培优02 实数与无理数的基本概念（专项训练）数学新教材人教版七年级下册

培优02 实数与无理数的基本概念 题型1 实数分类题 题型描述：将给定的数（含化简后）按有理数、无理数、整数、分数、正实数、负实数等类别进行划分，或判断数所属的集合（如有理数集合、无理数集合）。 核心步骤： 1. 第一步：化简数：先将能化简的数化简为最简形式。 2. 第二步：按定义分类： (1) 有理数：整数（正整数、0、负整数）、分数（有限小数、无限循环小数）； (2) 无理数：无限不循环小数； (3) 整数：正整数、0、负整数； (4) 分数：有限小数、无限循环小数。 3. 第三步：验证结果：确保分类无遗漏、无重复。 1．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）将下列各数进行分类（填序号即可）： ①1，②，③0，④，⑤，⑥，⑦（每个“2”之间依次多一个“0”）． 正整数：______；分数：______；无理数：______． 2．（25-26七年级上·全国·期中）将下列各数进行分类（填序号即可）： ，，，，，，（每个“”之间依次多一个“”）． 正整数：_______；分数：_______；无理数：_______． 3．（24-25七年级下·河南许昌·期中）将下列数按要求分类，并将答案填入相应的括号内：，，，206，0，，，， 正分数集合｛           …｝ 负有理数集合｛           …｝ 无理数集合｛           …｝ 4．（25-26七年级上·浙江·期中）将下列各数进行分类（填序号即可）． ①1；②；③；④0；⑤；⑥（每两个“3”之间依次多一个“0”）；⑦；⑧． (1)正整数：________________； (2)分数：________________； (3)负有理数：________________； (4)无理数：________________． 5．（25-26七年级上·浙江衢州·期中）将下列各实数按照分类将序号填入下面对应的横线上： ①，②，③，④，⑤0，⑥ 整数：____________； 负分数：____________； 无理数：____________． 6．（24-25七年级上·浙江温州·期中）将下列各实数按照分类将序号填入下面对应的横线上： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦． 整数：　　； 分数：　　； 负数：　　； 无理数：　　． 题型2 无理数判断题 题型描述：判断一个数是否为无理数（无限不循环小数），或识别常见无理数（如开方开不尽的数、含π的数、特定结构的无限不循环小数）。 核心依据：无理数是无限不循环小数，常见类型包括： 1. 开方开不尽的数； 2. 含π的数； 3. 特定结构的无限不循环小数（如0.1010010001⋯、0.2020020002⋯）。 1．（25-26八年级上·上海·月考）下列说法中错误的个数是（   ） ①一个有理数除以无理数若有意义，则运算结果必为无理数； ②带根号的都是无理数； ③无理数可以分为正无理数和负无理数两类； ④无理数是无限小数； ⑤0.101001000100001是无理数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26八年级上·上海长宁·月考）下列说法中正确的有（    ）个． ①无理数与无理数的积一定是无理数  ②无理数与无理数的和可能是有理数． ③无理数一定带根号  ④是无理数  ⑤无理数包括正无理数、0和负无理数 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26八年级上·上海闵行·期中）下列说法中，正确的有（    ） ①无理数与无理数的差一定是无理数： ②无理数与无理数的商一定是无理数； ③有理数与无理数的差一定是无理数， ④有理数与无理数的商一定是无理数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25七年级上·山东威海·月考）关于无理数，下列说法正确的有（    ） ①无理数都是无限小数；②无限小数都是无理数；③无理数也能用数轴上的点表示；④无理数与有理数的和是无理数；⑤无理数与无理数的和是无理数； A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②⑤ 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法错误的是（    ） A．无限小数是无理数 B．无限不循环小数是无理数 C．是无理数 D．圆周率是无理数 6．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）下列说法中正确的有（    ） ①，，都是无理数；        ②无理数包括正无理数、负无理数和零； ③实数分为正实数和负实数两类；        ④绝对值最小的实数是0； ⑤一个数的平方根等于它本身，这个数是0或1；⑥有理数与数轴上的点一一对应． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型3 概念辨析题 题型描述：考查实数相关概念的辨析，如平方根与算术平方根的区别、有理数与无理数的本质差异、实数与数轴的一一对应关系等。 核心要点： 1. 平方根与算术平方根： 平方根：若，则x是a的平方根（记为），一个非负数有两个平方根（0的平方根为0）； 2. 算术平方根：非负数a的正平方根，仅一个。 1．（25-26八年级上·河北沧州·期末）下列说法：①10的平方根是；②负数和零没有立方根；③的相反数是；④16的算术平方根是4；⑤的立方根是，其中正确的有（    ）. A．4个 B．3个 C．2个 D．5个 2．（25-26八年级上·四川宜宾·月考）下列说法错误的是（    ）． A．是4的平方根 B．的算术平方根是 C．的算术平方根是 D．7是的算术平方根 3．（24-25七年级下·云南临沧·期末）的平方根是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·吉林·期末）已知一个数的一个平方根是2025，则它的另一个平方根为（    ） A．2025 B．0 C． D． 5．（25-26八年级上·河北唐山·期中）下列说法正确的是（　　） A．的平方根是 B．的平方根是 C．1是1的平方根 D．1的平方根是1 6．（25-26八年级上·辽宁丹东·期中）下列说法中正确的是（    ） A．的平方根是4和 B．是有理数 C．有理数都是有限小数 D．的平方根是8 题型4 综合应用题 题型描述：考查实数相关概念的辨析，如平方根与算术平方根的区别、有理数与无理数的本质差异、实数与数轴的一一对应关系等。 核心策略： 1. 利用非负数的性质：若几个非负数（如算术平方根、平方数、绝对值）的和为0，则每个非负数都为0。 2. 结合实际应用：将实际问题转化为数学表达式，再用实数与无理数的概念计算结果。 1．（25-26八年级下·全国·单元测试）已知，则的平方根是___． 2．（25-26八年级上·四川成都·期末）已知，那么的值为_____ ． 3．（25-26八年级上·四川成都·期末）若为实数，且满足，则的值为___________． 4．（25-26七年级上·北京·期末）若，则的值为_________ ． 5．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知有理数a，b满足，则的值是_________． 6．（25-26七年级上·山东东营·期末）已知，则_____． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优02 实数与无理数的基本概念 题型1 实数分类题 题型描述：将给定的数（含化简后）按有理数、无理数、整数、分数、正实数、负实数等类别进行划分，或判断数所属的集合（如有理数集合、无理数集合）。 核心步骤： 1. 第一步：化简数：先将能化简的数化简为最简形式。 2. 第二步：按定义分类： (1) 有理数：整数（正整数、0、负整数）、分数（有限小数、无限循环小数）； (2) 无理数：无限不循环小数； (3) 整数：正整数、0、负整数； (4) 分数：有限小数、无限循环小数。 3. 第三步：验证结果：确保分类无遗漏、无重复。 1．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）将下列各数进行分类（填序号即可）： ①1，②，③0，④，⑤，⑥，⑦（每个“2”之间依次多一个“0”）． 正整数：______；分数：______；无理数：______． 【答案】①⑤；④⑥；②⑦ 【分析】本题考查了实数的分类，求一个数的立方根，熟练掌握和运用实数的分类是解题的关键．根据有理数分为正整数，正分数，0，负整数，负分数；无理数是指无限不循环小数，进行解答即可． 【详解】解：， 正整数有①⑤； 分数有：④⑥； 无理数有：②⑦； 故答案为：①⑤；④⑥；②⑦． 2．（25-26七年级上·全国·期中）将下列各数进行分类（填序号即可）： ，，，，，，（每个“”之间依次多一个“”）． 正整数：_______；分数：_______；无理数：_______． 【答案】 【分析】本题考查了实数的分类，掌握相关概念是解题的关键，正整数是大于零的整数；分数包括有限小数和无限循环小数；无理数是无限不循环小数．根据实数的分类即可解答． 【详解】解：是正整数； 是开方开不尽的数，属于无理数； 是整数，不是正整数； 是有限小数，是分数； ，是正整数； 是分数； （每个“”之间依次多一个“”）是无限不循环小数，属于无理数， 故答案为：正整数：；分数：；无理数：． 3．（24-25七年级下·河南许昌·期中）将下列数按要求分类，并将答案填入相应的括号内：，，，206，0，，，， 正分数集合｛           …｝ 负有理数集合｛           …｝ 无理数集合｛           …｝ 【答案】，，；，；， 【分析】本题考查实数的分类，掌握其分类的本质是关键．根据分数、负有理数和无理数的定义质，依次对各个数字分析分类，即可求解． 【详解】解：正分数集合｛，，， …｝ 负有理数集合{ ，，…} 无理数集合｛，，…｝ 故答案为：，，；，；，． 4．（25-26七年级上·浙江·期中）将下列各数进行分类（填序号即可）． ①1；②；③；④0；⑤；⑥（每两个“3”之间依次多一个“0”）；⑦；⑧． (1)正整数：________________； (2)分数：________________； (3)负有理数：________________； (4)无理数：________________． 【答案】(1)①⑦ (2)②⑤ (3)⑤ (4)③⑥⑧ 【分析】本题考查了实数的分类，根据实数的分类即可得出答案，熟练掌握实数的分类是解此题的关键． 【详解】（1）正整数：①⑦ （2）分数：②⑤ （3）负有理数：⑤ （4）无理数：③⑥⑧ 5．（25-26七年级上·浙江衢州·期中）将下列各实数按照分类将序号填入下面对应的横线上： ①，②，③，④，⑤0，⑥ 整数：____________； 负分数：____________； 无理数：____________． 【答案】③⑤；②④；①⑥ 【分析】本题考查实数的分类（整数、负分数、无理数），解题的关键是明确各类数的定义，逐一分析每个数的类型． 先分别判断每个实数的类型，再按整数、负分数、无理数的类别归类． 【详解】解：先分析每个实数： ①：是无限不循环小数，属于无理数；②：是负分数； ③：是整数；④：可化为负分数，属于负分数； ⑤0：是整数；⑥是无理数，故是无限不循环小数，属于无理数． 因此：整数：③⑤；负分数：②④；无理数：①⑥． 6．（24-25七年级上·浙江温州·期中）将下列各实数按照分类将序号填入下面对应的横线上： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦． 整数：　　； 分数：　　； 负数：　　； 无理数：　　． 【答案】；；； 【分析】本题主要考查了实数的分类，有理数的定义，无理数的定义等知识点，熟练掌握实数的分类方法是解题的关键． 根据整数、分数、负数、无理数的定义进行分类即可． 【详解】解：整数：； 分数：； 负数：； 无理数：； 故答案为：；；；． 题型2 无理数判断题 题型描述：判断一个数是否为无理数（无限不循环小数），或识别常见无理数（如开方开不尽的数、含π的数、特定结构的无限不循环小数）。 核心依据：无理数是无限不循环小数，常见类型包括： 1. 开方开不尽的数； 2. 含π的数； 3. 特定结构的无限不循环小数（如0.1010010001⋯、0.2020020002⋯）。 1．（25-26八年级上·上海·月考）下列说法中错误的个数是（   ） ①一个有理数除以无理数若有意义，则运算结果必为无理数； ②带根号的都是无理数； ③无理数可以分为正无理数和负无理数两类； ④无理数是无限小数； ⑤0.101001000100001是无理数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查的无理数和实数的定义和分类，根据无理数，实数的定义和分类逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：①若有理数为，则除以无理数运算结果为（有理数），原说法错误，故①符合题意； ②带根号的数不一定都是无理数，原说法错误，故②符合题意； ③无理数可以分为正无理数和负无理数两类，正确，故③不符合题意； ④无理数是无限小数，正确，故④不符合题意； ⑤0.101001000100001是有理数，原说法错误，故⑤符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级上·上海长宁·月考）下列说法中正确的有（    ）个． ①无理数与无理数的积一定是无理数  ②无理数与无理数的和可能是有理数． ③无理数一定带根号  ④是无理数  ⑤无理数包括正无理数、0和负无理数 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数的运算，有理数与无理数的概念，准确掌握无理数的相关性质是解题的关键．利用有理数，无理数的意义对每个小题的说法进行判定即可得出结论． 【详解】解：①无理数与无理数的积可能是有理数，例如，而2是有理数，原说法错误，不符合题意； ②无理数与无理数的和可能是有理数，例如，说法正确，符合题意； ③无理数可能不带根号，例如，原说法错误，不符合题意； ④是无理数，正确，符合题意； ⑤无理数包括正无理数和负无理数，而0是有理数，原说法错误，不符合题意； 综上分析可知，正确的有2个． 故选：B． 3．（25-26八年级上·上海闵行·期中）下列说法中，正确的有（    ） ①无理数与无理数的差一定是无理数： ②无理数与无理数的商一定是无理数； ③有理数与无理数的差一定是无理数， ④有理数与无理数的商一定是无理数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查有理数和无理数的运算性质，解题的关键是通过举反例来判断每个说法的正误． 逐一分析每个说法，通过举反例的方法判断其是否正确，从而确定正确说法的个数． 【详解】解：①例如和都是无理数，它们的差为是有理数，所以“无理数与无理数的差一定是无理数”说法错误； ②例如和都是无理数，它们的商为是有理数，所以“无理数与无理数的商一定是无理数”说法错误； ③：假设有理数与无理数的差是有理数，即（为有理数），那么．因为和都是有理数，有理数的差也是有理数，这与是无理数矛盾，所以“有理数与无理数的差一定是无理数”说法正确； ④：当有理数为0时，0除以无理数结果为0，是有理数，所以“有理数与无理数的商一定是无理数”说法错误． 综上，只有③说法正确，正确的有1个． 故选：A． 4．（24-25七年级上·山东威海·月考）关于无理数，下列说法正确的有（    ） ①无理数都是无限小数；②无限小数都是无理数；③无理数也能用数轴上的点表示；④无理数与有理数的和是无理数；⑤无理数与无理数的和是无理数； A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②⑤ 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数，实数、数轴的应用，熟练掌握相关知识的定义是解题的关键．无限不循环小数是无理数，无限循环小数是有理数，所有实数都可以用数轴上的点表示，无理数是指无限不循环小数，根据以上内容判断即可． 【详解】解：①无理数都是无限小数，原说法正确； ②无限循环小数是有理数，原说法不正确； ③无理数也能用数轴上的点表示，原说法正确； ④无理数与有理数的和是无理数；原说法正确； ⑤无理数与无理数的和不一定是无理数；原说法不正确； 正确的有①③④， 故选：B． 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法错误的是（    ） A．无限小数是无理数 B．无限不循环小数是无理数 C．是无理数 D．圆周率是无理数 【答案】A 【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数． 【详解】解：A、无限不循环小数是无理数，故原说法错误，符合题意； B、无限不循环小数是无理数，故原说法正确，不符合题意； C、是无理数，故原说法正确，不符合题意； D、圆周率是无理数，故原说法正确，不符合题意； 故选：A． 6．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）下列说法中正确的有（    ） ①，，都是无理数；        ②无理数包括正无理数、负无理数和零； ③实数分为正实数和负实数两类；        ④绝对值最小的实数是0； ⑤一个数的平方根等于它本身，这个数是0或1；⑥有理数与数轴上的点一一对应． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数的分类，无理数的定义，求一个数的算术平方根和平方根，实数与数轴的关系，根据可判断①；根据0是有理数可判断②；根据0是实数可判断③；根据绝对值的非负性可判断④；根据平方根的定义可判断⑤；根据实数与数轴上的点一一对应可判断⑥． 【详解】解：①是有理数，原说法错误； ②无理数包括正无理数、负无理数，不包括零，原说法错误； ③实数分为正实数、负实数和0三类，原说法错误； ④绝对值最小的实数是0，原说法正确； ⑤一个数的平方根等于它本身，这个数是0，原说法错误； ⑥实数与数轴上的点一一对应，原说法错误； ∴说法正确的只有1个， 故选：A． 题型3 概念辨析题 题型描述：考查实数相关概念的辨析，如平方根与算术平方根的区别、有理数与无理数的本质差异、实数与数轴的一一对应关系等。 核心要点： 1. 平方根与算术平方根： 平方根：若，则x是a的平方根（记为），一个非负数有两个平方根（0的平方根为0）； 2. 算术平方根：非负数a的正平方根，仅一个。 1．（25-26八年级上·河北沧州·期末）下列说法：①10的平方根是；②负数和零没有立方根；③的相反数是；④16的算术平方根是4；⑤的立方根是，其中正确的有（    ）. A．4个 B．3个 C．2个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根、立方根、相反数等知识点，理解相关定义是解题的关键． 根据平方根、算术平方根、立方根的定义及相反数的概念逐项判断即可解答． 【详解】解：∵正数的平方根有两个，且互为相反数，10是正数， ∴10的平方根是，①说法正确； ∵任何实数都有立方根，负数的立方根是负数，0的立方根是0， ∴“负数和零没有立方根”的说法错误，②说法错误； ∵互为相反数的两个数和为0，， ∴的相反数是，③说法正确． ∵算术平方根是一个非负数的正的平方根，， ∴16的算术平方根是4，④说法正确． ∵， ∴0．008的立方根是0．2，⑤说法正确． 综上，正确的说法有①③④⑤，共4个． 故选：A． 2．（25-26八年级上·四川宜宾·月考）下列说法错误的是（    ）． A．是4的平方根 B．的算术平方根是 C．的算术平方根是 D．7是的算术平方根 【答案】C 【分析】本题考查平方根和算术平方根的定义，掌握好相关知识是解题关键． 根据平方根和算术平方根的定义，逐项判断正误． 【详解】解：对于A：， 因此是4的平方根，故A正确； 对于B： ， 因此的算术平方根是，故B正确； 对于C： ， 因此的算术平方根不是，故C错误； 对于D： ， 且，因此7是49的算术平方根，故D正确． 故选：C． 3．（24-25七年级下·云南临沧·期末）的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平方根的概念，明确一个正数的平方根有两个，互为相反数是解题的关键． 首先根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，互为相反数，列方程计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 4．（24-25七年级下·吉林·期末）已知一个数的一个平方根是2025，则它的另一个平方根为（    ） A．2025 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查“平方根的概念”，掌握两个平方根的关系是解题关键． 根据平方根的性质，一个正数的平方根有两个且互为相反数，由此即可判断出答案． 【详解】解：∵ 一个正数的平方根有两个，且互为相反数， 又∵ 一个平方根是2025， 则另一个平方根为， 故选：C． 5．（25-26八年级上·河北唐山·期中）下列说法正确的是（　　） A．的平方根是 B．的平方根是 C．1是1的平方根 D．1的平方根是1 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是明确负数没有平方根，一个正数的平方根有两个且互为相反数． 【详解】解：A、负数没有平方根，无平方根，此选项不符合题意； B、，的平方根是，此选项不符合题意； C、，故是的平方根，此选项符合题意； D、的平方根是，此选项不符合题意． 故选：C． 6．（25-26八年级上·辽宁丹东·期中）下列说法中正确的是（    ） A．的平方根是4和 B．是有理数 C．有理数都是有限小数 D．的平方根是8 【答案】B 【分析】本题考查平方根的定义和有理数的概念，熟记相关结论即可； 【详解】解：∵ = 4，4的平方根是，不是，∴ A错误； ∵ 是有限小数，属于有理数，∴ B正确； ∵ 有理数包括有限小数和无限循环小数，不都是有限小数，∴ C错误； ∵ 的平方根是，不是只有8，∴ D错误； 故选：B 题型4 综合应用题 题型描述：考查实数相关概念的辨析，如平方根与算术平方根的区别、有理数与无理数的本质差异、实数与数轴的一一对应关系等。 核心策略： 1. 利用非负数的性质：若几个非负数（如算术平方根、平方数、绝对值）的和为0，则每个非负数都为0。 2. 结合实际应用：将实际问题转化为数学表达式，再用实数与无理数的概念计算结果。 1．（25-26八年级下·全国·单元测试）已知，则的平方根是___． 【答案】 【分析】本题主要考查算术平方根和绝对值的非负性．算术平方根和绝对值都大于等于零，它们的和为零则每个都为零，从而求出和的值，再计算的平方根． 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，， 则， 其平方根为±． 2．（25-26八年级上·四川成都·期末）已知，那么的值为_____ ． 【答案】1 【分析】本题主要考查二次根式和绝对值， 根据，，，可得， ． 【详解】解：根据，，，可得 ， ． 即 ，． 解得 ，． 所以． 故答案为： 3．（25-26八年级上·四川成都·期末）若为实数，且满足，则的值为___________． 【答案】4 【分析】本题考查平方根的定义，根据平方根的定义，若平方根等于零，则被开方数必须为零． 【详解】由，根据平方根的性质，得，解得． 故答案为：4． 4．（25-26七年级上·北京·期末）若，则的值为_________ ． 【答案】2026 【分析】本题考查非负数的性质，即绝对值和算术平方根的非负性，准确的计算是解决本题的关键． 根据等式成立的条件，每个非负数部分都为零，据此求解即可． 【详解】解：∵且，且， ∴且． 解得，． ∴． 故答案为：2026． 5．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知有理数a，b满足，则的值是_________． 【答案】16 【分析】本题主要考查算术平方根与绝对值的非负性，熟练掌握算术平方根与绝对值的非负性是解题的关键；根据算术平方根和绝对值的非负性，得出和，即可求解． 【详解】解：∵，且，， ∴，即且， ∴，， ∴ ； 故答案为16． 6．（25-26七年级上·山东东营·期末）已知，则_____． 【答案】1 【分析】本题考查的是非负数的性质，求解代数式的值，根据非负数的性质可得 且 ，再进一步求解即可. 【详解】解：∵ ， ∴ 且 ， 解得 ，， ∴ ． 故答案为：． / 学科网（北京）股份有限公司 $