2.1.1 弹簧振子模型 讲义-2025-2026学年高二上学期物理人教版选择性必修第一册

弹簧振子模型 1. 弹簧振子：我们把小球和弹簧组成的系统称为弹簧振子，有时也简称为振子。弹簧振子是一种理想模型‘’ 2. 平衡位置：振子原来静止时的位置。位于平衡位置时，小球所受合力为0。经过平衡位置时，小球速度最快。 【注意】：弹簧振子的平衡位置不一定在弹簧的原长位置，比如弹簧振子竖直放置的时候，用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，钢球便上下振动，其振动的平衡位置不在弹簧的原长位置，而是在弹力与重力的合力为零的位置。 弹簧振子运动情景分析： 振子的运动 位移 加速度 速度 动能 势能 O→B 增大，方向向右 增大，方向向左 减小，方向向右 减小 增大 B 最大 最大 0 0 最大 B→O 减小，方向向右 减小，方向向左 增大，方向向左 增大 减小 O 0 0 最大 最大 0 O→C 增大，方向向左 增大，方向向右 减小，方向向左 减小 增大 C 最大 最大 0 0 最大 C→O 减小，方向向左 减小，方向向右 增大，方向向右 增大 减小 上图的运动情景导致各物理量的变化情况如下表所示。 由表格可得： ①在简谐运动中，位移、回复力、加速度和势能四个物理量同时增大或减小，与速度和动能的变化步调相反； ②最大位移处是速度方向变化的转折点； ③关于平衡位置O对称的两点,速度的大小、动能、势能、相对平衡位置的位移大小相等,由对称点向平衡位置O运动时用时相等。 【注意】实际物体看作弹簧振子的四个条件： （1）弹簧的质量比小球的质量小得多，可以认为质量集中于振子（小球）。 （2）构成弹簧振子的小球体积足够小，可以认为小球是一个质点。 （3）忽略弹簧以及小球与水平杆之间的摩擦力。 （4）小球从平衡位置被拉开的位移在弹性限度内。 一、单选题 1．如图所示，弹簧振子的平衡位置为O点，在相距0.2m的B、C两点间做简谐运动。小球经过C点时开始计时，0.5s时首次到达B点，则1.25s内小球的路程为（　　） A．0.25m B．0.5m C．1.0m D．1.25m 2．如图所示，弹簧竖直固定在地面上，一小球从它的正上方A点自由下落，到达B点开始与弹簧接触，到达C点速度减为零，之后又回到A点，如此反复，B为AC的中点，下列说法正确的是（　　） A．小球做简谐运动，平衡位置为B点 B．小球从A下落到C的过程中，加速度先竖直向下且保持不变，后竖直向上且一直增大 C．弹簧增加的弹性势能等于小球减少的动能 D．小球在下落过程中，重力的功率先增大后减小 3．如图所示，弹簧振子在、两点间做简谐运动，为平衡位置，、间距为，小球完成次全振动所用时间为，则下列说法中正确的是（　　） A．该振子振动周期为，振幅为 B．该振子由点运动到点的过程中速度增大 C．该振子由点运动到点的过程中加速度增大 D．该振子在任意内通过的路程均为 4．如图所示，光滑水平面上一左端固定的弹簧振子在相距为0.2m的A、B两点之间做简谐运动，O点为平衡位置。小球从B点向左运动开始计时，经过0.5s第一次到达O点，下列说法正确的是（　　） A．小球振幅为0.2m B．小球从B到O运动过程中加速度越来越大 C．小球从B到O运动过程中速度越来越大 D．弹簧振子的振动方程为 5．如图所示，竖直轻弹簧两端连接两个小物块A、B，置于水平地面上且处于静止状态，现将小物块C从A的正上方某位置静止释放，物块C与A碰后粘连在一起共同运动。已知在以后的运动过程中，当A向上运动到最高点时，B受地面支持力恰好变为开始的。重力加速度为g，弹簧劲度系数为k，A的质量为m，B的质量为3m，C的质量为2m。已知质量为m，弹簧劲度系数为k的弹簧振子，做简谐运动的固有周期为。下列说法不正确的是（　　） A．物块A与物块C粘连共同向下运动过程，速度先变大后变小 B．物块A与物块C粘连的瞬间加速度为g C．地面受到的最大压力为10mg D．物块A与物块C粘连到运动到最低点的最短时间为 6．如图甲所示，将一个小球套在光滑细杆上，小球与轻弹簧相连组成弹簧振子，弹簧与细杆间无接触，小球沿水平方向在a、b间做简谐运动，O为平衡位置。取a向b方向为正，振动图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．时，小球位移为5cm B．时，小球由b向O运动 C．小球在a、b位置时，动能为零，加速度也为零 D．小球从a经O到b的过程中，回复力先做负功、后做正功 7．如图甲所示，一振动装置由手机和轻弹簧组成。利用手机记录数据，以竖直向上为正方向，得到手机振动过程中速度v随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。弹簧始终在弹性限度内，下列说法正确的是（　　） A．0~0.2s过程中弹簧弹力逐渐减小 B．时手机处于平衡位置 C．时手机偏离平衡位置的位移方向为负方向 D．v随t变化的关系式为 8．如图，一带孔小球连接在轻弹簧的一端，弹簧的另一端固定，小球套在光滑的杆上，能够自由滑动。现把小球从平衡位置拉向右方A处，静止释放并开始计时，小球在平衡位置附近做简谐运动，其振动周期为，弹簧始终在弹性限度内。关于小球运动过程中的回复力、速度，下列判断正确的是（　　） A．时刻， B．~内F先增大后减小，v先增大后减小 C．内F先增大后减小，v先减小后增大 D．时刻，F与v方向相同 9．一简谐振子沿x轴振动，平衡位置在坐标原点，振动周期大于。振子沿x轴正方向经过平衡位置时开始计时，时刻时刻时刻。该振子的振幅和周期分别为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 10．如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的之间做简谐运动，下列说法正确的是（　　） A．小球运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用 B．小球运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用 C．小球由向运动过程中，动能逐渐减小 D．小球由向运动过程中，回复力的方向一直为由指向 11．如图所示，一弹簧振子在光滑水平面上的A、B两点间做简谐运动，O为平衡位置。已知，，下列说法正确的是（　　） A． B．振子在点的动能等于在点的动能 C．振子在点的加速度大于在点的加速度 D．振子在点的弹性势能小于在点的弹性势能 12．如图所示，质量为m的弹簧振子在竖直方向上做简谐运动，振动到最高点时弹簧恰好为原长，已知轻质弹簧劲度系数为k，重力加速度为g。下列判断正确的是（　　） A．弹簧振子的振幅为 B．弹簧振子在最低点时受到的弹力大小为2mg C．弹簧的最大弹性势能为 D．弹簧振子的最大动能为 13．如图所示，在水平放置的平行光滑横杆上有两个相同的弹簧振子。把P和Q两个小球拉到相同的位置，先释放P球，当它第一次到达平衡位置O时再释放Q球，在接下来的运动过程中，下列判断正确的是（　　） A．在某一时刻P和Q将具有相同的动量与相同的位移 B．在某一时刻P和Q将具有不同的动量与相同的位移 C．在某一时刻P和Q将具有相同的加速度和相同的动能 D．在某一时刻P和Q将具有不同的加速度和相同的动能 14．小球做简谐运动，平衡位置在点。若从小球经过点开始计时，时其第一次经过点，时它第二次经过点。该小球做简谐运动的周期可能是（　　） A．5s B． C．16s D．20s 15．如图所示，一轻质弹簧上端固定在天花板上，下端连接一可视为质点、质量为m的小球，O点为弹簧原长时小球所在的位置。将小球从O点由静止释放，小球向下运动的最低点为M（图中未画出）。已知弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，不计空气阻力，弹簧始终处于弹性限度内。关于小球运动过程的说法，正确的是（　　） A．从O点运动到最低点M过程中，小球的机械能先增大后减小 B．小球运动的最大加速度为g C．弹簧的最大弹性势能为 D．O、M两点间的距离为 16．如图所示，倾角的足够长光滑斜面固定在水平地面上，斜面下端垂直斜面固定着一挡板，物块A与物块B用轻弹簧连接并静止在斜面上，物块A与挡板接触。现将物块C从距离物块B为的斜面上由静止释放，物块C与物块B发生弹性碰撞，碰后将物块C取走，物块B在斜面上做简谐运动。已知，，，重力加速度g取，，弹簧的劲度系数为，弹簧的弹性势能为（k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量）且弹簧始终在弹性限度内，物块A、B、C均可视为质点。下列说法正确的是（　　） A．C与B碰后瞬间B的速度大小为 B．C与B碰后瞬间C的速度大小为 C．B做简谐运动的振幅为0.2m D．B做简谐运动的振幅为 2 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B C B B A C A AC 题号 11 12 13 14 15 16 答案 AC BC BCD BC BC AD 1．B 【详解】振子振动的振幅A=0.1m，周期为T=1s，则可知，1.25s内小球的路程为 故选B。 2．D 【详解】A．小球从A运动到B的过程中只受重力作用，加速度不变，小球做匀变速直线运动，故小球的运动不属于简谐运动，A错误； B．小球从A运动到B的过程中加速度不变，从B运动到C的过程中，加速度先减小后增大，故B错误； C．小球和弹簧组成的系统机械能守恒，弹簧增加的弹性势能等于小球减少的机械能，故C错误； D．小球在下落过程中，速度先增大后减小，重力的功率先增大后减小，故D正确。 故选D。 3．B 【详解】A．小球完成10次全振动所用时间为20s，可知周期，、间距为20cm，可知振幅，A错误； B．该振子由点运动到点的过程中，弹性势能减小，动能增大，速度增大，B正确； C．该振子由点运动到点的过程中位移减小，回复力减小，加速度减小，C错误； D．0.5s为四分之一周期，振子只有从平衡位置运动至最大位移处，或者从最大位移处运动至平衡位置，振子通过的路程才等于振幅，D错误。 故选B。 4．C 【详解】A．由题意可知 解得小球振动的振幅为，故A错误； B．O点为平衡位置，从B到O运动过程中，回复力逐渐减小，加速度逐渐减小，故B错误； C．O点为平衡位置，从B到O运动过程中，回复力做正功，弹簧的弹性势能转化为小球的动能，小球速度越来越大，故C正确； D．从B到O运动，第一次到达O点时间为0.5s，故周期 角速度 设向右为正方向，小球从B点向左运动开始，初始相位 弹簧振子的振动方程为，故D错误。 故选C。 5．B 【详解】A．物块A与物块C粘连在一起，先向下做加速运动，当弹簧的弹力等于物块A、C的总重力时，物块的速度最大，此后，弹力大于A、C的总重力，AC向下做减速运动，弹簧压缩最短时，AC的速度减为零，因此物块A与物块C粘连共同向下运动过程，速度先变大后变小，故A正确，不符合题意； B．初始时，由平衡条件可知弹簧处于压缩状态，弹力与A的重力等大反向，即 物块A与C物块碰后粘连共同向下运动过程中，刚碰瞬间弹簧弹力不能突变，对整体受力分析，由牛顿第二定律可得 解得，故B错误，符合题意； C．初始时，弹簧处于压缩状态，对A由平衡条件可知 对B由平衡条件可知 当A向上运动到最高点时，B受地面支持力恰好变为开始的，可得 对B由平衡条件可得 在最高点，对AC整体分析根据牛顿第二定律可得 解得 根据简谐运动的对称性可知，在最高点和最低点的加速度大小相等，在最低点有 解得 对B受力分析，根据平衡条件可得 根据牛顿第三定律可知，地面受最大压力为，故C正确，不符合题意； D．由题可知，振子的平衡位置满足 解得 物块A与物块C刚粘连时距平衡位置的距离 设物块A与物块C刚粘连到平衡位置的时间为，结合上述分析可知，振子的振幅 则有 解得 从平衡位置运动到最低点的时间为 振子的周期 则物块A与物块C粘连到运动到最低点的最短时间为，故D正确，不符合题意。 本题选择错误选项，故选B。 6．B 【详解】A．由图乙可知，小球振动的周期，振幅 小球从平衡位置开始向正方向运动，其振动方程为 当时，小球位移为，故A错误； B．由图乙可知，在时，小球位于正向最大位移处，即点。 在时，小球回到平衡位置。 因此，在时，小球由向运动，故B正确； C．小球在a、b位置时，处于最大位移处，速度为零，因此动能为零。 根据回复力和牛顿第二定律，可知加速度 小球在a、b位置时，位移的绝对值最大，所以加速度的大小最大，不为零，故C错误； D．小球从到的过程，运动方向为正方向，回复力指向也为正方向，与运动方向相同，回复力做正功。 小球从到的过程，运动方向为正方向，回复力指向为负方向，与运动方向相反，回复力做负功。 因此，回复力先做正功，后做负功，故D错误。 故选B。 7．A 【详解】A．由图可知，手机在0~0.4s 一直向上运动，从最低点一直到最高点，时经过平衡位置，周期。0~0.2s过程中，手机由最低点向平衡位置运动，手机的位移减小，弹簧的形变量减小，弹簧弹力减小，A正确； B．t=0.4s时，手机的速度为0，手机处于最高点，位移最大处，B错误； C．t=0.3s时，手机处于平衡位置和最高点之间，位移为正方向，C错误； D．由图可知，速度的最大值为，圆频率，时，手机的速度为0，准备向上运动（正方向），综上分析，速度时间关系为，D错误。 故选A。 8．C 【详解】A．时刻小球回到平衡位置，回复力为零，速度达到最大，故A错误； B．由于时刻小球回到平衡位置，所以~内F先减小后增大，v先增大后减小，故B错误； C．根据弹簧振子的振动特点可知，内小球向左侧最大位移处运动，F不断增大，速度不断减小，小球从左侧最大位移处向平衡位置运动，F不断减小，速度不断增大，所以内F先增大后减小，v先减小后增大，故C正确； D．时刻，小球从平衡位置向右侧最大位移处运动，速度向右，回复力向左（指向平衡位置），则F与v方向相反，故D错误。 故选C。 9．A 【详解】若振子的振幅为0.1m，根据简谐运动的周期性和对称性，如图甲所示 有 则周期的最大值为 s 不符合题意； 若振子的振幅为0.2m，由简谐运动的周期性和对称性可知，振子由x=-0.1m运动到x=0.1m时，如图乙所示 有 则周期的最大值为 s 不符合题意； 若振子的振幅为0.2m，振子由x=-0.1m运动到x=0.1m，需时间再经到x=0.1m，如图丙所示 则根据简谐运动的周期性有 所以最大周期为 s 故选A。 10．AC 【详解】AB．小球运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用，其中弹簧弹力充当回复力，故A正确，B错误； C．小球由向运动过程中，弹簧弹力做负功，弹簧弹性势能增加，小球动能减小，故C正确； D．回复力方向总是指向平衡位置，所以小球由向运动过程中，回复力的方向一直为由指向，故D错误。 故选AC。 11．AC 【详解】A．设弹簧振子做简谐运动的周期为，可知振子从到所用时间为，由题意可知 设振子振幅为A，以向右通过平衡位置O点为时刻，则其简谐运动的表达式为 代入 当振子通过D点时，所对应时刻满足 解得 因此振子从D运动到B所用时间为 振子从C运动到D所用时间为，故A正确； B．根据简谐运动的对称性可知，振子偏离平衡位置相同距离，对应速度大小相等；振子离平衡位置越远，速度越小。由图可知与点相比，点离平衡位置更远，因此振子在点时的速度较小，动能较小，故B错误； C．与点相比，点离平衡位置更远，受到的弹簧的回复力更大，因此振子在点的加速度大小大于在点的加速度大小，故C正确； D．弹性势能与弹簧的形变有关，因点离平衡位置更远，可知振子在点的弹性势能大于在点的弹性势能，故D错误。 故选AC。 12．BC 【详解】A．平衡位置满足 弹簧伸长量为 由于最高位置恰好为弹簧原长，所以弹簧振子的振幅为，故A错误； B．由于振幅为 最高点到最低点的高度差为 最低点弹簧弹力为，故B正确； C．最高点弹簧为原长，所以弹性势能为0，根据机械能守恒，最高点和最低点，动能均为0，重力势能全部转化为弹性势能，为，故C正确； D．平衡位置时，动能最大。从最高点到平衡位置，重力势能减少 减少的重力势能转化为动能和弹性势能，所以最大动能小于，故D错误。 故选BC。 13．BCD 【详解】AB．据题意，两球振动的相位差为，振动图像如图所示 在一个周期内，有两个位移相同的时刻（振动图像交点）；同时刻两球位移相同时，图像斜率不同，速度方向不同，动量不同，故A错误，B正确； C．由振动图像可知在一个周期内，有两个位移相同的时刻（振动图像交点），弹簧压缩或者伸长量相同，两球位移相同，两球加速度相同；由机械能守恒可知，弹簧伸长量或者压缩量相同的地方，两球动能相同，故C正确； D．如图中的时刻，两球加速度等大反向时，速度大小相同，动能相同，故D正确。 故选BCD。 14．BC 【详解】 由对称性，设、、时间为，、、、时间为 若振子开始运动的方向先向左，再向M点运动，运动路线如图1所示。则， 解得， 得到振动的周期为 若振子开始运动的方向向右直接向M点运动，如图2，则，， 振动的周期为 故选BC。 15．BC 【详解】A．小球从O点运动到最低点M过程中受到的弹簧弹力一直做负功，弹性势能一直增大，小球的机械能一直减小，故A错误； B．小球做简谐运动，最高点即出发点只受重力作用，故最大加速度为g，故B正确； CD．根据简谐运动的对称性，小球在最低点M时加速度大小也为g，方向向上，则有 解得 从最高点到最低点重力势能的减少等于弹性势能增加，则有，故C正确，D错误。 故选BC。 16．AD 【详解】AB．物块C从斜面上由静止释放，根据机械能守恒定律有 解得B、C碰撞前C的速度为 设碰撞后瞬间C、B的速度大小分别为、，根据动量守恒有 C、B碰撞过程机械能守恒，有 解得，，故A正确，B错误； CD．将物块C取走，物块B在斜面上做简谐运动。在平衡位置时，弹簧的压缩量为 在平衡位置物块B的速率最大，从平衡位置沿斜面向下运动到最低位置，系统机械能守恒，以最低位置为零势能面，设振幅为a，有 解得，故C错误，D正确。 故选AD。 $