10.5 分式方程 用分式方程解决问题 同步练习 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

10.5《分式方程》-- 用分式方程解决问题 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分) 1．某工程队原计划修路，实际每天比原计划多修，结果提前3天完成．设原计划每天修路，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．某市为了构建城市立体交通网络，决定修建一条轻轨铁路，为使工程提前半年完成，需将工作效率提高，则原计划完成这项工程需要（    ） A．个月 B．个月 C．个月 D．个月 3．《九章算术》是中国古代数学名著，其中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．”某同学对该问题改编如下：每头牛比每只羊贵1两，用20两买牛，15两买羊，买得的牛、羊数量相等，则每头牛的价格为多少两？若设每头牛的价格为x两，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 4．实验室的一个容器内盛有克食盐水，其中含盐克．如何处理能将该容器内食盐水的含盐百分比提高到原来的倍？晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数表示的意义是（    ） A．加入的食盐量 B．减少的食盐量 C．增加的水量 D．蒸发掉的水量 5．、两地相距千米，一辆大汽车从地开出1小时后，又从地开出另一辆小汽车，已知小汽车的速度是大汽车速度的2倍，结果小汽车比大汽车早分钟到达地，求两种汽车每小时各走多少千米．设大汽车的速度为，则下面所列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 6．为改善办学条件，提升教学质量，某校计划投资80万元对教室进行升级改造．为了保证质量，实际每间教室的改造费用比原计划增加了，并比原计划多改造了5间教室，总投资追加了40万元．根据题意，实际每间教室的改造费用是（   ） A．3万元 B．4万元 C．万元 D．6万元 7．在“双碳”战略的引导下，我国新能源汽车产业蓬勃发展．经过对某款新能源电动汽车和某款燃油车的对比发现，平均每公里电动汽车的充电费比燃油车的加油费少元．当充电费和加油费均为100元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的9倍，设这款电动汽车平均每公里的充电费为元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 8．某公司开发了A，B两款AI模型，已知模型B比模型A每小时多处理10GB数据，模型A处理400GB数据的时间是模型B处理300GB数据的时间2倍．根据题意，小明列出了两个方程：①，②对于两个方程中和的意义，下列说法正确的是（    ） A．表示模型A处理400GB数据的时间 B．表示模型B每小时能处理多少GB数据 C．表示模型B处理数据的时间 D．表示模型A每小时能处理多少数据 9．小明的爸爸买了某银行的低风险理财产品（该理财产品分两次取回），本金为10000元，1年后返还5110元，2年后返还5250元，设此理财产品的收益率为，根据题意，为求解，以下列出的方程中正确的是（    ） A．； B．； C．； D．． 10．《九章算术》中有题为：每头牛比每只羊贵1两，20两买牛，15两买羊，买得牛、羊的数量相等，求每头牛的价格．根据题意，嘉嘉和淇淇分别列出了尚不完整的方程如图所示．下列说法不正确的是（   ） 嘉嘉： 淇淇： A．表示每头牛的价格 B．表示买得牛（羊）的数量 C．d表示 D．表示 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．若分式与分式的值相等，则____________． 12．某工厂计划生产产品，如果每天比原计划多生产，可提前2天完成．设原计划每天生产产品，则可列方程为______． 13．一个两位数，个位数字是十位数字的2倍，这两位上数字的倒数和是，求这个两位数．设十位上数字为x，依题意可列方程________________． 14．魅力新保定，跑向新未来4月20日上午，君乐宝2025保定马拉松赛鸣枪开跑．甲、乙两人参加约40千米的比赛，两人同时出发，甲每小时比乙多跑2千米，最终甲比乙早1小时到达．设乙的平均速度为每小时千米，根据题意可列方程为___________． 15．某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长为的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，施工队实际工作效率比原计划提高了，结果提前完成任务，则原计划每小时修路________. 16．王老师从家里出发，驾车到离家的风景区度假．已知王老师在出发内按计划的速度匀速行驶，后以原计划速度的倍匀速行驶，并提前到达风景区．第二天以原计划速度的倍返回家中，那么来回行驶的时间相差______________． 17．甲、乙两地相距135km，A，B两辆车从甲地开往乙地，A车比B车早出发5h，B车比A车晚到30min，B车和A车的速度之比为，则B车的速度为______km/h． 18．科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘、净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少，一年滞尘所需的银杏树叶的片数与一年滞尘所需的国槐树叶的片数相同．则一片国槐树叶一年的平均滞尘量为______． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）广东绿道建设起步早、历时长、成效快，现已形成了遍布南粤大地的绿道网络，将居民点、自然与人文景观、生态保护地串联为一体．小张和小李相约到某体育休闲公园的环湖绿道上匀速骑行，已知环湖绿道全长6600米，小张的速度是小李的速度的1.2倍． （1）若两人同时出发，背向而行，经过12分钟后两人相遇，则小李每分钟骑行多少米？ （2）若两人同时出发，同向而行，结果小张比小李早了4分钟回到起点，则小李每分钟骑行多少米？ 20．（8分）某盘山公路全长，其中上坡路段长，其余为下坡路段．周末，一位自行车爱好者进行骑行体验，他骑完全程共用了，其中在下坡路段上骑行的平均速度是上坡路段上的． （1）求该自行车爱好者上坡路段骑行的平均速度； （2）若建设这条公路时，某工程队承接了其中路段的建设任务，该工程队在完成的施工任务后，为保证工程如期完成，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该路段的工程，则该路段的工程原计划每天完成多少米？ 21．（10分）某汽车配件公司研发出了生产电动汽车的某种关键部件，并计划安排部分工人用10天的时间生产2万个该部件． （1）若计划安排x名工人生产该部件，那么平均每人每天的工作效率是 ；（用含x的式子表示） （2）若该公司按计划生产2天后，公司又增加了50名工人生产该部件，同时通过技术革新，使所有参加生产的工人的工作效率都提高了，结果提前2天完成了生产任务．求原计划安排了多少名工人生产该部件？ 22．（10分）【问题呈现】某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产400台机器所需时间相同，现在平均每天生产多少台机器？ 【分析解法】 解法一 设……等量关系：生产600台机器所需时间原计划生产400台机器所需时间      解法二 设……等量关系：现在平均每天生产的数量原计划每天生产的数量      【问题解决】 （1）解法一所列方程中的x表示的是_______；解法二所列方程中的y表示的是________； （2）请选择一种解法，求现在平均每天生产机器的数量． 23．（10分）载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“天宫”模型的成本比“神舟”模型低20%，同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个． （1）“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？ （2）该航模店计划购买两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，“天宫”模型的售价为25元．设购买“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元． ①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）； ②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 24．（12分）儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢，六一儿童节来临之际，宜家乐超市决定购进，两种风筝，购进每个种风筝比每个种风筝多元，用元购种风筝的数量和元购种风筝的数量相同． （1）求购进，两种风筝每个各需多少元； （2）若该商店决定购进这两种风筝共个，且用于购买的资金不少于元，还不超过元，则该商店有哪几种进货方案? （3）已知商家出售个种风筝可获利元，出售个种风筝可获利元，问当取何值时（2）中的方案，商家获利都相同． 参考答案 一、选择题 1．B 解：∵原计划每天修路，总路程为， ∴原计划完成工程的天数为， ∵实际每天比原计划多修， ∴实际每天修路，实际完成工程的天数为， ∵结果提前3天完成，即原计划天数实际天数3， ∴可列方程为， 故选：B． 2．A 解：设原计划完成这项工程需要x个月完成，则提高工作效率后完成工程需要个月， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 答：原计划完成这项工程需要个月． 故选：A． 3．A 解：设每头牛的价格为x两，则每只羊的价格为两， 用20两买牛，牛的数量为头， 用15两买羊，羊的数量为只， 则， 故选A． 4．D 解：根据分式方程可知： 食盐水含盐的百分比提高到原来的倍后，含盐克不变， 而盐水总量变为克， ∴应蒸发掉了克水分， 即：表示的意义是蒸发掉的水量． 故选：D． 5．B 解：设大汽车的速度为，则小汽车的速度为， 则大汽车行驶全程的时间为小时，小汽车行驶全程的时间为小时； 又∵大汽车先出发1小时，且比小汽车晚到分钟（即小时）， ∴可列等式：， 整理得：，与选项B的式子一致． 6．C 解：设原计划每间教室的建设费用是x万元，则实际每间建设费用为万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解， （万元） 答：原计划每间教室的建设费用是万元， 故选：C． 7．D 解：设这款电动汽车平均每公里的充电费为元， ∴燃油车平均每公里的加油费为元， ∵100元充电费对应的电动汽车行驶路程为公里，100元加油费对应的燃油车行驶路程为公里，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的9倍， ∴可列方程． 故选：D． 8．C 解：对于方程①： ∵ 等式左边为模型A处理400GB数据的时间，右边为模型B处理300GB数据的时间，且A的时间是B的2倍 ∴ 表示模型A每小时处理的GB数据量，故A、B选项错误 对于方程②： ∵ 为模型B的每小时处理量，为模型A的每小时处理量，且B比A每小时多处理10GB ∴ 表示模型B处理300GB数据的时间，故C选项正确，D选项错误 故选：C 9．D 解：∵ 返还金额5110元和5250元分别发生在1年后和2年后，其现值需用折现， ∴ 1年后返还的现值为，2年后返还的现值为，现值之和应等于本金10000元， ∴ ， 故选：D． 10．D 解：设每头牛价格为两，每只羊价格为两， ∵，且牛数量为，羊数量为，数量相等， ∴． 嘉嘉方程：，对比得x为牛价格，d为羊价格，即d=-1，故A、C正确． 淇淇方程：，为数量，则为牛价格，牛价格减1为羊价格，即，又羊价格为， ∴，而非，故B正确，D错误． 故选：D． 二、填空题 11． 解：根据题意得：， 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的根． 故答案为：． 12． 解：设原计划每天生产产品，则现在计划每天生产产品， 根据题意，得， 故答案为：． 13． 解：设十位上的数字为x，则个位数字为， 根据题意得，． 故答案为：． 14． 解：设乙的平均速度为每小时千米， 乙跑完全程所需时间为小时， 甲跑完全程所需时间为小时； 由甲比乙早到1小时，得， 故答案为：． 15． 解：设原计划每小时修路x米，则实际每小时修路米． 原计划修路时间为小时，实际修路时间为小时． 由题意得：， 解得． 经检验是原分式方程的解且符合题意． 故原计划每小时修路50米． 故答案为：50． 16． 解：设原计划速度为 ，则原计划时间为 ， 所以前行驶距离为 ，剩余距离为，以速度行驶，时间为， 则实际总时间为 ， 又因为提前到达，即 ，所以， 化简得， 两边同乘得， ， ， 经检验，是原方程的解， ∴原计划速度 ， ∴实际总时间：， 又返回速度 ，则返回时间， 所以时间差， 故答案为：． 17．45 解：设车的速度为，则车的速度为，根据题意得： A车比B车多行驶的时间为 解这个方程得： 经检验：为原方程的解． 答：车的速度为． 故答案为： 18．22 解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为． 由题意得：． 方程两边同时乘以，得： ． 化简得：． 移项得：． 即． 解得：． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 即一片国槐树叶一年的平均滞尘量为． 故答案为：22． 三、解答题 19． 解：（1）解：设小李每分钟骑行x米，则小张每分钟骑行米． 根据题意，得， 解得． 答：小李每分钟骑行250米． （2）解：设小李每分钟骑行a米，则小张每分钟骑行米． 由题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解且符合题意． 答：小李每分钟骑行275米． 20． 解：（1）解：设该自行车爱好者上坡路段骑行的平均速度为，则下坡路段骑行的平均速度为． 根据题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：该自行车爱好者上坡路段骑行的平均速度为． （2）解：设该路段的工程原计划每天完成． 根据题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：该路段的工程原计划每天完成． 21． 解：（1）解：由题知，平均每人每天的工作效率是：． 故答案为：； （2）解：由题知， ， 解得， 经检验是原方程的解且符合题意， 答：原计划安排了名工人生产该部件． 22． 解：（1）解：根据题意得：解法一所列方程中的x表示的是现在平均每天生产机器的台数； 解法二所列方程中的y表示的是生产600台机器或生产400台机器所需的时间； 故答案为：现在平均每天生产机器的台数；生产600台机器或生产400台机器所需的时间 （2）解：解法一：， ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 答：现在平均每天生产150台机器； 解法二：， ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 此时， 答：现在平均每天生产150台机器； 23． 解：（1）解：设“神舟”模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个（元），根据题意得： ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合实际意义， （元）， 答：“神舟”模型成本为每个20元，“天宫”模型成本为每个16元； （2）解：①设购买“神舟”模型a个，则购买“天宫”模型个， 则； ②∵， ∴w随着a的增大而增大， ∵购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半， ∴， 解得， 又a是非负整数， ∴当时，w最大，最大值为， 答：购进“神舟”模型33个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是元． 24． 解：（1）解：设购进每个种风筝需元，购进每个种风筝需元， 由题意得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ． 答：购进每个种风筝需元，购进每个种风筝需元． （2）解：设购进种风筝个，则购进种风筝个， 由题意得：， 解得， 是正整数， 或或， 有三种购买方案如下： 购进种风筝个，购进种风筝个； 购进种风筝个，购进种风筝个； 购进种风筝个，购进种风筝个． （3）解：第一种方案商家可获利：元； 第二种方案商家可获利：元； 第三种方案商家可获利：元； 令，解得， 当时，（2）中的方案商家获利都相同． 学科网（北京）股份有限公司 $