江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度高一下学期数学三角综合练习

高一数学备课组 对核心概念及方法理解感悟内化 江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度高一下学期数学三角综合练习 1、 单选题 1.已知中，，，那么角等于（    ） A．或 B．或 C． D． 2.已知，则（   ） A． B． C． D． 3.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4.已知，则（    ） A． B． C． D． 5.某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡脚处测得坡顶一建筑物的顶端对于山坡的倾斜程度为，沿土坡前进50m到达处，测得对于山坡的倾斜度为，已知m，，设土坡对于平面的坡角为，则（    ） A． B． C． D． 6.在中，角所对的边分别为，已知，则角等于（    ） A． B． C． D． 7.若，，是的内角，，的对边，，且，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．三边互不相等的直角三角形 D．等腰直角三角形 8.（   ） A． B． C． D．1 2、 多选题 9.下列三角式中，值为1的是（    ） A． B． C． D． 10.已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．是曲线的一个对称中心 C．是曲线的一条对称轴 D．在区间上单调递增 11. 如图，△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝b， 且（acos C＋ccos A）＝2bsin B，D是△ABC外一点，DC＝1，DA＝3，则下列结论正确的是 （　　） A. △ABC是等边三角形 B.若AC＝2，则A，B，C，D四点共圆 C.四边形ABCD面积的最大值为＋3 D.四边形ABCD面积的最小值为－3 3、 填空题 12.若，，则____________． 13.在中，角所对的边分别为，且．若有两解，则的长的取值范围是 . 14.在中，若，则的取值范围为___________. 4、 解答题 15.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是 (1) 求角A的大小； (2) 若a＝，求b＋c的取值范围． 16.在锐角中，内角的对边分别为，且． (1)证明：； (2)若，且边上的中线的长度为，求的值. 17.已知，，，． (1)求的值； (2)求的值． 18.剪纸是中国传统民间艺术，起源于汉朝，具有构图饱满、造型夸张、题材广泛、地域风格多样等艺术特点．现需在半径，面积为的扇形纸张内剪一个矩形ABCD，如图所示，是扇形弧上的动点，在线段OQ上，A，B均在线段OP上． (1)求圆心角的大小（用弧度表示）； (2)设，且，求BC的长； (3)求矩形ABCD面积的最大值． 19.已知函数的一条对称轴为． (1)求； (2)若，，求的值； (3)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围． 江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度高一下学期数学三角综合练习解析版 5、 单选题 1.已知中，，，那么角等于（    ） A．或 B．或 C． D． 【详解】在中，，，由正弦定理得：， 则，因为，所以，则，故选：C 2.已知，则（   ） A． B． C． D． 【详解】因为，则.故选：C. 3.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【详解】由和正弦定理，得（*）， 因， 将其代入（*）整理得，即得，故. 4.已知，则（    ） A． B． C． D． . 又. 所以. 5.某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡脚处测得坡顶一建筑物的顶端对于山坡的倾斜程度为，沿土坡前进50m到达处，测得对于山坡的倾斜度为，已知m，，设土坡对于平面的坡角为，则（    ） A． B． C． D． 【详解】已知，则. 所以，即为等腰三角形.所以. 根据正弦定理：. 因为，所以，为直角三角形. 所以.故选：D. 6.在中，角所对的边分别为，已知，则角等于（    ） A． B． C． D． 【详解】因为， 由正弦定理得， 因为, 即 所以，因为，所以， 所以，故或（舍去），得， 故选：D. 7.若，，是的内角，，的对边，，且，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．三边互不相等的直角三角形 D．等腰直角三角形 【详解】由得，， 由余弦定理得.因为，所以，或， ，代入，得， 因为，所以，所以.故选：D. 8.（   ） A． B． C． D．1 【详解】 .故选：B. 6、 多选题 9.下列三角式中，值为1的是（    ） A． B． C． D． 【详解】A选项,，故正确. B选项，，故正确. C选项，，故正确. D选项，，故错误 故选：ABC 10.已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．是曲线的一个对称中心 C．是曲线的一条对称轴 D．在区间上单调递增 【详解】 ，，A对． 是曲线的一个对称中心，B错． ，，，时，，时， ∴不是的一条对称轴，C错． ，，， ∴在上单调递增，D对．故选： AD. 11.如图，△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝b， 且（acos C＋ccos A）＝2bsin B，D是△ABC外一点，DC＝1，DA＝3，则下列结论正确的是 （　　） B. △ABC是等边三角形 B.若AC＝2，则A，B，C，D四点共圆 C.四边形ABCD面积的最大值为＋3 D.四边形ABCD面积的最小值为－3 解析：AC　∵（acos C＋ccos A）＝2bsin B，∴（sin Acos C＋sin Ccos A）＝2sin2B，即sin（A＋C）＝sin B＝2sin2B，由sin B≠0，可得sin B＝，∴B＝或，又a＝b，∴B＝∠CAB＝∠ACB＝，故A正确；若A，B，C，D四点共圆，则四边形对角互补，由A知D＝，若AC＝2，在△ADC中，∵DC＝1，DA＝3，cos D＝＝＝－≠cos ，故B错误；等边△ABC中，设AC＝x（x＞0），在△ADC中，由余弦定理，得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos D，把AD＝3，DC＝1代入上式，得x2＝10－6cos D，∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝x·xsin ＋×3sin D＝x2＋sin D＝3sin＋，∵D∈（0，π），∴－＜sin≤1，∴四边形ABCD面积的最大值为＋3，无最小值，故C正确，D错误. 7、 填空题 12.若，，则____________． 【详解】由诱导公式得．又，所以． 所以． 故答案为：. 13.在中，角所对的边分别为，且．若有两解，则的长的取值范围是 . 【详解】如图，过作垂直所以直线于，因为，则，又有两解，则， 故答案为：. 14.在中，若，则的取值范围为___________. 【详解】由，得， 由正弦定理得，则，当且仅当时等号成立.又，且余弦函数在上单调递减，则， 而正弦函数在上单调递增，因此， 所以的取值范围为.故答案为： 8、 解答题 15.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是 (1) 求角A的大小； (2) 若a＝，求b＋c的取值范围． 【解答】（1）由正弦定理可得(b－c)(b－c)＝a2－bc，即b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理得cos A＝＝.又A∈(0，π)，所以A＝. （2）由正弦定理＝＝＝＝2，得b＝2sin B，c＝2sin C．由A＋B＋C＝π，得C＝－B，且B∈，所以sin C＝sin ＝sin＝sin ，所以b＋c＝2(sin B＋sin C)＝2＝2sin .因为B∈，从而B＋∈，所以sin ∈，所以b＋c的取值范围为. 16.在锐角中，内角的对边分别为，且． (1)证明：； (2)若，且边上的中线的长度为，求的值. 【详解】（1）由正弦定理知，，所以， 即， 所以，所以，所以或 ， 所以或 ，又因为是锐角三角形，所以； （2）不妨设为边上的中线， 在中，有，由（1）可得，故，所以． 在中，有，所以． 即，解得． 17.已知，，，． (1)求的值； (2)求的值． 【详解】（1）由题可得，，， ∴，，又 ． （2）． 由，则， 由，则， ∴，，又，，则， ∴，而，故． 18.剪纸是中国传统民间艺术，起源于汉朝，具有构图饱满、造型夸张、题材广泛、地域风格多样等艺术特点．现需在半径，面积为的扇形纸张内剪一个矩形ABCD，如图所示，是扇形弧上的动点，在线段OQ上，A，B均在线段OP上． (1)求圆心角的大小（用弧度表示）； (2)设，且，求BC的长； (3)求矩形ABCD面积的最大值． 【详解】（1）设扇形的圆心角，则扇形的面积， 即，所以. （2）由（1）知，，则，且， 所以， 所以， ，所以. （3）设， 在直角中，， 在直角中，， 所以， 所以矩形ABCD的面积 ，，， 因为，所以， 所以当，即时，面积取最大值，最大值为． 19.已知函数的一条对称轴为． (1)求； (2)若，，求的值； (3)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围． 【详解】（1）依题意，即， 又，所以，因此可得，即. （2）由（1）可知， 所以， ； 联立，两式平方可得； 相加可得，即， 所以； （3）不等式，即为； 即，所以； 因此， 令，由可得，因此， 即不等式对任意恒成立； 即可知在恒成立，易知，令， 则， 当且仅当，即时，等号成立； 因此，所以即可，可得； 即实数a的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $