专项提升训练10：正比例与反比例解决问题（考点梳理+例题讲解+专项练习）2025-2026学年六年级下册数学北师大版

专项提升训练10：正比例与反比例解决问题 考点梳理 1 考点一、正比例的应用 1 考点二、反比例的应用 2 例题讲解 2 题型一、正比例的应用 2 题型二、反比例的应用 3 专项练习 4 练习一、正比例的应用 4 练习二、反比例的应用 8 考点梳理 考点一、正比例的应用 （一）正比例的定义 1.两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，若这两种量中相对应的两个数的 比值（商）一定，则这两种量叫做成正比例的量，它们的关系叫做 正比例关系。 2.字母表达式：若用 ( x ) 和 ( y ) 表示两种相关联的量，用 ( k ) 表示它们的比值（一定），则 （ k 为常数，）。 （二）正比例关系的判断方法 1.关联性：两种量必须是相关联的量（一种量变化，另一种量随之变化）。 2.变化方向：两种量的变化方向相同（一种量扩大/缩小，另一种量也扩大/缩小）。 3.比值一定：相对应的两个数的比值（商）是固定不变的常数。 （三）正比例解决问题的步骤 1.审题：找出题目中两种相关联的量，明确已知量和未知量。 2.判断关系：根据定义判断两种量是否成正比例（关键看比值是否一定）。 3.设未知数：设未知量为 ( x )，并明确其单位。 4.列比例式：根据正比例关系 （其中 为已知对应量， 中一个已知一个未知）列出比例式。 5.求解：根据比例的基本性质（内项积=外项积）解比例，求出未知数 ( x )。 6.检验：将结果代入比例式验证比值是否一定，确保答案正确。 考点二、反比例的应用 （一）反比例的定义 1.两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，若这两种量中相对应的两个数的 乘积一定，则这两种量叫做成反比例的量，它们的关系叫做 反比例关系。 2.字母表达式：若用 ( x ) 和 ( y ) 表示两种相关联的量，用 ( k ) 表示它们的乘积（一定），则 （k 为常数，）。 （二）反比例关系的判断方法 1.关联性：两种量必须是相关联的量（一种量变化，另一种量随之变化）。 2.变化方向：两种量的变化方向相反（一种量扩大/缩小，另一种量反而缩小/扩大）。 3.乘积一定：相对应的两个数的乘积是固定不变的常数。 （三）反比例解决问题的步骤 1.审题：找出题目中两种相关联的量，明确已知量和未知量。 2.判断关系：根据定义判断两种量是否成反比例（关键看乘积是否一定）。 3.设未知数：设未知量为 ( x )，并明确其单位。 4.列乘积式：根据反比例关系 （其中 为已知对应量， 中一个已知一个未知）列出等式。 5.求解：通过解方程求出未知数 ( x )。 6.检验：将结果代入乘积式验证乘积是否一定，确保答案正确。 例题讲解 题型一、正比例的应用 【例题1】一种农药，药液与药水的比是1∶120。如果配制900千克的农药，需要药液多少千克？（用比例解） 【练习1】下面是某酸奶生产线上的生产情况记录表。 生产时间/时 0 1 2 3 4 5 6 7 … 生产总量/吨 0 15 30 45 60 75 90 105 … （1）判断该酸奶生产线上的生产总量与生产时间是否成正比例？并说明理由。 （2）把上表中该酸奶生产线上的生产总量与生产时间所对应的点描在方格纸上，再顺次连接。 （3）该酸奶生产线9.6时可以生产酸奶（    ）吨；生产270吨酸奶需要（    ）时。 题型二、反比例的应用 【例题2】根据疫情防控要求，王师傅用喷雾器对小区的公共区域进行全覆盖消毒。如果每分钟喷洒35平方米，40分钟能全部消杀一遍，现在想用28分钟完成任务，每分钟应喷洒多少平方米？（用比例知识解答） 【练习2】打一篇稿子，每分打字个数与所需的时间如下表。 （1）每分打字个数和所需时间成什么比例关系？为什么？ 每分打字个数（个） 120 100 75 60 所需时间（分） 25 30 40 50 （2）如果每分打150个字，打完这篇稿子需要多少分？ 专项练习 练习一、正比例的应用 1．笑笑家装修面积为10.80平方米的书房，用了120块方砖。淘气家的书房面积为9平方米，如用笑笑家书房同一种型号的方砖，一共需要多少块？（用比例方程解答） 2．手机积分是通过消费话费金额来获得的，通信公司为了回馈广大用户，开展了手机积分兑换话费的活动，2400积分可换40元话费，3000积分可换50元话费，以此类推。王阿姨共有3900积分，可兑换多少元话费？（用比例解） 3．陈叔叔打240个字共用了3分钟，按照这样的速度，陈叔叔打720个字需要多少分钟？（用比例解答） 4．已知同一时间同一地点，高度与影长成正比例。某测量小组把一根长3米的竹竿直立在地上，测得影长为1.2米，同时测得张苗的影长为0.72米，张苗的身高是多少米？（列比例解答） 5．我国载人空间站“天宫”飞行76.8千米仅需10秒，“天宫”内的航天员们大约每1.5时就要经历一次日出与日落。“天宫”飞行384千米需要多久？（用比例知识解决） 6．为调配出口感丝滑的奶茶，某奶茶店研发出了一款奶茶方案：茶和奶的比是1∶4，现有280克茶，需准备多少克奶？（列比例解答） 7．下面的图象表示一幅地图图上距离和实际距离的关系。 （1）看图填表。 图上距离/cm 1 2 3 4 5 6 7 … 实际距离/km … （2）根据图象，求出这幅地图的比例尺。图上距离和实际距离成什么比例关系？ （3）在这幅地图上量得甲、乙两城的距离是10厘米，爸爸从甲城开车到乙城，每小时行80千米，几小时到达？ 图上距离/cm 1 2 3 4 5 6 7 … 实际距离/km 40 80 120 160 200 240 280 … 8．下面是一辆汽车行驶路程和耗油量的数据统计表 行驶路程/km 16 48 64 80 耗油量/L 2 6 8 10 （1）汽车行驶的路程和耗油量成（    ）比例。 （2）如果汽车从甲地出发时油量表显示为45升，到达乙地时油量显示数为10升，算一算从甲地到乙地行驶了多少千米？ （3）如果汽车从乙地出发时里程表为57260千米，到达丙地时里程表读数为57500千米，算一算从乙地到丙地共耗油多少升？ 9．某品牌小汽车行驶时的油耗与产生的二氧化碳排放量情况如下表： 油耗数/升 1 2 3 4 5 …… 二氧化碳排放量/千克 2.7 5.4 8.1 10.8 …… （1）请将表格填写完整。 （2）把油耗与二氧化碳排放量的点在图上描出来，并连线。 （3）小汽车的油耗和产生的二氧化碳排放量成（    ）比例。根据以上信息，如果汽车产生18.9千克的二氧化碳，大约耗油多少升？ 10．淘气、笑笑、奇思和妙想四人实践小组利用一个漏水的水龙头做“漏水”实验。他们用一个圆柱形玻璃容器来盛漏出的水，从玻璃容器的内部测量，底面周长是62.8厘米，高是30厘米。下表是他们统计的数据。 漏水时间/分 1 2 3 10 20 … 漏水体积/毫升 40 80 120 400 800 … （1）漏水体积与漏水时间成什么关系？为什么？ （2）这个玻璃容器最多能装多少毫升水？ （3）笑笑把这个空的玻璃容器放在漏水水龙头的下面接水，需要接水多长时间，容器的水位达到20厘米？ （4）这时，往玻璃容器中放入5个底面半径是4厘米的相同圆锥形铁块（完全浸没），玻璃容器内的水位高度从20厘米上升到22厘米。一个圆锥形铁块的高是多少厘米？ 练习二、反比例的应用 1．某小学准备把一批《百科全书》打包寄给山区留守的小朋友。每包的本数和包数如下表。 每包的本数/本 20 40 50 80 150 … 包数/包 60 30 24 10 … （1）将上表补充完整。 （2）每包的本数与包数成反比例关系吗？为什么？ 2．我国生产的无人机全球领先，在农业、气象、抢险救灾等领域被广泛应用。一款大型农业无人机的电池容量为24000毫安（电量的一种计量单位）。因负重不同，飞行时间随着每分钟耗电量的变化而变化。具体情况如下表： 每分钟耗电量/毫安 500 600 800 飞行时间/分钟 48 40 24 （1）把表格填写完整。 （2）每分钟耗电量和飞行时间有什么关系？ 3．某童车厂装配一批童车，每天装配的数量与时间如表。 每天装配的数量/辆 60 90 120 时间/天 60 40 30 （1）每天装配的数量与时间成反比例关系吗？为什么？ （2）如果该童车厂每天装配300辆，那么需要多少天？ 4．某间教室要用方砖铺地，用面积是8平方分米的方砖需要75块，如果改用边长是5分米的方砖，需要多少块这种方砖？（用比例解答） 5．打一篇稿子，每分钟打字个数与所需的时间如下表。 每分钟打字个数（个） 120 100 75 60 所需时间（分） 25 30 （1）把表格填写完整。 （2）每分钟打字个数和所需时间成（    ）比例关系。 （3）如果每分钟打150个字，打完这篇稿子需要多少分？ 6．某物流公司将一批货物运往加工厂，如果要一次把所有货物全部运出，车辆的载质量与所需车辆的数量如下表。 载质量/吨 2.4 2.5 （    ） 5 （    ） 10 数量/辆 （    ） 48 40 （    ） 15 12 （1）请把上表补充完整。 （2）车辆的载质量和所需车辆的数量成什么比例关系？为什么？ 7．“和美乡村”是乡村建设的新概念，旨在提醒人们美丽乡村不仅指外表的形式美，还有人与自然、人与人之间的和谐美。为改善农村居住环境，建设“和美乡村”，朝阳村要将全村的土路进行硬化并铺上水泥，每天铺路的长度与所需的时间如下表。 每天铺路的长度/米 15 20 24 50 … 所需的时间/天 40 30 25 12 … （1）每天铺路的长度与所需的时间成什么比例？为什么？ （2）如果每天铺路的长度是75米，多少天可以铺完？ 8．某物流公司要将一批货物运往加工厂，如果要一次把这些货物全部运走，货车的载质量与所需车辆的数量如下表。 载质量/吨 2.5 3 5 数量/辆 48 40 24 （1）货车的载质量与所需车辆的数量成反比例吗？为什么？ （2）如果用载质量为4.8吨的货车来运，一共需要多少辆？ 9．某食品厂包装一批水果糖，如果每袋250克，需120袋才能装完。现在要求每袋装300克，需多少袋可以装完？（用比例解） 10．阳光小学参加“小手拉大手，共创卫生城”活动，大队辅导员计划带领36名学生志愿者清理街道、路边张贴的小广告，每名志愿者要清理15处，活动当天6人因有事没有参加此次活动，那么剩下的志愿者每人需清理多少处小广告？（用比例解） 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项提升训练10：正比例与反比例解决问题 考点梳理 1 考点一、正比例的应用 1 考点二、反比例的应用 2 例题讲解 2 题型一、正比例的应用 2 题型二、反比例的应用 4 专项练习 5 练习一、正比例的应用 5 练习二、反比例的应用 15 考点梳理 考点一、正比例的应用 （一）正比例的定义 1.两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，若这两种量中相对应的两个数的 比值（商）一定，则这两种量叫做成正比例的量，它们的关系叫做 正比例关系。 2.字母表达式：若用 ( x ) 和 ( y ) 表示两种相关联的量，用 ( k ) 表示它们的比值（一定），则 （ k 为常数，）。 （二）正比例关系的判断方法 1.关联性：两种量必须是相关联的量（一种量变化，另一种量随之变化）。 2.变化方向：两种量的变化方向相同（一种量扩大/缩小，另一种量也扩大/缩小）。 3.比值一定：相对应的两个数的比值（商）是固定不变的常数。 （三）正比例解决问题的步骤 1.审题：找出题目中两种相关联的量，明确已知量和未知量。 2.判断关系：根据定义判断两种量是否成正比例（关键看比值是否一定）。 3.设未知数：设未知量为 ( x )，并明确其单位。 4.列比例式：根据正比例关系 （其中 为已知对应量， 中一个已知一个未知）列出比例式。 5.求解：根据比例的基本性质（内项积=外项积）解比例，求出未知数 ( x )。 6.检验：将结果代入比例式验证比值是否一定，确保答案正确。 考点二、反比例的应用 （一）反比例的定义 1.两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，若这两种量中相对应的两个数的 乘积一定，则这两种量叫做成反比例的量，它们的关系叫做 反比例关系。 2.字母表达式：若用 ( x ) 和 ( y ) 表示两种相关联的量，用 ( k ) 表示它们的乘积（一定），则 （k 为常数，）。 （二）反比例关系的判断方法 1.关联性：两种量必须是相关联的量（一种量变化，另一种量随之变化）。 2.变化方向：两种量的变化方向相反（一种量扩大/缩小，另一种量反而缩小/扩大）。 3.乘积一定：相对应的两个数的乘积是固定不变的常数。 （三）反比例解决问题的步骤 1.审题：找出题目中两种相关联的量，明确已知量和未知量。 2.判断关系：根据定义判断两种量是否成反比例（关键看乘积是否一定）。 3.设未知数：设未知量为 ( x )，并明确其单位。 4.列乘积式：根据反比例关系 （其中 为已知对应量， 中一个已知一个未知）列出等式。 5.求解：通过解方程求出未知数 ( x )。 6.检验：将结果代入乘积式验证乘积是否一定，确保答案正确。 例题讲解 题型一、正比例的应用 【例题1】一种农药，药液与药水的比是1∶120。如果配制900千克的农药，需要药液多少千克？（用比例解） 【答案】7.5千克 【分析】药液与药水的比是1∶120，也就是药液与药水的比值一定，所以药液与药水成正比例关系；设配制900千克的农药，需要药液x千克，根据药液与药水的比值一定；列出方程求解即可。 【详解】解：设需要药液x千克 x∶900＝1∶120 120x＝900×1 120x÷120＝900÷120 x＝7.5 答：配制900千克的农药，需要药液7.5千克。 【点睛】本题主要考查正比例的应用，明确药液与药水成正比例关系是解题的关键。 【练习1】下面是某酸奶生产线上的生产情况记录表。 生产时间/时 0 1 2 3 4 5 6 7 … 生产总量/吨 0 15 30 45 60 75 90 105 … （1）判断该酸奶生产线上的生产总量与生产时间是否成正比例？并说明理由。 （2）把上表中该酸奶生产线上的生产总量与生产时间所对应的点描在方格纸上，再顺次连接。 （3）该酸奶生产线9.6时可以生产酸奶（    ）吨；生产270吨酸奶需要（    ）时。 【答案】（1）成正比例；理由见详解 （2）见详解 （3）144；18 【分析】（1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量。对于生产总量和生产时间，15÷1＝15（吨/时），30÷2＝15（吨/时），45÷3＝15（吨/时），60÷4＝15（吨/时）…，即生产总量÷生产时间＝每小时生产的量（一定），这里每小时生产15吨是固定值。 （2）表格中生产时间为0时，生产总量0吨，对应坐标（0，0）；生产时间1时，生产总量15吨，对应（1，15）；生产时间2时，对应（2，30）；以此类推，直到生产时间7时，对应（7，105）。在方格纸上，找到对应的横（生产时间）、纵（生产总量）坐标点，然后用直尺顺次连接这些点，会得到一条经过原点的直线。 （3）由（1）可知每小时生产15吨，即生产效率是15吨/时。对于“9.6时可以生产酸奶多少吨”，根据“生产总量＝生产效率×生产时间”计算；对于“生产270吨需要多少时”，根据“生产时间＝生产总量÷生产效率”计算。 【详解】（1）15÷1＝15（吨/时） 30÷2＝15（吨/时） 45÷3＝15（吨/时） 60÷4＝15（吨/时） 生产总量÷生产时间＝每小时生产的量（一定），这里每小时生产15吨是固定值。 答：该酸奶生产线上的生产总量与生产时间成正比例，因为生产总量和生产时间是相关联的量，且生产总量与生产时间的比值（每小时生产的量）一定，所以成正比例。 （2）如图： （3）15×9.6＝144（吨） 270÷15＝18（时） 该酸奶生产线9.6时可以生产酸奶144吨；生产270吨酸奶需要18时。 题型二、反比例的应用 【例题2】根据疫情防控要求，王师傅用喷雾器对小区的公共区域进行全覆盖消毒。如果每分钟喷洒35平方米，40分钟能全部消杀一遍，现在想用28分钟完成任务，每分钟应喷洒多少平方米？（用比例知识解答） 【答案】50平方米 【分析】根据题意，每分钟喷洒的面积×喷洒的实际＝小区公共区域的面积（一定），因为小区公共区域的面积是一个定值，所以每分钟喷洒的面积与喷洒的时间成反比例，设每分钟应喷洒x平方米，列方程：28x＝35×40，解方程，即可解答。 【详解】解：设每分钟应喷洒x平方米。 28x＝35×40 28x＝1400 x＝1400÷28 x＝50 答：每分钟应喷洒50平方米。 【点睛】解答本题的关键是先判断两个相关的量成什么比例，并找准对应量。 【练习2】打一篇稿子，每分打字个数与所需的时间如下表。 （1）每分打字个数和所需时间成什么比例关系？为什么？ 每分打字个数（个） 120 100 75 60 所需时间（分） 25 30 40 50 （2）如果每分打150个字，打完这篇稿子需要多少分？ 【答案】（1）反比例；原因见详解 （2）20分 【分析】（1）两种相关联的量，如果它们的比值或商一定，则这两种量成正比例关系；如果它们的乘积一定，则这两种量成反比例关系。据此解答。 （2）由（1）可知，每分打字个数和所需时间成反比例关系。设如果每分打150个字，打完这篇稿子需要x分，则150x＝60×50，解出方程即可。 【详解】（1）答：每分打字个数和所需时间成反比例关系。因为120×25＝100×30＝75×40＝60×50＝3000（一定），乘积一定，则每分打字个数和所需时间成反比例关系。 （2）解：设打完这篇稿子需要x分。 150x＝60×50 150x＝3000 x＝3000÷150 x＝20 答：打完这篇稿子需要20分。 专项练习 练习一、正比例的应用 1．笑笑家装修面积为10.80平方米的书房，用了120块方砖。淘气家的书房面积为9平方米，如用笑笑家书房同一种型号的方砖，一共需要多少块？（用比例方程解答） 【答案】100块 【分析】根据题意可知，面积与方砖块数成正比例，设一共需要x块，列比例：10.80∶120＝9∶x，解比例，即可解答。 【详解】解：设一共需要x块。 10.80∶120＝9∶x 10.80x＝120×9 10.80x＝1080 x＝1080÷10.80 x＝100 答：一共需要100块。 2．手机积分是通过消费话费金额来获得的，通信公司为了回馈广大用户，开展了手机积分兑换话费的活动，2400积分可换40元话费，3000积分可换50元话费，以此类推。王阿姨共有3900积分，可兑换多少元话费？（用比例解） 【答案】 65元 【分析】因为积分兑换话费时，积分与话费的比值是固定的（即每元话费所需积分一定），所以积分和话费成正比例关系。设3900积分可兑换x元话费，依据“每元话费所需的积分相等”，即2400积分对应40元话费，3900积分对应x元话费，它们的比值（每元话费的积分）相同，据此可列出比例2400∶40＝3900∶x；根据比例的基本性质 “两内项之积等于两外项之积”得2400x＝40×3900，先计算出40×3900，然后根据等式的性质，方程两边同时除以2400，求解出x，即为可兑换的话费钱数。 【详解】解：设可兑换x元话费。 2400∶40＝3900∶x 2400x＝40×3900 2400x＝156000 2400x÷2400＝156000÷2400 x＝65 答：可兑换65元话费。 3．陈叔叔打240个字共用了3分钟，按照这样的速度，陈叔叔打720个字需要多少分钟？（用比例解答） 【答案】9分钟 【分析】根据题意，陈叔叔打字的速度不变，即打字的个数与时间的比值（速度）一定，因此打字的个数与时间成正比例关系。设打720个字需要x分钟，列出比例方程求解。 【详解】解：设陈叔叔打720个字需要x分钟。 答：陈叔叔打720个字需要9分钟。 4．已知同一时间同一地点，高度与影长成正比例。某测量小组把一根长3米的竹竿直立在地上，测得影长为1.2米，同时测得张苗的影长为0.72米，张苗的身高是多少米？（列比例解答） 【答案】1.8米 【分析】由题意可知，同一时间同一地点，高度与影长成正比例关系，把张苗的身高设为未知数，张苗的身高∶张苗的影长＝竹竿的高度∶竹竿的影长，列出比例式并解比例求出张苗的身高，据此解答。 【详解】解：设张苗的身高是x米。 x∶0.72＝3∶1.2 1.2x＝0.72×3 1.2x＝2.16 x＝2.16÷1.2 x＝1.8 答：张苗的身高是1.8米。 5．我国载人空间站“天宫”飞行76.8千米仅需10秒，“天宫”内的航天员们大约每1.5时就要经历一次日出与日落。“天宫”飞行384千米需要多久？（用比例知识解决） 【答案】 50秒 【分析】因为 “天宫” 飞行的速度是恒定的，速度＝路程÷时间，当速度一定时，路程和时间成正比例关系，即路程越长，所需时间越长，且路程与时间的比值始终等于速度。设“天宫” 飞行384千米需要x秒，已知飞行76.8千米需要10秒，根据正比例关系可列出比例：384∶x＝76.8∶10，根据比例的基本性质 “两内项之积等于两外项之积”，将比例转化为方程76.8x＝384×10，先计算出384×10，然后根据等式的性质，方程两边同时除以76.8求解出x，即“天宫”飞行384千米所需要的时间。 【详解】解：设“天宫”飞行384千米需要x秒。 384∶x＝76.8∶10 76.8x＝384×10 76.8x＝3840 76.8x÷76.8＝3840÷76.8 x＝50 答：“天宫”飞行384千米需要50秒。 6．为调配出口感丝滑的奶茶，某奶茶店研发出了一款奶茶方案：茶和奶的比是1∶4，现有280克茶，需准备多少克奶？（列比例解答） 【答案】1120克 【分析】根据茶和奶的比是1∶4，此比值一定，所以茶与奶的质量成正比例，由此列出比例解决问题。 【详解】解：设需准备x克奶。 280∶x＝1∶4 x＝280×4 x＝1120 答：需准备1120克奶。 7．下面的图象表示一幅地图图上距离和实际距离的关系。 （1）看图填表。 图上距离/cm 1 2 3 4 5 6 7 … 实际距离/km … （2）根据图象，求出这幅地图的比例尺。图上距离和实际距离成什么比例关系？ （3）在这幅地图上量得甲、乙两城的距离是10厘米，爸爸从甲城开车到乙城，每小时行80千米，几小时到达？ 【答案】（1）见详解； （2）比例尺：1∶4000000；图上距离和实际距离成正比例； （3）5小时 【分析】（1）根据给出的图象可知：图上距离1厘米表示实际距离40千米，图上的2厘米表示实际距离80千米……据此根据图象中的数据填表即可； （2）图上距离∶实际距离＝比例尺，据此求出比例尺；两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两个量中相对应的两个数的比值一定，这两种量叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系，用式子表示为：＝k；如果这两个量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系，用式子表示为：xy＝k；据此解答； （3）先根据实际距离＝图上距离÷比例尺求出甲、乙两城的实际距离，再根据1千米＝100000厘米把实际距离换算成以千米为单位，最后根据时间＝路程÷速度列式计算即可。 【详解】（1）根据图象的信息填表如下： 图上距离/cm 1 2 3 4 5 6 7 … 实际距离/km 40 80 120 160 200 240 280 … （2）图上距离∶实际距离 ＝1厘米∶40千米 ＝1厘米∶4000000厘米 ＝1∶4000000 1厘米∶40千米＝1厘米∶4000000厘米＝1∶4000000 2厘米∶80千米＝2厘米∶8000000厘米＝2∶8000000＝（2÷2）∶（8000000÷2）＝1∶4000000 答：这幅图的比例尺是1∶4000000，因为＝比例尺（一定），所以图上距离和实际距离成正比例关系。 （3）10÷ ＝10×4000000 ＝40000000（厘米） 40000000厘米＝400千米 400÷80＝5（时） 答：5小时到达。 8．下面是一辆汽车行驶路程和耗油量的数据统计表 行驶路程/km 16 48 64 80 耗油量/L 2 6 8 10 （1）汽车行驶的路程和耗油量成（    ）比例。 （2）如果汽车从甲地出发时油量表显示为45升，到达乙地时油量显示数为10升，算一算从甲地到乙地行驶了多少千米？ （3）如果汽车从乙地出发时里程表为57260千米，到达丙地时里程表读数为57500千米，算一算从乙地到丙地共耗油多少升？ 【答案】（1）正 （2）280千米 （3）30升 【分析】（1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定（也就是商一定），这两种量成正比例关系。 （2）根据题意可知，汽车从甲地到乙地的耗油量为（45－10）升， 设从甲地到乙地行驶了千米。因为耗油量∶行驶的路程＝每千米的耗油量（一定），即耗油量与行驶的路程成正比例关系，据此列出正比例方程，并求解。 （3）根据题意可知，汽车从乙地到丙地的路程是（57500－57260）千米，设从乙地到丙地共耗油升。根据耗油量∶行驶的路程＝每千米的耗油量（一定），据此列出正比例方程，并求解。 【详解】（1）＝＝＝＝（一定） 比值一定，则汽车行驶的路程和耗油量成（正）比例。 （2）解：设从甲地到乙地行驶了千米。 ＝ 2＝16×（45－10） 2＝16×35 2＝560 ＝560÷2 ＝280 答：从甲地到乙地行驶了280千米。 （3）解：设从乙地到丙地共耗油升。 ＝ 16＝2×（57500－57260） 16＝2×240 16＝480 ＝480÷16 ＝30 答：从乙地到丙地共耗油30升。 9．某品牌小汽车行驶时的油耗与产生的二氧化碳排放量情况如下表： 油耗数/升 1 2 3 4 5 …… 二氧化碳排放量/千克 2.7 5.4 8.1 10.8 …… （1）请将表格填写完整。 （2）把油耗与二氧化碳排放量的点在图上描出来，并连线。 （3）小汽车的油耗和产生的二氧化碳排放量成（    ）比例。根据以上信息，如果汽车产生18.9千克的二氧化碳，大约耗油多少升？ 【答案】（1）13.5 （2）见详解 （3）正；7升 【分析】（1）观察表格中已有的数据，2.7÷1＝5.4÷2＝8.1÷3＝10.8÷4＝2.7，发现二氧化碳排放量与油耗的比值始终为2.7，用5乘2.7，即可求出当油耗为5升时，二氧化碳排放量是多少，再将表格补充完整。 （2）根据表格中的数据，在给定的图中，分别找到油耗对应的横坐标和二氧化碳排放量对应的纵坐标的交点，依次描出这些点，然后用直线将这些点连接起来，形成一条反映两者关系的直线。 （3）二氧化碳排放量和油耗数是两种相关联的量，二氧化碳排放量÷耗油量＝2.7（一定），所以小汽车的油耗和产生的二氧化碳排放量成正比例。其比值为2.7，即每消耗1升油产生2.7千克二氧化碳，现在已知产生二氧化碳的量为18.9千克，要求耗油量，根据正比例关系，耗油量＝二氧化碳排放量÷每升油对应的二氧化碳排放量，即18.9÷2.7，即可求出汽车产生18.9千克的二氧化碳，大约耗油多少升。 【详解】（1）5×2.7＝13.5（千克） 将表格补充完整，如下： 油耗数/升 1 2 3 4 5 …… 二氧化碳排放量/千克 2.7 5.4 8.1 10.8 13.5 …… （2）如图： （3）小汽车的油耗和产生的二氧化碳排放量成正比例。 18.9÷2.7＝7（升） 答：如果汽车产生18.9千克的二氧化碳，大约耗油7升。 10．淘气、笑笑、奇思和妙想四人实践小组利用一个漏水的水龙头做“漏水”实验。他们用一个圆柱形玻璃容器来盛漏出的水，从玻璃容器的内部测量，底面周长是62.8厘米，高是30厘米。下表是他们统计的数据。 漏水时间/分 1 2 3 10 20 … 漏水体积/毫升 40 80 120 400 800 … （1）漏水体积与漏水时间成什么关系？为什么？ （2）这个玻璃容器最多能装多少毫升水？ （3）笑笑把这个空的玻璃容器放在漏水水龙头的下面接水，需要接水多长时间，容器的水位达到20厘米？ （4）这时，往玻璃容器中放入5个底面半径是4厘米的相同圆锥形铁块（完全浸没），玻璃容器内的水位高度从20厘米上升到22厘米。一个圆锥形铁块的高是多少厘米？ 【答案】（1）正比例；漏水体积÷漏水时间＝每分钟漏水体积（一定） （2）9420毫升 （3）157分 （4）7.5厘米 【分析】（1）两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系，据此分析； （2）底面半径＝底面周长÷圆周率÷2，圆柱容积＝底面积×高，据此计算出玻璃容器的容积即可； （3）玻璃容器的底面积×水位高度＝接水量，接水量÷每分钟漏水体积＝需要的时间； （4）水面上升的体积就是5个圆锥形铁块的体积，玻璃容器底面积×水面上升的高度÷5＝一个铁块的体积，根据圆锥的高＝体积×3÷底面积，即可求出铁块的高。 【详解】（1）40÷1＝40（毫升），80÷2＝40（毫升），120÷3＝40（毫升）… 答：漏水体积与漏水时间成正比例关系，因为漏水体积÷漏水时间＝每分钟漏水体积（一定）。 （2）62.8÷3.14÷2 ＝20÷2 ＝10（厘米） 3.14×102×30 ＝3.14×100×30 ＝9420（立方厘米） 9420立方厘米＝9420毫升 答：这个玻璃容器最多能装9420毫升水。 （3）3.14×102×20 ＝3.14×100×20 ＝6280（立方厘米） 6280立方厘米＝6280毫升 6280÷40＝157（分） 答：需要接水157分。 （4）3.14×102×（22－20）÷5 ＝3.14×100×2÷5 ＝628÷5 ＝125.6（立方厘米） 125.6×3÷（3.14×42） ＝376.8÷（3.14×16） ＝376.8÷50.24 ＝7.5（厘米） 答：一个圆锥形铁块的高是7.5厘米。 练习二、反比例的应用 1．某小学准备把一批《百科全书》打包寄给山区留守的小朋友。每包的本数和包数如下表。 每包的本数/本 20 40 50 80 150 … 包数/包 60 30 24 10 … （1）将上表补充完整。 （2）每包的本数与包数成反比例关系吗？为什么？ 【答案】（1）见详解 （2）成反比例；见详解 【分析】（1）根据每包的本数×包数即可求出这批《百科全书》的总本数。再根据总本数÷包数＝每包的本数、用总本数÷每包的本数＝包数，完成表格即可。 （2）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。据此判断即可。 【详解】（1）20×60＝1200（本） 1200÷80＝15（包） 1200÷10＝120（本） 1200÷150＝8（包） 填表如下： 每包的本数/本 20 40 50 80 120 150 … 包数/包 60 30 24 15 10 8 … （2）答：每包的本数与包数成反比例关系，因为每包的本数×包数＝总本数（一定），每包的本数与包数的乘积一定。 2．我国生产的无人机全球领先，在农业、气象、抢险救灾等领域被广泛应用。一款大型农业无人机的电池容量为24000毫安（电量的一种计量单位）。因负重不同，飞行时间随着每分钟耗电量的变化而变化。具体情况如下表： 每分钟耗电量/毫安 500 600 800 飞行时间/分钟 48 40 24 （1）把表格填写完整。 （2）每分钟耗电量和飞行时间有什么关系？ 【答案】（1）30；1000 （2）成反比例关系 【分析】（1）根据“电池容量＝每分钟耗电量×飞行时间”，电池容量为24000毫安。 当每分钟耗电量为800毫安时，飞行时间为24000÷800＝30分钟； 当飞行时间为24分钟时，每分钟耗电量为24000÷24＝1000毫安。据此填表。 （2）因为“每分钟耗电量×飞行时间＝电池容量（一定）”，根据反比例关系的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就成反比例关系。所以每分钟耗电量和飞行时间成反比例关系。 【详解】（1）24000÷800＝30（分钟） 24000÷24＝1000（毫安） 填表如下： 每分钟耗电量/毫安 500 600 800 1000 飞行时间/分钟 48 40 30 24 （2）每分钟耗电量和飞行时间成反比例关系。 3．某童车厂装配一批童车，每天装配的数量与时间如表。 每天装配的数量/辆 60 90 120 时间/天 60 40 30 （1）每天装配的数量与时间成反比例关系吗？为什么？ （2）如果该童车厂每天装配300辆，那么需要多少天？ 【答案】（1）成反比例关系；因为每天装配的数量与时间的乘积始终是3600，说明总装配量一定，所以它们成反比例关系； （2）12天 【分析】（1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，则这两种量成反比例关系； （2）用总装配量除以每天装配的数量，可求出需要的时间。 【详解】（1）60×60＝3600（辆） 90×40＝3600（辆） 120×30＝3600（辆） 所有的乘积都是3600，说明每天装配的数量与时间的乘积一定，因此每天装配的数量与时间成反比例关系。 答：每天装配的数量与时间成反比例关系；因为每天装配数量与时间的乘积始终是3600，说明总装配量一定，所以它们成反比例关系。 （2）3600÷300＝12（天） 答：需要12天。 4．某间教室要用方砖铺地，用面积是8平方分米的方砖需要75块，如果改用边长是5分米的方砖，需要多少块这种方砖？（用比例解答） 【答案】24块 【分析】教室地面的总面积是固定不变的。方砖的面积×所需方砖的块数＝教室地面的总面积（一定），所以方砖的面积和所需块数成反比例。设需要边长为5分米的方砖x块。根据“总面积一定，方砖面积与块数成反比例”，可列比例：（5×5）x＝8×75，然后解比例即可。 【详解】解：设需要边长为5分米的方砖x块。 （5×5）x＝8×75 25x＝600 25x÷25＝600÷25 x＝24 答：如果改用边长是5分米的方砖，需要24块这种方砖。 5．打一篇稿子，每分钟打字个数与所需的时间如下表。 每分钟打字个数（个） 120 100 75 60 所需时间（分） 25 30 （1）把表格填写完整。 （2）每分钟打字个数和所需时间成（    ）比例关系。 （3）如果每分钟打150个字，打完这篇稿子需要多少分？ 【答案】 （1）40，50 （2）反 （3）20分 【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。通过计算已知数据可知成反比例关系，总字数固定为每分钟打字个数与所需时间的乘积，计算空白处的值。 （2）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 （3）利用总字数除以每分钟打字个数，求出所需时间。 【详解】（1）120×25＝3000（个） 100×300＝3000（个） 3000÷75＝40（分） 3000÷60＝50（分） 每分钟打字个数（个） 120 100 75 60 所需时间（分） 25 30 40 50 （2）每分钟打字个数和所需时间的乘积为3000（一定），因此每分钟打字个数和所需时间成反比例关系。 （3）3000÷150＝20（分） 答：打完这篇稿子需要20分。 6．某物流公司将一批货物运往加工厂，如果要一次把所有货物全部运出，车辆的载质量与所需车辆的数量如下表。 载质量/吨 2.4 2.5 （    ） 5 （    ） 10 数量/辆 （    ） 48 40 （    ） 15 12 （1）请把上表补充完整。 （2）车辆的载质量和所需车辆的数量成什么比例关系？为什么？ 【答案】（1）3；8 50；24 （2）反比例；因为车辆的载质量和所需车辆的数量的乘积始终为120吨，乘积一定，符合反比例的定义 【分析】（1）从表格中可知，载质量为2.5吨时需48辆，载质量为10吨时需12辆，发现乘积均为120，说明货物总质量为120吨； 根据“载质量×所需车辆的数量＝货物总质量”可得出：载质量＝货物总质量÷所需车辆的数量，所需车辆的数量＝货物总质量÷载质量，据此计算出表格中空缺处的数值，把表格补充完整。 （2）判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 【详解】（1）2.5×48＝120（吨），10×12＝120（吨） 所以货物总质量为120吨。 120÷2.4＝50（辆） 120÷40＝3（吨） 120÷5＝24（辆） 120÷15＝8（吨） 填表如下： 载质量/吨 2.4 2.5 （ 3 ） 5 （ 8 ） 10 数量/辆 （ 50 ） 48 40 （ 24 ） 15 12 （2）2.4×50＝120（吨） 2.5×48＝120（吨） 3×40＝120（吨） 5×24＝120（吨） 8×15＝120（吨） 10×12＝120（吨） 答：车辆的载质量和所需车辆的数量成反比例关系，因为车辆的载质量和所需车辆的数量的乘积始终为120吨，乘积一定，符合反比例的定义。 7．“和美乡村”是乡村建设的新概念，旨在提醒人们美丽乡村不仅指外表的形式美，还有人与自然、人与人之间的和谐美。为改善农村居住环境，建设“和美乡村”，朝阳村要将全村的土路进行硬化并铺上水泥，每天铺路的长度与所需的时间如下表。 每天铺路的长度/米 15 20 24 50 … 所需的时间/天 40 30 25 12 … （1）每天铺路的长度与所需的时间成什么比例？为什么？ （2）如果每天铺路的长度是75米，多少天可以铺完？ 【答案】（1）反比例；因为每天铺路的长度与所需的时间的积一定。 （2）8天 【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 （2）由（1）知，每天铺路的长度与所需的时间成反比例，也就是说每天铺路的长度与所需的时间的乘积一定，据此用每天铺路的长度乘40求出需要铺路的总长度，再除以75即可解答。 【详解】（1）15×40＝600（米） 20×30＝600（米） 24×25＝600（米） 50×12＝600（米） …… 每天铺路的长度×所需的时间＝600（米），乘积一定，所以每天铺路的长度与所需的时间成反比例。 （2）15×40÷75 ＝600÷75 ＝8（天） 答：8天可以铺完。 8．某物流公司要将一批货物运往加工厂，如果要一次把这些货物全部运走，货车的载质量与所需车辆的数量如下表。 载质量/吨 2.5 3 5 数量/辆 48 40 24 （1）货车的载质量与所需车辆的数量成反比例吗？为什么？ （2）如果用载质量为4.8吨的货车来运，一共需要多少辆？ 【答案】（1）成反比例；理由见解析 （2）25辆 【分析】（1）判断两个相关联的量是否成比例，就看这两个相关联的量，它们之间的关系是商一定还是积一定；如果商一定，则成正比例；如果是积一定，则成反比例；如果商和积都不是定值，则不成比例。 （2）用货车的载质量乘对应所需车辆的数量，求出这批货物的总质量，再除以4.8，所得结果即为需要货车的数量。 【详解】（1）2.5×48＝120（吨） 3×40＝120（吨） 5×24＝120（吨） 因为2.5×48＝3×40＝5×24＝120（一定），也就是货车的载质量与所需车辆的数量的乘积一定，因此货车的载质量与所需车辆的数量成反比例。 答：成反比例。理由是货车的载质量与所需车辆的数量的乘积一定。 （2）3×40÷4.8 ＝120÷4.8 ＝25（辆） 答：一共需要25辆。 9．某食品厂包装一批水果糖，如果每袋250克，需120袋才能装完。现在要求每袋装300克，需多少袋可以装完？（用比例解） 【答案】100袋 【分析】根据题意可知，每袋装的质量×袋数＝这批水果糖的总质量，这批水果糖的总质量是一定的，每袋装的质量与袋数成反比例，设需x袋可以装完；由于水果糖的总质量不变，列方程：300x＝250×120，解方程，即可解答 【详解】解：设需x袋可以装完。 300x＝250×120 300x＝30000 x＝30000÷300 x＝100 答：需要100袋可以装完。 【点睛】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，成正比例，如果乘积一定，则成反比例，据此判断出每袋质量与袋数之间成什么比了，列出相应的方程求解。 10．阳光小学参加“小手拉大手，共创卫生城”活动，大队辅导员计划带领36名学生志愿者清理街道、路边张贴的小广告，每名志愿者要清理15处，活动当天6人因有事没有参加此次活动，那么剩下的志愿者每人需清理多少处小广告？（用比例解） 【答案】18 【分析】设剩下的志愿者每人需清理x处小广告，根据等量关系式：每名志愿者需要清理的处数×人数＝小广告的总处数，列方程解答即可。 【详解】解：设剩下的志愿者每人需清理x处小广告。 （36－6）×x＝36×15 30x＝36×15 30x÷15＝36×15÷15 2x＝36 x＝18 答：剩下的志愿者每人需清理18处小广告。 【点睛】本题主要考查了正反比例应用题，本题关键是抓住每名志愿者需要清理的处数×人数＝小广告的总处数（一定）。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $