培优03 平方根的概念、性质与运算（专项训练）数学新教材人教版七年级下册

培优03 平方根的概念、性质与运算 题型1 概念辨析题 题型描述：考查平方根、算术平方根的定义及性质的辨析，如“负数是否有平方根”“平方根与算术平方根的区别”“立方根与平方根的差异”等。 核心要点：紧扣定义，逐一验证条件。 1. 平方根的定义：若（a≥0），则x是a的平方根（记作±）；负数没有平方根（因任何实数的平方非负）。 2. 算术平方根的定义：正数a的正平方根（记作）；0的算术平方根是0；算术平方根是非负的。 1．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，则的算术平方根是（   ） A．8 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题利用正数的平方根的性质解题，即正数的两个平方根互为相反数，据此列出方程求出的值，再计算的算术平方根即可得到答案． 【详解】∵ 正数的两个平方根互为相反数. ∴ 解得 则9的算术平方根是3． 2．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）下列说法正确的是（    ） A．近似数5.7万精确到十分位 B．16的平方根是4 C．单项式的系数是2 D．同角的补角相等 【答案】D 【分析】本题需根据近似数的精确度、平方根的定义、单项式系数的定义、补角的性质，逐一判断各选项的正误，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、近似数5.7万，数字7在千位，故精确到千位，原说法错误，不符合题意； B、16的平方根是，原说法错误，不符合题意； C、单项式的系数是，原说法错误，不符合题意； D、同角的补角相等，原说法正确，符合题意； 故选：D． 3．（25-26八年级上·福建泉州·期末）若一个正数的两个平方根是和，则___________． 【答案】 【分析】本题考查平方根的性质，根据平方根的性质列出方程是解题关键． 利用一个正数的两个平方根互为相反数这一性质列方程求解即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根是和， ∴，即， 解得． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·河南周口·期末）一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是______． 【答案】25 【分析】本题主要考查了根据一个数的平方根求这个数，平方根的概念，一个正数的两个平方根互为相反数，则，解方程求出x的值，再根据平方根的定义可得答案． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得， ∴这个正数是， 故答案为：． 5．（25-26七年级上·浙江·期末）已知正数的平方根为和，若，则的值为_______ 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，根据平方根的定义，正数的两个平方根互为相反数，且平方根的平方等于原数．利用这一性质，将已知方程中的项用表示，进而求解． 【详解】解：∵正数的平方根为和， 故，． 将，代入， 得， 即， 解得， ∵， 故的值为． 故答案为：． 6．（25-26七年级上·山东烟台·期末）一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数为_____ ． 【答案】9 【分析】本题考查了平方根，解一元一次方程，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数得出，即可求出a的值，继而可求出这个正数． 【详解】解：根据题意得， 解得， ∴， ∴这个正数为， 故答案为：9． 题型2 直接求根题 题型描述：求给定数的平方根、算术平方根，或求与平方根相关的表达式。 核心要点：牢记“平方根看平方，立方根看立方”，逆向推导。 平方根：若a≥0，则±是a的平方根； 算术平方根：是a的正平方根。 1．（25-26七年级上·河南周口·期末）如果四个有理数之和的平方是，其中三个数是，则第四个数是（    ） A．11 B．7 C．11或7 D．或 【答案】C 【分析】通过设未知数，利用平方根的定义分情况列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设第四个数为， ∵ 四个有理数之和的平方是， ∴ 四个有理数之和为或， ① 当四个数之和为时，，解得； ② 当四个数之和为时，，解得； ∴ 第四个数是11或7． 2．（25-26七年级下·全国·周测）若，则的算术平方根是（    ） A．49 B．53 C．7 D． 【答案】D 【分析】先根据已知方程求出的值，再计算的算术平方根，最后逐一判断选项． 【详解】解：∵ = 7， ∴ 两边平方得：． ∴ ． ∴ 的算术平方根为 ． 故选：D． 【点睛】本题考查了算术平方根的定义与方程求解，解题关键是先通过方程求出的值，再根据算术平方根的定义计算结果，避免混淆“”与“的算术平方根”这两个概念． 3．（2026七年级下·广西南宁·专题练习）的平方根是_________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴的平方根是． 4．（25-26七年级下·湖北襄阳·开学考试）填空：的平方根是___________． 【答案】 【分析】先化简得到计算结果，再根据平方根的定义求解最终结果． 【详解】解： ， 3的平方根为， 故的平方根是． 5．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）的平方根是________． 【答案】 【详解】， 3的平方根是． 6．（25-26八年级上·四川雅安·期中）的绝对值是_____，的算术平方根是____，的平方根是___ 【答案】 / /0.5 【分析】根据绝对值的性质、算术平方根的定义、平方根的定义分别计算即可． 【详解】解：的绝对值是； ，算术平方根是； ，4的平方根是， 故答案为：，，． 题型3 解方程题 题型描述：利用平方根的定义解一元二次方程。 1．（25-26九年级上·吉林·期末）一元二次方程的解为（   ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用平方根解方程，理解平方根的定义是解题的关键． 先移项，然后利用平方根的定义求解即可． 【详解】解：， ， ∴，即，． 故选C． 2．（25-26八年级上·上海嘉定·月考）方程的解是_____． 【答案】， 【分析】本题主要考查了运用平方根解方程，灵活运用平方根解方程是解题的关键． 直接运用平方根解方程即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 当时，解得：， 当时，解得：． 综上，，． 故答案为：， 3．（25-26八年级上·河北衡水·期末）已知一个正数的两个平方根分别是与． (1)求的值； (2)求关于的方程的解． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查平方根的概念，解一元一次方程，解一元二次方程，熟练掌握相关知识是关键． （1）正数的两个平方根互为相反数，构造方程并求解即可； （2）使用直接开方法解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， 解得； （2）解：将代入方程，得， ， 两边开方，得， 解得，． 4．（25-26八年级上·上海普陀·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查运用平方根解方程，掌握平方根的计算方法是关键，根据题意，去分母，去括号，移项，整理为，再运用平方根的计算即可求解． 【详解】解：， 去分母得，， 去括号得，， 整理得，， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即， 解得，． 5．（22-23七年级下·内蒙古阿拉善·期中）解方程 【答案】， 【分析】此题主要考查了利用平方根解方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边，化成的形式，然后利用平方根求解即可． 【详解】解： ， ， ， ∴，． 6．（25-26八年级上·山西临汾·期末）一茶几的桌面为正方形，它的面积是，则该茶几桌面的边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的应用，设该茶几桌面的边长是，根据正方形的面积公式可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设该茶几桌面的边长是 由题意得， 解得或（舍去）， ∴该茶几桌面的边长是， 故选：B． 题型4 实际应用题 题型描述：结合几何（如正方形面积、正方体体积）或实际问题（如圆形花坛半径），利用平方根或立方根的定义求解。 核心要点：将含平方的部分视为整体，利用平方根的定义转化为一元一次方程。 1．（25-26八年级上·福建宁德·期末）已知一块正方形木板的面积为，则它的边长（单位：）介于（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的估算、算术平方根的应用等知识点，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 先根据正方形面积公式求出边长为面积的算术平方根，再通过估算无理数的大小，即可确定边长所在的范围． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， 又∵，且， ∴<<，即． ∴正方形木板的边长介于4到5之间． 故选C． 2．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，小正方形的边长为1，剪开，并拼成一个正方形，这个正方形的边长是_____． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，由图可知每个小正方形的边长为1，面积为1，得出拼成的正方形的面积为6，进一步开方得出拼成的正方形的边长为． 【详解】解：∵小正方形的边长为1， ∴六个小正方形的面积和为， ∴拼成一个正方形，这个正方形的边长是， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）图1为五个边长为1的小正方形拼成的图形，若将其剪、拼成一个大正方形（如图2），则图2中的大正方形的边长为______． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的应用，关键是明确剪拼前后图形的面积相等．首先计算五个小正方形的总面积，再根据大正方形的面积等于该总面积，利用正方形面积公式求出边长． 【详解】解：根据题意，图1中五个小正方形的总面积为， ∴大正方形的面积为5， 设大正方形的边长为，根据正方形面积公式得， 解得(负值舍去)． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·河南郑州·月考）将如图所示的矩形纸片（每个小正方形的边长为1），剪一剪、拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是___________ 【答案】 【分析】先求出矩形的面积为10，再根据拼成的正方形的面积与矩形的面积相等即可求解． 本题主要考查了算术平方根，理解题意掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意可知：矩形的面积为10， ∵拼成的正方形的面积与矩形的面积相等， ∴拼成的正方形的面积为10， ∴正方形的边长是， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）为感谢消防英雄们对我们家园的守护，某校七年级学生制作了面积为的正方形感恩明信片． (1)该明信片的边长为___________； (2)制作好明信片后同学们准备用如图所示的信封寄给消防队．已知信封的长是宽的2倍，面积为，请问能否在不折叠的情况下将明信片放入此信封？并说明理由． 【答案】(1)9 (2)能 【分析】本题考查算术平方根的应用，利用面积公式：长×宽=面积，得到类似的等式，利用平方根的定义求解即可． （1）根据正方形面积公式：边长的平方=面积，求解即可； （2）设宽为x ，列式求解，再比较长和宽是否都大于（1）中所求明信片的边长即可． 【详解】（1）解：由题意，得明信片的边长为； （2）解：设宽为，则长为， 由题意，得， 整理，得， ∴， ， ∵， ∴能在不折叠的情况下将明信片放入此信封． 6．（25-26八年级上·江苏南京·期中）清朝康熙皇帝在《积求勾股法》一文中，对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法．用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，设其面积为S，第一步：；第二步：；第三步：分别用3、4、5乘k，得三边长”． (1)若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍．当面积等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长； (2)若直角三角形的三边长分别为a、b、c（）的k倍．若面积为S，则________． 【答案】(1)直角三角形的三边长为15，20，25； (2) 【分析】本题考查了算术平方根的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据题意，先求出的值，再得出的值，即可解答； （2）设直角三角形的三边长分别为，，，利用三角形的面积公式得出，则有． 【详解】（1）解：当面积S等于150时， 第一步：， 第二步：， 第三步：直角三角形的三边长分别为，，， 直角三角形的三边长为15，20，25； （2）解：设直角三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴， ∴直角三角形的面积， ∴， ∴， 故答案为：． 题型5 综合拓展题 题型描述：结合非负数的性质、方程组或规律探究，综合考查平方根的概念与运算。 核心要点：找到“平方关系”的等量式，用平方根/立方根的定义求解。 1．（25-26八年级上·山东济宁·期末）伞兵在高空跳离飞机往下降落，在打开降落伞前，下降的高度（米）与下降的时间（秒）的关系可以近似地表示为（不计空气阻力），一个伞兵在打开降落伞前的一段时间内下降了980米，这段时间大约有（   ）（精确到1秒） A．14秒 B．16秒 C．13秒 D．15秒 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根的实际应用，解题的关键是掌握算术平方根的定义； 将已知下降高度代入给定公式，通过求解算术平方根得到下降时间，再精确到1秒即可选出答案． 【详解】解：根据题意得，， 解得（负值已舍）， ∴， 故选：A． 2．（2026七年级下·全国·专题练习）交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中表示车速（单位：），表示刹车后车轮滑过的距离（单位：），表示摩擦因数．在某次交通事故调查中，测得，，则肇事汽车的车速是________． 【答案】96 【分析】本题考查了代数式求值和算术平方根的计算，掌握代入数值后按运算顺序计算的方法是解题的关键． 将给定的和代入经验公式，先计算 的值，再求算术平方根，最后乘以得到车速． 【详解】解：代入 和 得 ． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知自由落体运动公式．其中，是重力加速度，取，是物体降落的时间，是物体在时间t内降落的高度．如果，那么物体降落的时间t是多少秒？（结果精确到） 【答案】 【分析】题目主要考查算术平方根的实际应用，理解题意，代入数值计算即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 下落的时间为． 4．（25-26八年级上·陕西西安·期中）电流通过导线时会产生热量，电流（单位：A）、导线电阻R（单位：）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足．若导线电阻为，时间导线产生的热量为，则电流的值是多少? 【答案】 【分析】本题主要考查代数式求值，算术平方根的应用，将公式整理为，再代入已知数据求解． 【详解】解：∵， ∴． 将代入，得． ∵， ∴． 答：电流I的值为． 5．（25-26八年级上·广西贵港·期中）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者能看到的最远距离为，则，其中是地球半径，通常取．小红站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度为，他观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值． 【答案】此时的值为． 【分析】本题主要考查的是算术平方根的应用．根据，，，由此即求解． 【详解】解：根据题意得，，，， ∴， 答：此时的值为． 6．（24-25八年级上·贵州毕节·期中）如图，点A表示的实数为，点A沿数轴向右移动了2个单位长度到达点B，设点B表示的实数为m． (1)实数m的值为_________； (2)求的值； (3)若数轴上的C，D两点分别表示实数c和d，且与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）根据两点间的距离公式可得答案； （2）由（1）可知，则可得出，，再利用绝对值的性质化简绝对值号，继而求得答案； （3）根据非负数的性质求出，，或，．的值，再代入，进而求其平方根． 【详解】（1）解： （2）解：因为，则，， 所以 （3）解：因为与互为相反数， 所以， 所以，， 解得，，或，． ①当，时，， 所以无平方根． ③当，时，， 所以的平方根为． 综上，的平方根为． 【点睛】本题考查了实数与数轴、绝对值的性质、相反数的性质、非负数的性质、求一个数的平方根等，熟练掌握相关知识点是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 培优03平方根的概念、性质与运算 划重点·冲高分 概念辨析题 直接求根题 平方根的概念、性质与运算 解方程题 实际应用题 综合拓展题 题型1概念辨析题 解题大招 题型描述：考查平方根、算术平方根的定义及性质的辨析，如“负数是否有平方根”“平方根与算术平方 「根的区别”“立方根与平方根的差异”等。 |核心要点：紧扣定义，逐一验证条件。 1.平方根的定义：若x2=a(a≥0)，则x是a的平方根（记作±a);负数没有平方根（因任何实1 数的平方非负)。 12 算术平方根的定义：正数a的正平方根（记作√a);0的算术平方根是0；算术平方根是非负的。 。 1. (25-26八年级上·贵州毕节期末)已知一个正数的两个平方根分别是a-1和10-2a,则a的算术平方根 是() A.8 B.3 C.4 D.6 2.(25-26七年级上浙江宁波期末)下列说法正确的是（) A.近似数5.7万精确到十分位 B.16的平方根是4 。单项式2的系数是2 D.同角的补角相等 3.(25-26八年级上福建泉州·期末)若一个正数的两个平方根是2a+7和a-4,则a= 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4.(25-26八年级上河南周口·期末)一个正数的两个平方根分别是2x-1和3-x,则这个正数是 5.(25-26七年级上浙江期末)己知正数x的平方根为a和a+b,若a2x+(a+b)x=8,则x的值为 6. (25-26七年级上山东烟台期末)一个正数的两个平方根分别是2a-5和-a+1,则这个正数为 题型2直接求根题 解题大招 题型描述：求给定数的平方根、算术平方根，或求与平方根相关的表达式。 核心要点：牢记“平方根看平方，立方根看立方”，逆向推导。 |平方根：若a≥0，则士√a是a的平方根； 1算术平方根：√a是a的正平方根。 1.(25-26七年级上河南周口期末)如果四个有理数之和的平方是4，其中三个数是-12，-6,9，则第四个 数是() A.11 B.7 C.11或7 D.-11或-7 2.(25-26七年级下·全国周测)若√x-4=7,则x的算术平方根是() A.49 B.53 C.7 D.V53 3.(2026七年级下·广西南宁.专题练习)25的平方根是 4.(25-26七年级下.湖北襄阳·开学考试)填空：√5的平方根是 5.(25-26八年级上·上海浦东新期末)√9的平方根是 6.(25-26八年级上四川雅安期中)2-√5的绝对值是， 的算术平方根是，√16的平方根 V16 是 题型3解方程题 解题大招 题型描述：利用平方根的定义解一元二次方程。 1. (25-26九年级上·吉林期末)一元二次方程x2-4=0的解为（) A.x1=x2=2 B.x1=x2=-2 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C.x=2,x2=-2 D.x1=4,x2=-4 2.(25-26八年级上·上海嘉定·月考)方程(x-1)2=49的解是· 3.(25-26八年级上河北衡水期末)己知一个正数的两个平方根分别是a+6与2a-9. (1)求a的值： (2)求关于x的方程a(x+1)=16的解. 4。(25-26八年级上上海普陀期末)解方程：y+3y-3引-少 23y 5.(22-23七年级下·内蒙古阿拉善期中)解方程4x2-8=0. 6.(25-26八年级上·山西临汾·期末)一茶几的桌面为正方形，它的面积是64dm2,则该茶几桌面的边长是 () A.±8dm B.8dm C.-8dm D.4dm 题型4实际应用题 解题大招 题型描述：结合几何（如正方形面积、正方体体积）或实际问题（如圆形花坛半径），利用平方根或立方「 1根的定义求解。 核心要点：将含平方的部分视为整体，利用平方根的定义转化为一元一次方程。 1.(25-26八年级上·福建宁德期末)已知一块正方形木板的面积为20cm?,则它的边长（单位：cm)介 于() A.2到3之间B.3到4之间 C.4到5之间 D.5到6之间 2.(25-26八年级上·广东深圳期末)如图，小正方形的边长为1，剪开，并拼成一个正方形，这个正方形 的边长是 3.(25-26八年级上江苏徐州期末)图1为五个边长为1的小正方形拼成的图形，若将其剪、拼成一个大 正方形（如图2），则图2中的大正方形的边长为 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图1 图2 4.(25-26八年级上·河南郑州月考)将如图所示的矩形纸片（每个小正方形的边长为1），剪一剪、拼成 一个正方形，那么这个正方形的边长是 5.(24-25七年级下·湖北武汉·月考)为感谢消防英雄们对我们家园的守护，某校七年级学生制作了面积为 81cm2的正方形感恩明信片. (1)该明信片的边长为 cm: (2)制作好明信片后同学们准备用如图所示的信封寄给消防队.己知信封的长是宽的2倍，面积为 240cm,请问能否在不折叠的情况下将明信片放入此信封？并说明理由. 6.(25-26八年级上江苏南京·期中)清朝康熙皇帝在《积求勾股法》一文中，对“三边长为3、4、5的整 数倍的直角三角形，己知面积求边长”这一问题提出了解法.用现在的数学语言表述是：“若直角三角形 的三边长分别为3、4、5的整数倍，设其面积为，第一步：m=:第二步：k=m:第三步：分别 用3、4、5乘k,得三边长” (1)若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍.当面积等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出 这个直角三角形的三边长： (2)若直角三角形的三边长分别为a、b、c(a<b<c)的k倍.若面积为S,则k= 题型5综合拓展题 !解题大 题型描述：结合非负数的性质、方程组或规律探究，综合考查平方根的概念与运算。 |核心要点：找到“平方关系”的等量式，用平方根/立方根的定义求解。 。一一。一。一。一一”一一一一一一。一。一一一一一一 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.(25-26八年级上山东济宁期末)伞兵在高空跳离飞机往下降落，在打开降落伞前，下降的高度h(米) 与下降的时间t（秒)的关系可以近似地表示为h=4.92(不计空气阻力)，一个伞兵在打开降落伞前的 一段时间内下降了980米，这段时间大约有()（精确到1秒） A.14秒 B.16秒 C.13秒 D.15秒 2.(2026七年级下·全国·专题练习)交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用 的经验公式是v=16√df,其中v表示车速（单位：kmh),，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m), f表示摩擦因数.在某次交通事故调查中，测得d=20m,f=1.8,则肇事汽车的车速是 km/h 3.(25-26八年级上全国课后作业)已知自由落体运动公式h=)8.其中，8m1s)是重力加速度，取 g=9.8m/s2,t(s)是物体降落的时间，h(m)是物体在时间t内降落的高度.如果h=300m,那么物体 降落的时间t是多少秒？（结果精确到0.1s) 4.(25-26八年级上·陕西西安期中)电流通过导线时会产生热量，电流1（单位：A)、导线电阻R(单 位：2)、通电时间t(单位：s)与产生的热量Q(单位：J)满足Q=IPRt.若导线电阻为52,1s时 间导线产生的热量为80J,则电流I的值是多少？ 5.（25-26八年级上·广西贵港期中)“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远.如图，若观测点 的高度为h(km),观测者能看到的最远距离为d(km),则d≈√2hR,其中R是地球半径，通常取 6400km.小红站在海边的一块岩石上，眼晴离海平面的高度h为0.02km,他观测到远处一艘船刚露出 海平面，求此时d的值. 6.（24-25八年级上·贵州毕节·期中)如图，点A表示的实数为-√2，点A沿数轴向右移动了2个单位长 度到达点B,设点B表示的实数为m. -2-1012 (1)实数m的值为 (2)求m+2+m-2的值： 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)若数轴上的C,D两点分别表示实数c和d,且2c+d与d2-144互为相反数，求3c+d的平方根.