第6章 空间向量与立体几何(单元复习课件)高二数学苏教版选择性必修第二册

单元复习课件 第六章 空间向量与立体几何 苏教版2019选择性必修第二册·高二 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1. 掌握空间向量的运算、线性运算、数量积及其坐标运算， 能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 3. 利用空间向量证明空间中的平行与垂直关系，有关空间的线线角、线面角、二面角与空间的距离的计算问题. 2. 理解直线的方向向量与平面的法向量，能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题. 单元学习目标 空间向量的概念及其运算 共面向量定理 向量的线性运算 向量的数量积 空间向量基本定理与空间向量运算的坐标表示 空间向量基本定理 空间直角坐标系 空间向量运算的坐标表示 空间向量的应用 空间线、面的位置关系 空间的角和距离的计算 单元知识图谱 1. 空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是 存在唯一的实数 λ，使得________． (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共 面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使___________． (3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一 向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得______________．其中{a， b，c }叫做空间的一个基底． a＝λb p＝xa＋yb p＝xa＋yb＋zc 考点串讲 2. 两个向量的数量积 (1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作 ＝a， ＝b，则_______叫做向量a与b的夹角，记作_________． 通常规定___≤< a，b >≤___．若< a，b >＝___，则称向量a，b互相 垂直，记作a⊥b. ∠AOB < a，b > 0 π (2)两向量的数量积：两个非零向量a，b的数量积 a·b＝______________． |a||b|cos< a，b > 考点串讲 (3)向量的数量积的性质: ①a·e＝|a|cos< a，e >(其中e为单位向量)； ②a⊥b⇔________； ③|a|2＝a·a＝a2； ④|a·b|______|a||b|. (4)向量的数量积满足如下运算律： ①(λa)·b＝λ(a·b)； ②a·b＝b·a(交换律)；③a·(b＋c)＝_________(分配律)． 2. 两个向量的数量积 a·b＝0 ≤ a·b＋a·c 考点串讲 3．空间向量的坐标运算 (1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)， a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)， λa＝(λa1，λa2，λa3)， a ·b ＝________________， a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0， a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)， cos< a，b >＝ . (2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， 则 ＝________________________． a1b1＋a2b2＋a3b3 (x2－x1，y2－y1，z2－z1) 考点串讲 4．直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：l是空间一直线，A、B是直线l上任意两点，则称 为直 线l的方向向量，与 平行的任意___________也是直线l的方向向量，显然 一条直线的方向向量可以有无数个． (2)平面的法向量 ①定义：与平面______的向量，称做平面的法向量．一个平面的法向量有无 数多个，任意两个都是共线向量． ②确定：设a，b是平面α内两个不共线向量，n为平面α的法向量，则求平面α 的法向量的方程组为 非零向量 垂直 考点串讲 5．空间位置关系的向量表示 n1＝λn2 n1·n2＝0 (1)直线与直线的位置关系： 设直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 位置关系 向量表示 l1∥l2 n1∥n2⇔________ l1⊥l2 n1⊥n2⇔________ 考点串讲 5．空间位置关系的向量表示 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m 位置关系 向量表示 l∥α n⊥m⇔________ l⊥α n∥m⇔n＝λm 平面α，β的法向量分别为n，m 位置关系 向量表示 α∥β n∥m⇔n＝λm α⊥β n⊥m⇔n·m＝0 (2)直线与平面、平面与平面的位置关系： n·m＝0 考点串讲 题型一、空间向量的线性运算 √ 题型剖析 针对训练 针对训练 题型二、共线、共面向量定理的应用 题型剖析 题型二、共线、共面向量定理的应用 题型剖析 【结论点拨】 针对训练 针对训练 题型三、空间向量数量积的运算 题型剖析 题型三、空间向量数量积的运算 题型剖析 题型三、空间向量数量积的运算 题型剖析 【方法总结】 (1)空间向量数量积的计算方法 ①定义法：设向量a，b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|·cos θ. ②坐标法，设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2. (2)空间向量数量积的应用 ①求夹角．设向量a，b所成的角为θ，则cos θ 进而可求两异面直线所成的角． ②求长度(距离)．运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题．　 √ 针对训练 针对训练 针对训练 题型四、利用向量证明平行与垂直 题型剖析 题型四、利用向量证明平行与垂直 题型剖析 题型四、利用向量证明平行与垂直 题型剖析 【方法总结】 利用空间向量解决平行、垂直问题的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用已知图形中的垂直关系； (2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素； (3)通过空间向量的坐标运算研究平行、垂直关系； (4)根据运算结果解释相关问题． 针对训练 针对训练 针对训练 针对训练 题型五、异面直线所成的角 √ 题型剖析 求异面直线所成的角的两个关注点 (1)用向量方法求两条异面直线所成的角，是通过两条直线的方向向量的夹角来求解的． (2)由于两异面直线所成角的范围是θ∈[0， ]，两方向向量的夹角α的范围是[0，π]，所以要注意二者的区别与联系，应有cos θ＝|cos α|.　 【方法总结】 √ 针对训练 针对训练 题型六、直线与平面所成的角 题型剖析 题型六、直线与平面所成的角 题型剖析 题型六、直线与平面所成的角 题型剖析 求直线与平面所成角的方法 (1)定义法： ①作，在斜线上选取恰当的点向平面引垂线，在这一步上确定垂足的位置是关键； ②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据是直线与平面所成角的概念； ③求，构造角所在的三角形，利用解三角形的知识求角． 【方法总结】 求直线与平面所成角的方法 (2)公式法：sin θ＝ (其中h为斜线上除斜足外的任一点到所给平面的距离，l为该点到斜足的距离，θ为斜线与平面所成的角)． (3)向量法：sin θ＝|cos< >|＝ (其中AB为平面α的斜线，n为平面α的法向量，θ为斜线AB与平面α所成的角)．　 【方法总结】 针对训练 针对训练 针对训练 针对训练 题型七、二面角 题型剖析 题型七、二面角 题型剖析 题型七、二面角 题型剖析 利用向量法计算二面角大小的常用方法 (1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．　  (2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小． 【方法总结】 针对训练 针对训练 针对训练 针对训练 针对训练 针对训练 针对训练 1．证明空间任意三点共线的方法 对空间三点P、A、B可通过证明下列结论成立来证明三点共线： (1) (λ∈R)； (2)对空间任一点O， (λ∈R)； (3)对空间任一点O， (x＋y＝1)． 课堂总结 2．证明空间任意四点共面的方法 对空间四点P、M、A、B可通过证明下列结论成立来证明四点共面 (1) ； (2)对空间任一点O， ； (3)对空间任一点O， (x＋y＋z＝1)； (4) (或 或 )． 课堂总结 【常见误区】 1．向量的数量积满足交换律、分配律，但不满足结合律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立． 2．在利用 ①证明MN∥平面ABC时，必须说明点M或点N不在平面ABC内(因为①式只表示 与 ， 共面)． 课堂总结 感谢聆听! [典例]在空间四边形ABCD中，若＝(－3，5，2)，＝(－7，－1，－4)， 点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为(　　) A．(2，3，3)　　　　　　　　 B．(－2，－3，－3) C．(5，－2，1) D．(－5，2，－1) 解析：因为点E，F分别为线段BC，AD的中点，设O为坐标原点， 所以＝－，＝(＋)，＝(＋)． 所以＝(＋)－(＋)＝(＋) ＝[(3，-5，-2)＋(-7，-1，-4)]＝(-4，-6，-6)＝(-2，-3，-3) 1．正方体ABCD ­A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心．若向量＝ ＋x＋y，则实数x，y的值分别为(　　) A．x＝1，y＝1 B．x＝1，y＝ C．x＝，y＝ D．x＝，y＝1 解析：如图，＝＋＝＋＝＋(＋)， 故x＝y＝. 故选C. (2)＝＋＝－＋＋ ＝＋＋. 2．在三棱锥O ­ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心， 用基向量，，表示：(1)；(2). 解：(1)＝＋＝＋＝＋(－) ＝＋＝－＋＋. 所以由共面向量定理知向量与向量，共面． ＝k＋＝－k＝－k(＋) ＝(1－k)－k， [典例]如图所示，已知斜三棱柱ABC­A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足＝k，＝k(0≤k≤1)． (1)向量是否与向量，共面？ (2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？ 解：(1)因为＝k，＝k， 所以＝＋＋＝k＋＋k＝k(＋)＋ ＝k(－)＋ [典例]如图所示，已知斜三棱柱ABC­A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足＝k，＝k(0≤k≤1)． (1)向量是否与向量，共面？ (2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？ (2)当k＝0时，点M，A重合，点N，B重合，MN在平面ABB1A1内， 当0<k≤1时，MN不在平面ABB1A1内，又由(1)知与，共面， 所以MN∥平面ABB1A1. 综上可知，当k＝0时，MN⊂平面ABB1A1，即MN与平面ABB1A1不平行； 当0<k≤1时，MN∥平面ABB1A1. 三点P，A，B共线 空间四点M，P，A，B共面 ＝λ ＝x＋y 对空间任一点O，＝＋t 对空间任一点O，＝＋x＋y 对空间任一点O，＝x＋(1－x) 对空间任一点O，＝x＋y＋(1－x－y) 即(m＋1，n－2，－2)＝λ(3，－1，1)＝(3λ，－λ，λ)， 所以，解得λ＝－2，m＝－7，n＝4. 所以m＋n＝－3. 答案：－3 1．若A(－1，2，3)，B(2，1，4)，C(m，n，1)三点共线，则m＋n＝________． 解析：＝(3，－1，1)，＝(m＋1，n－2，－2)． 因为A，B，C三点共线，所以存在实数λ，使得＝λ. (2)由(1)知，，共面且过同一点M. 所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内． 2．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足 ＝(＋＋)． (1)判断，，三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC内． 解：(1)由已知得＋＋＝3，所以－＝(－) ＋(－)．即＝＋＝－－，所以，，共面． [典例]如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点 E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算： (1)·； (2)·； (3)求EG的长． 解：设＝a，＝b，＝c. 则|a|＝|b|＝|c|＝1，<a，b>＝<b，c>＝<c，a>＝60°， (1)＝＝c－a，＝－a，·＝·(－a)＝a2－a·c＝. [典例]如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点 E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算： (1)·； (2)·； (3)求EG的长． (2)·＝(＋＋)·(－) ＝·(－) ＝·(－)＝·(c－a) ＝(－1×1×＋1×1×＋1＋1－1×1×－1×1×)＝. (3)因为＝－a＋b＋c， ||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝， 则||＝，即EG的长为. [典例]如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点 E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算： (1)·； (2)·； (3)求EG的长． ＝， 1．在棱长为1的正四面体ABCD中，E是BC的中点，则·＝(　　) A．0 B. C．－ D．－ 解析： ·＝(＋)·(－) ＝(·＋·－·－·) ＝＝－. 2．已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)． (1)求以，为边的平行四边形的面积； (2)若|a|＝，且a分别与，垂直，求向量a的坐标． 解：(1)由题意可得＝(－2，－1，3)，＝(1，－3，2)， 所以cos〈，〉＝＝＝＝， 所以sin〈，〉＝，所以以，为边的平行四边形的 面积为S＝2×||·||·sin〈，〉＝14×＝7. 2．已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)． (1)求以，为边的平行四边形的面积； (2)若|a|＝，且a分别与，垂直，求向量a的坐标． (2)设a＝(x，y，z)，由题意得解得或 所以向量a的坐标为(1，1，1)或(－1，－1，－1)． 所以E，F，＝，＝(1，0，-1)，＝(0，2，-1)，＝(0，0，1)，＝(0，2，0)，＝(1，0，0)，＝(1，0，0)． [典例]在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，点E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2. 求证： (1)EF∥平面PAB； (2)平面PAD⊥平面PDC. 【证明】以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在 直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz， 则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，1)， (1)因为＝－，所以∥，即EF∥AB. 又AB⊂平面PAB，EF⊂平面PAB，所以EF∥平面PAB. [典例]在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，点E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2. 求证： (1)EF∥平面PAB； (2)因为·＝(0，0，1)·(1，0，0)＝0， 所以⊥，⊥，即AP⊥DC， AD⊥DC.又AP∩AD＝A，所以DC⊥平面PAD. 所以平面PAD⊥平面PDC. [典例]在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，点E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2. 求证： (2)平面PAD⊥平面PDC. 答案：垂直 1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________． 解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别 为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设DA＝2， 则A(2，0，0)，M(0，0，1)，O(1，1，0)，N(2，1，2)， 所以＝(－2，0，1)，＝(1，0，2)， ·＝－2＋0＋2＝0，所以AM⊥ON. 2．如图，在多面体ABC ­A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝AB，B1C1∥BC且B1C1＝BC，二面角A1­AB­C是直二面角． 求证：(1)A1B1⊥平面AA1C； (2)AB1∥平面A1C1C. 证明：因为二面角A1­AB­C是直二面角， 四边形A1ABB1为正方形，所以AA1⊥平面BAC. 又因为AB＝AC，BC＝AB，所以∠CAB＝90°， 即AC⊥AB，所以AB，AC，AA1两两互相垂直． 建立如图所示的空间直角坐标系A­xyz，设AB＝2，则A(0，0，0)， B1(0，2，2)，A1(0，0，2)，C(2，0，0)，C1(1，1，2)． 2．如图，在多面体ABC ­A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝AB，B1C1∥BC且B1C1＝BC，二面角A1­AB­C是直二面角． 求证：(1)A1B1⊥平面AA1C； (1)＝(0，2，0)，＝(0，0，－2)，＝(2，0，0)， 设平面AA1C的一个法向量n＝(x，y，z)， 则即即取y＝1，则n＝(0，1，0)． 所以＝2n，即∥n. 所以A1B1⊥平面AA1C. 所以⊥m，又AB1⊄平面A1C1C，所以AB1∥平面A1C1C. 所以·m＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0， 2．如图，在多面体ABC ­A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝AB，B1C1∥BC且B1C1＝BC，二面角A1­AB­C是直二面角． 求证：(2)AB1∥平面A1C1C. (2)易知＝(0，2，2)，＝(1，1，0)，＝(2，0，-2)， 设平面A1C1C的一个法向量m＝(x1，y1，z1)， 则即令x1＝1，则y1＝-1，z1＝1， 即m＝(1，-1，1)． 解析：因为正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的体积为，AB＝1， 所以AA1＝，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在 直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 则A(1，0，0)，B1(1，1，)，C(0，1，0)，D1(0，0，)， ＝(0，1，)，＝(0，－1，)，设直线AB1与CD1所成的角为θ， 则cos θ＝＝＝，又0°＜θ≤90°，所以θ＝60° 所以直线AB1与CD1所成的角为60°. [典例]若正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的体积为，AB＝1，则直线AB1与CD1所成的角为(　　) A．30°　　　　　　B．45° C．60° D．90° 所以cos〈，〉 ＝＝＝＝. 1．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中 点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 解析：建立如图所示的空间直角坐标系．设BC＝CA＝CC1＝2， 则可得A(2，0，0)，B(0，2，0)，M(1，1，2)，N(1，0，2)， 所以＝(1，－1，2)，＝(－1，0，2)． 答案： 2．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD ­A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点， ＝λ，若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为，则λ的值为_______． 解析：以D为原点，以DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴， 建立空间直角坐标系，正方体的棱长为2，则A1(2，0，2)， D1(0，0，2)，E(0，2，1)，A(2，0，0)，所以＝(0，2，－1)， ＝＋＝＋λ＝(0，0，－2)＋λ(－2，0，0)＝(－2λ，0，－2)，所以cos〈，〉＝＝＝，解得λ＝(λ＝－舍去)． [典例]如图，四棱锥P­ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l. (1)证明：l⊥平面PDC； (2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值． (1)证明：因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AD. 又底面ABCD为正方形，所以AD⊥DC.因此AD⊥平面PDC. 因为AD∥BC，AD⊄平面PBC，所以AD∥平面PBC. 由已知得l∥AD. 因此l⊥平面PDC. 设n＝(x，y，z)是平面QCD的法向量， 则即可取n＝(－1，0，a)． [典例]如图，四棱锥P­ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l. (2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值． (2)以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示 的空间直角坐标系D－xyz，则D(0，0，0)，C(0，1，0)， B(1，1，0)，P(0，0，1)，＝(0，1，0)，＝(1，1，-1)． 由(1)可设Q(a，0，1)，则＝(a，0，1)． 所以cos〈n，〉＝＝ . 设PB与平面QCD所成角为θ，则sin θ＝×＝. 因为≤，当且仅当a＝1时等号成立． 所以PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为. [典例]如图，四棱锥P­ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l. (2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值． 可取n＝(－1，0，a)． 设直线AC1与平面ABB1A1所成的角为θ， 则cos θ＝＝＝. 又θ∈，所以θ＝. 答案： 1．正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为________． 解析：以C为原点建立空间直角坐标系如图所示， 得下列坐标：A(2，0，0)，C1(0，0，2)． 点C1在侧面ABB1A1内的射影为点C2. 所以＝(－2，0，2)，＝， 又PO∩BO＝O，所以AD⊥平面PBO， 又PB⊂平面PBO，所以AD⊥PB. 2. 如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是菱形，PA＝PD，∠DAB＝60°. (1)证明：AD⊥PB； (2)若PB＝，AB＝PA＝2，求直线PB与平面PDC所成角的正弦值． (1)证明：取AD的中点为O，连接PO，BO，BD， 如图，因为底面ABCD是菱形，且∠DAB＝60°， 所以△ABD是等边三角形，所以BO⊥AD. 又PA＝PD，即△PAD是等腰三角形，所以PO⊥AD. ＝(0，，－)，＝(1，0，)， ＝(1，－，0)． 2. 如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是菱形，PA＝PD，∠DAB＝60°. (1)证明：AD⊥PB； (2)若PB＝，AB＝PA＝2，求直线PB与平面PDC所成角的正弦值． (2)因为AB＝PA＝2，所以由(1)知△PAD，△ABD均是边长为2的正三角形，则PO＝，BO＝，又PB＝，所以PO2＋BO2＝PB2， 即PO⊥BO，又由(1)知，BO⊥AD，PO⊥AD， 所以以O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴， y轴，z轴建立空间直角坐标系，则D(－1，0，0)，P(0，0，)， C(－2，，0)，B(0，，0)， 设直线PB与平面PDC所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈，n〉| 则所以 令y＝1，解得x＝，z＝-1，即n＝(，1，-1)为平面PCD的一个法向量． ＝＝， 所以直线PB与平面PDC所成角的正弦值为. 2. 如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是菱形，PA＝PD，∠DAB＝60°. (1)证明：AD⊥PB； (2)若PB＝，AB＝PA＝2，求直线PB与平面PDC所成角的正弦值． 设n＝(x，y，z)是平面PCD的法向量， [典例]在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点． (1)求证：AB∥平面DEG； (2)求二面角C­DF­E的余弦值． (1)证明：因为AD∥EF，EF∥BC， 所以AD∥BC，又BC＝2AD，G是BC的中点， ( = )所以AD∥BG，所以四边形ADGB是平行四边形，所以AB∥DG. 因为AB⊄平面DEG，DG⊂平面DEG，所以AB∥平面DEG. (2)因为EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，BE⊂平面AEB， 所以EF⊥AE，EF⊥BE，又AE⊥EB，所以EB，EF，EA两两垂直． 以点E为坐标原点，EB，EF，EA所在的直线分别为x，y，z轴建立 如图所示的空间直角坐标系． [典例]在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点． (1)求证：AB∥平面DEG； (2)求二面角C­DF­E的余弦值． 设二面角C­DF­E的大小为θ，则cos θ＝cos〈n，〉＝＝－. 易知二面角C­DF­E为钝二面角，所以二面角C­DF­E的余弦值为－. 则因为＝(0，－1，2)，＝(2，1，0)， 所以令z＝1，得y＝2，x＝－1，所以可取n＝(－1，2，1)． 则E(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，F(0，3，0)，D(0，2，2)． 由已知得＝(2，0，0)是平面EFDA的一个法向量． 设平面DCF的法向量为n＝(x，y，z)， 1. 如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2， CC1＝3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD＝1，CE＝2，M为棱 A1B1的中点． (1)求证：C1M⊥B1D； (2)求二面角B­B1E­D的正弦值； (3)求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值． 解：依题意，以C为原点，分别以，，的方向 为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)，可得 C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，3)，A1(2，0，3)， B1(0，2，3)，D(2，0，1)，E(0，0，2)，M(1，1，3)． 1. 如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2， CC1＝3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD＝1，CE＝2，M为棱 A1B1的中点． (1)求证：C1M⊥B1D； (1)证明：依题意，＝(1，1，0)，＝(2，－2，－2)， 从而·＝2－2＋0＝0， 所以C1M⊥B1D. 因此有cos〈，n〉＝＝， 所以二面角B­B1E­D的正弦值为. 于是sin〈，n〉＝. 1. 如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2， CC1＝3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD＝1，CE＝2，M为棱 A1B1的中点． (2)求二面角B­B1E­D的正弦值； (2)依题意，＝(2，0，0)是平面BB1E的一个法向量， ＝(0，2，1)，＝(2，0，－1)．设n＝(x，y，z)为 平面DB1E的法向量，则即不妨设x＝1， 可得n＝(1，－1，2)． 1. 如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2， CC1＝3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD＝1，CE＝2，M为棱 A1B1的中点． (3)求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值． (3)依题意，＝(－2，2，0)．由(2)知n＝(1，－1，2)为 平面DB1E的一个法向量，于是cos〈，n〉＝＝－. 所以直线AB与平面DB1E所成角的正弦值为. 2．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD， PD＝DC，点E是PC的中点． (1)求证：PA∥平面BDE； (2)若直线BD与平面PBC所成的角为30°，求二面角C­PB­D 的大小． (1)证明：如图，连接AC交BD于O，连接OE. 由题意可知，PE＝EC，AO＝OC，所以PA∥EO， 又PA⊄平面BED，EO⊂平面BED，所以PA∥平面BED. 2．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD， PD＝DC，点E是PC的中点． (2)若直线BD与平面PBC所成的角为30°，求二面角C­PB­D的大小． (2)以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为 x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D­xyz，不妨令 PD＝CD＝1，AD＝a(a>0)，则D(0，0，0)，B(a，1，0)， C(0，1，0)，P(0，0，1)，＝(a，1，0)，＝(a，1，-1)， ＝(0，1，-1)．设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)， 由得所以可取n＝(0，1，1)． 2．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD， PD＝DC，点E是PC的中点． (2)若直线BD与平面PBC所成的角为30°，求二面角C­PB­D的大小． 由直线BD与平面PBC所成的角为30°，得 |cos<，n>|＝＝＝，解得a＝1或a＝－1(舍去)． 可得平面PBD的一个法向量m＝(－1，1，0)， 所以cos<n，m>＝＝＝. 因为二面角C­PB­D为锐二面角．所以二面角C­PB­D的大小为60°. $