； (2)求在0~时间内观察到A、B两颗卫星相距最近的次数。 【答案】(1) (2)3次 【详解】（1）根据万有引力作为向心力可得，对卫星A有 对卫星B有 又 联立解得 （2）设从0时刻开始经时间两卫星第n次相距最近，则有 解得 又 联立解得 可知n取最大整数3，即在0~时间内观察到A、B两颗卫星相距最近的次数为3次。 创新拓展练 13．如图所示，天舟九号货运飞船与空间站对接前，会仅在引力作用下在一条近地点为P点、远地点为Q点的椭圆转移轨道上运行。已知椭圆轨道上P、Q两点之间的距离为地球半径的倍，天舟九号货运飞船沿此椭圆轨道运动的周期为，万有引力常量为，地球可视为质量分布均匀的球体，则地球的密度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】天舟九号货运飞船沿此椭圆轨道运动可近似为圆周运动，半径，R为地球的半径。 由万有引力提供向心力得 解得 又， 联立解得 故选B。 14．2025年10月31日23时44分，搭载神舟二十一号载人飞船的长征二号F遥二十一运载火箭在甘肃酒泉卫星发射中心成功点火发射，顺利将张陆、武飞、张洪章三名航天员送入太空。标志着我国载人航天事业取得进一步的发展。假设发射成功后的神舟二十一号飞船在距离地球表面h高度的圆形轨道上运行，地球半径为R质量为M，地球表面附近的重力加速度为g，下列说法不正确的是（　　） A．神舟二十一号飞船内的三名宇航员不受重力，处于完全失重状态 B．神舟二十一号飞船运行速度为 C．神舟二十一号飞船运行周期为 D．未来神舟二十一号要返回地球，需要首先采取减速制动的方式进行 【答案】A 【详解】A．飞船内的宇航员仍受重力作用，重力全部提供圆周运动的向心力，因此对支持物的压力为0，处于完全失重状态，并非不受重力，故A错误； B．万有引力提供飞船圆周运动的向心力，有，结合地球表面黄金代换关系，代入解得，故B正确； C．由万有引力提供向心力，代入，整理得，故C正确； D．飞船返回地球需要做近心运动，减速后飞船所需向心力减小，万有引力大于所需向心力，飞船即可向近轨道运动，因此需要先减速制动，故D正确。 本题选不正确的，故选A。 15．2025年8月9日凌晨0点31分，捷龙三号遥六运载火箭搭乘“东方航天港”号发射船在山东日照近海海域点火升空。将吉利星座04组卫星送入600公里高度、倾角为50°的LEO轨道，发射任务取得圆满成功。已知我国空间站运行在离地约400公里的圆轨道上，同步卫星运行在离地约36000公里的圆轨道上，地球可看成质量分布均匀的球体，则下列说法正确的是（　　） A．吉利星座04组卫星运行轨道圆心不在地心 B．吉利星座04组卫星发射速度大于在轨运行速度 C．吉利星座04组卫星运行周期比地球自转周期大 D．吉利星座04组卫星运行线速度比我国空间站在轨运行线速度大 【答案】B 【详解】A．绕地球做圆周运动的卫星，向心力由万有引力提供，万有引力始终指向地心，因此所有地球卫星的轨道圆心都必须在地心，故A错误； B．第一宇宙速度是地球卫星的最小发射速度，同时也是卫星绕地球做圆周运动的最大环绕速度。吉利星座卫星轨道高度高于近地轨道，在轨运行速度小于第一宇宙速度，而发射速度大于等于第一宇宙速度，因此发射速度大于在轨运行速度，故B正确； C．根据开普勒第三定律，卫星轨道半径越小，运行周期越小。吉利星座卫星轨道半径远小于同步卫星轨道半径，运行周期小于同步卫星周期，而同步卫星周期等于地球自转周期，因此其运行周期比地球自转周期小，故C错误； D．由万有引力提供向心力 推导得线速度 轨道半径越大，线速度越小。吉利星座卫星轨道半径大于我国空间站的轨道半径，因此运行线速度更小，故D错误。 故选B。 16．2025年10月17日，我国成功发射千帆极轨18组卫星，标志着我国低轨卫星互联网建设取得重要进展。该卫星组在近地圆轨道上运行，其中某颗卫星与同质量的地球同步卫星相比（　　） A．动能较小 B．万有引力小 C．周期较小 D．加速度较大 【答案】CD 【详解】A．根据万有引力提供向心力可得 解得 又因为该卫星与同质量的地球同步卫星相比运行半径较小，所以运行速率较大，根据可知，该卫星与同质量的地球同步卫星相比动能较大，故A错误； B．根据可得，该卫星与同质量的地球同步卫星相比受到万有引力大，故B错误； C．根据万有引力提供向心力可得 解得 又因为该卫星与同质量的地球同步卫星相比运行半径较小，所以周期较小，故C正确； D．根据牛顿第二定律 解得 又因为该卫星与同质量的地球同步卫星相比运行半径较小，所以加速度较大，故D正确。 故选CD。 17．已知地球的质量为M，地球的半径为R，月球的质量为m，月球的半径为r，“嫦娥六号”绕月球运行的速度（近似认为绕月球的表面运行）是地球第一宇宙速度的______倍。 【答案】 【详解】根据万有引力提供向心力 得地球的第一宇宙速度为，同理“嫦娥六号”绕月球运行的速度为，故。 18．天宫空间站总质量为，在距地面为的近圆形轨道上运行，已知地球半径为，地球表面重力加速度为，则空间站绕地球转动的周期为______。以无穷远处为零势能面，空间站的机械能为______。（提示：引力势能的表达式为，式中G为万有引力恒量，为地球质量，为物体质量，为物体到地心的距离） 【答案】 【详解】[1]根据 且 可得 [2]根据 可得空间站的动能 势能为 可知空间站的机械能 19．经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的直径远小于两颗星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。如图所示，两颗星球，组成的双星系统，在相互之间万有引力的作用下，绕连线上的O点做匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为L，公转周期均为T，万有引力常量为G，、做圆周运动的轨道半径之比为。则可知、做圆周运动的线速度大小之比为______，两天体的质量之和等于______。 【答案】 【详解】[1]双星系统中双星圆周运动的角速度线相等，由速度与角速度的关系得，线速度大小之比； [2]双星圆周运动的向心力由万有引力提供，对有 对有 由题意有 且有 联立解得 20．模型建构是物理学研究中常用的思想方法，它可以帮助人们抓住主要矛盾、忽略次要因素，更好的揭示和理解物理现象背后的规律。 (1)在研究地球-月球系统时，有两种常见的模型，第一种是认为地球静止不动，月球绕地球做匀速圆周运动；第二种是把地球-月球系统看成一个双星系统，它们围绕二者连线上的某个定点以相同的周期运动。若已知地球的质量为，月球的质量为，二者相距，引力常量为。忽略太阳及其它星球对于地球、月球的作用力，请分析求解： （a）根据第一个模型，求月球绕地球转动的周期。 （b）根据第二个模型，求月球做圆周运动的周期。 (2)如下图所示，行星绕太阳做椭圆运动，太阳在椭圆轨道的一个焦点上，近日点到太阳中心的距离为，已知太阳质量为，行星质量为，万有引力常量为，行星通过点处的速率为，求点的曲率半径（点附近的曲线运动可看作圆周运动，该圆周的半径叫曲率半径。） 【答案】(1)（a），（b） (2) 【详解】（1）（a）在第一个模型中，假设地球是静止的，月球绕地球做匀速圆周运动。根据牛顿第二定律，得 解得 （b）在第二个模型中，地球和月球都绕定点做圆周运动。 设地球到质心的距离为R，月球到质心的距离为r，则有R+r=L 对于地球，根据牛顿第二定律，得 对于月球，同理有 解得 （2）设B点曲率半径为RB，可视为行星以此圆做圆周运动，万有引力提供向心力。则由牛顿第二定律，得 解得曲率半径为 21．如图所示，A、B是绕地球做圆周运动的两颗卫星，已知其轨道半径分别为r1、r2，A的运行周期为T1，地球半径为R，万有引力常量为G，求： (1)B卫星的周期T2； (2)地球的密度ρ。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据开普勒第三定律有 解得 （2）卫星绕地球做圆周运动万有引力提供向心力，则有 地球的体积为 地球的密度为 22．火星为太阳系里四颗类地行星之一，把火星和地球均看作质量分布均匀的球体，忽略火星和地球的自转。已知火星和地球绕太阳公转半径之比为，火星与地球质量之比为，火星的半径与地球的半径之比为，求： (1)火星与地球表面重力加速度之比； (2)火星与地球公转周期之比； (3)火星与地球的第一宇宙速度之比。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由，解得 由已知条件可知，，解得火星与地球表面重力加速度之比 （2）由万有引力提供向心力可得，解得 由已知条件可知，解得火星与地球公转周期之比 （3）由，解得 由已知条件可知，，解得火星与地球的第一宇宙速度之比 23．如图所示，在某星球的赤道平面内有一探测卫星a沿着圆轨道绕该星球转动，绕行方向与该星球自转方向相同，卫星通过发射激光与星球赤道上一固定的观测站P保持通信，已知该星球半径为R、自转周期为T，卫星轨道半径为，周期为，万有引力常量为G。求： (1)该星球赤道表面上的重力加速度大小； (2)该星球的第一宇宙速度； (3)某次通信过程中卫星a正好位于观测站P点的正上方，此次通信过程还能持续的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在赤道表面上的物体，根据重力与万有引力之间的关系有 对探测卫星有 联立解得该星球赤道表面上的重力加速度大小 （2）根据开普勒第三定律可得 可得近地卫星的周期为 该星球的第一宇宙速度为 （用其他表达式求出也可） （3）由几何知识知，卫星与观测站能保持通信，则卫星、观测站和星球球心连线的夹角最大为，由 解得 24．牛顿著名的“月-地检验”证明了万有引力定律的普适性。某人在地球上观察月球的运动，已知月球的轨道半径r，地球半径R，地球的自转角速度ω0，表面附近的加速度为g，引力常量为G，月球公转和地球自转方向相同。求 (1)地球的质量M； (2)相邻两次观察到月球的时间间隔t。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）物体在地球表面受到的重力与引力近似相等 解得地球质量 （2）设月球公转角速度ω，有 解得 相邻两次观察到月球            所以相邻两次观察到月球的时间间隔 25．2025年4月27日，天链二号05星搭载长征三号乙运载火箭成功发射，该卫星是静止轨道同步卫星，其轨道半径为kR（R为地球半径，k为已知常量）。已知引力常量为G，地球的自转周期为。 (1)求地球两极的重力加速度大小g； (2)求地球的密度ρ； (3)同一轨道上需部署三颗卫星（轨道平面仍为赤道平面），可实现地球赤道上任意两点间的无线电通信，求该轨道上卫星运行的最小周期T。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）静止轨道卫星的周期等于地球的自转周期，有 根据万有引力等于重力有 联立解得 （2）根据万有引力等于重力有 则地球的密度 （3）由题意可知，三个卫星的排布在赤道平面上的外接正三角形的三个顶点上，如图所示 由几何关系可知，此轨道半径为2R，则有 根据万有引力等于重力有 联立解得 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $